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781:
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80:
1479:
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855:
2771:
1653:, i.e. the minimum radius of these open sets. Since we have a finite number of positive radii, this minimum
1699:
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262:
An important special case of the Cantor theorem is that every continuous function from a
164:
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1646:{\displaystyle \delta =\min _{1\leq i\leq n}\delta _{x_{i}}/2}
2455:. Applying the triangle inequality then yields the desired
1469:{\displaystyle \{U_{x_{1}},U_{x_{2}},\ldots ,U_{x_{n}}\}}
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is well-defined and positive. We now show that this
1541:. Each of these open sets has an associated radius
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1693:works for the definition of uniform continuity.
1597:
665:{\displaystyle d_{N}(f(x),f(y))<\varepsilon }
381:, respectively. Suppose further that a function
50:but its sources remain unclear because it lacks
1534:{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\in M}
1390:is compact, this cover has a finite subcover
1463:
1397:
1333:
1308:
457:, that is, for every positive real number
900:{\displaystyle d_{M}(x,y)<\delta _{x}}
745:, there exists some positive real number
109:is uniformly continuous if its domain is
81:Learn how and when to remove this message
2668:For an alternative proof in the case of
2754:
2706:, a closed interval, see the article
1824:form an open (sub)cover of our space
1737:{\displaystyle d_{M}(x,y)<\delta }
599:{\displaystyle d_{M}(x,y)<\delta }
2420:{\displaystyle d_{N}(f(x_{i}),f(y))}
2353:{\displaystyle d_{N}(f(x_{i}),f(x))}
1339:{\displaystyle \{U_{x}\mid x\in M\}}
483:there exists a positive real number
22:
675:Consider some positive real number
13:
14:
2783:
2725:
1864:must lie within one of them, say
1576:{\displaystyle \delta _{x_{i}}/2}
694:{\displaystyle \varepsilon >0}
476:{\displaystyle \varepsilon >0}
433:is compact. We want to show that
771:{\displaystyle \delta _{x}>0}
27:
2286:{\displaystyle \delta _{x_{i}}}
2225:{\displaystyle \delta _{x_{i}}}
2762:Theory of continuous functions
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1713:
1301:, we find that the collection
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1024:{\displaystyle \varepsilon /2}
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156:{\displaystyle f\colon M\to N}
147:
1:
2742:Proof of Heine–Cantor theorem
1121:{\displaystyle \delta _{x}/2}
280:Proof of Heine–Cantor theorem
113:. The theorem is named after
502:{\displaystyle \delta >0}
7:
2713:
947:{\displaystyle \delta _{x}}
10:
2788:
2720:Cauchy-continuous function
15:
1891:{\displaystyle U_{x_{i}}}
1817:{\displaystyle U_{x_{i}}}
509:such that for all points
276:is uniformly continuous.
1274:is contained in its own
406:{\displaystyle f:M\to N}
36:This article includes a
16:Not to be confused with
1686:{\displaystyle \delta }
1666:{\displaystyle \delta }
65:more precise citations.
2700:
2653:
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1083:{\displaystyle U_{x}}
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347:{\displaystyle d_{M}}
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298:
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225:
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158:
2772:Theorems in analysis
2732:Heine–Cantor theorem
2672:
2462:
2431:
2364:
2297:
2293:, this implies that
2263:
2236:
2202:
2182:
2162:
1988:
1902:
1898:. Then we have that
1868:
1848:
1828:
1794:
1774:
1748:
1700:
1677:
1657:
1587:
1583:. Let us now define
1545:
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978:
958:
931:
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907:, i.e., a fact that
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256:uniformly continuous
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135:
126:Heine–Cantor theorem
99:Heine–Cantor theorem
2427:are both less than
2259:. By definition of
1979:triangle inequality
1763:{\displaystyle x,y}
528:{\displaystyle x,y}
165:continuous function
129: —
103:continuous function
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1981:then implies that
1967:
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1834:
1814:
1780:
1760:
1734:
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1360:
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1050:
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413:is continuous and
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38:list of references
2638:
2625:
2198:are both at most
2191:{\displaystyle y}
2171:{\displaystyle x}
2097:
1948:
1857:{\displaystyle x}
1837:{\displaystyle M}
1790:. Since the sets
1783:{\displaystyle M}
1596:
1383:{\displaystyle M}
1363:{\displaystyle M}
1267:{\displaystyle x}
1254:Since each point
1221:
1141:{\displaystyle x}
1128:-neighborhood of
967:{\displaystyle x}
920:{\displaystyle y}
738:{\displaystyle M}
718:{\displaystyle x}
551:{\displaystyle M}
446:{\displaystyle f}
426:{\displaystyle M}
316:{\displaystyle N}
296:{\displaystyle M}
279:
247:{\displaystyle f}
223:{\displaystyle M}
203:{\displaystyle N}
183:{\displaystyle M}
125:
91:
90:
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