Hooke's law - Knowledge

13935: 12796: 12907: 11849: 13930:{\displaystyle \,=\,{\begin{bmatrix}s_{1111}&s_{1122}&s_{1133}&2s_{1123}&2s_{1131}&2s_{1112}\\s_{2211}&s_{2222}&s_{2233}&2s_{2223}&2s_{2231}&2s_{2212}\\s_{3311}&s_{3322}&s_{3333}&2s_{3323}&2s_{3331}&2s_{3312}\\2s_{2311}&2s_{2322}&2s_{2333}&4s_{2323}&4s_{2331}&4s_{2312}\\2s_{3111}&2s_{3122}&2s_{3133}&4s_{3123}&4s_{3131}&4s_{3112}\\2s_{1211}&2s_{1222}&2s_{1233}&4s_{1223}&4s_{1231}&4s_{1212}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}&S_{14}&S_{15}&S_{16}\\S_{12}&S_{22}&S_{23}&S_{24}&S_{25}&S_{26}\\S_{13}&S_{23}&S_{33}&S_{34}&S_{35}&S_{36}\\S_{14}&S_{24}&S_{34}&S_{44}&S_{45}&S_{46}\\S_{15}&S_{25}&S_{35}&S_{45}&S_{55}&S_{56}\\S_{16}&S_{26}&S_{36}&S_{46}&S_{56}&S_{66}\end{bmatrix}}} 12791:{\displaystyle \,=\,{\begin{bmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&c_{1123}&c_{1131}&c_{1112}\\c_{2211}&c_{2222}&c_{2233}&c_{2223}&c_{2231}&c_{2212}\\c_{3311}&c_{3322}&c_{3333}&c_{3323}&c_{3331}&c_{3312}\\c_{2311}&c_{2322}&c_{2333}&c_{2323}&c_{2331}&c_{2312}\\c_{3111}&c_{3122}&c_{3133}&c_{3123}&c_{3131}&c_{3112}\\c_{1211}&c_{1222}&c_{1233}&c_{1223}&c_{1231}&c_{1212}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}} 17684: 15634: 16971: 14921: 8651: 8073: 17679:{\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{zz}\\2\varepsilon _{yz}\\2\varepsilon _{zx}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\frac {1}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\frac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {1}{G_{yz}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xz}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}} 15629:{\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{zz}\\2\varepsilon _{yz}\\2\varepsilon _{zx}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\frac {1}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\frac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {1}{G_{yz}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1}{G_{zx}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}} 9212: 9666: 16951: 8676: 11840: 14916: 8646:{\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\\gamma _{23}\\\gamma _{13}\\\gamma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &-\nu &0&0&0\\-\nu &1&-\nu &0&0&0\\-\nu &-\nu &1&0&0&0\\0&0&0&2+2\nu &0&0\\0&0&0&0&2+2\nu &0\\0&0&0&0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}} 9217: 16432: 6011: 10003: 11388: 14419: 9207:{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\nu &\nu &0&0&0\\\nu &1-\nu &\nu &0&0&0\\\nu &\nu &1-\nu &0&0&0\\0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}} 2347: 9661:{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}2\mu +\lambda &\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &2\mu +\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda &2\mu +\lambda &0&0&0\\0&0&0&\mu &0&0\\0&0&0&0&\mu &0\\0&0&0&0&0&\mu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}} 5593: 9671: 16946:{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {C_{11}-C_{12}}{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}} 4191: 20548: 2058: 5588: 11835:{\displaystyle \,=\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}\,;\qquad \,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}} 14911:{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}} 7289: 7800: 884: 47: 4022: 6006:{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{11}-\nu (\sigma _{22}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{22}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{22}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{33}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22}){\big )}\\\varepsilon _{12}&={\frac {1}{2G}}\sigma _{12}\,;\qquad \varepsilon _{13}={\frac {1}{2G}}\sigma _{13}\,;\qquad \varepsilon _{23}={\frac {1}{2G}}\sigma _{23}\end{aligned}}} 9998:{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\,=\,2\mu {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}+\lambda \mathbf {I} \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}\right)} 5324: 16041: 1736: 16402: 6907: 6899: 7429: 1007: 2342:{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}\,;\qquad {\boldsymbol {\sigma }}\,=\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}} 2741: 10541: 5109: 11081: 1900: 4437: 3500: 24: 15729: 10295: 1903:(a) Schematic of a polymer nanospring. The coil radius, R, pitch, P, length of the spring, L, and the number of turns, N, are 2.5 μm, 2.0 μm, 13 μm, and 4, respectively. Electron micrographs of the nanospring, before loading (b-e), stretched (f), compressed (g), bent (h), and recovered (i). All scale bars are 2 μm. The spring followed a linear response against applied force, demonstrating the validity of Hooke's law at the nanoscale. 1460: 16046: 6601: 4186:{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+\operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\,;\qquad \operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\tfrac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~\mathbf {I} \,;\qquad \operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\boldsymbol {\varepsilon }}-\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})} 10764: 8049: 10302: 5583:{\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{ij}-\nu (\sigma _{kk}\delta _{ij}-\sigma _{ij}){\big )}\,;\qquad {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{E}}{\big (}{\boldsymbol {\sigma }}-\nu (\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} -{\boldsymbol {\sigma }}){\big )}={\frac {1+\nu }{E}}{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\nu }{E}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} } 18629: 4589: 4917: 6563: 10818: 7284:{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}&={\frac {1}{E}}{\big (}(1+\nu )\sigma _{1}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}\,,\\\varepsilon _{2}&={\frac {1}{E}}{\big (}(1+\nu )\sigma _{2}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}\,,\\\varepsilon _{3}&={\frac {1}{E}}{\big (}(1+\nu )\sigma _{3}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}\,,\end{aligned}}} 7795:{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3}&={\frac {1}{E}}{\big (}(1+\nu )(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})-3\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}={\frac {1-2\nu }{E}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})\\\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}&={\frac {E}{1-2\nu }}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})\end{aligned}}} 4220: 6392: 5311: 10064: 4912: 18459: 6210: 18763: 10548: 7814: 16036:{\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&0\\-{\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\frac {1}{E_{y}}}&0\\0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}\,.} 18464: 1731:{\displaystyle \mathbf {F} \,=\,{\begin{bmatrix}F_{1}\\F_{2}\\F_{3}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}\kappa _{11}&\kappa _{12}&\kappa _{13}\\\kappa _{21}&\kappa _{22}&\kappa _{23}\\\kappa _{31}&\kappa _{32}&\kappa _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}\,=\,{\boldsymbol {\kappa }}\mathbf {X} } 16397:{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{1-\nu _{xy}\nu _{yx}}}{\begin{bmatrix}E_{x}&\nu _{yx}E_{x}&0\\\nu _{xy}E_{y}&E_{y}&0\\0&0&G_{xy}(1-\nu _{xy}\nu _{yx})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,.} 4465: 18002: 6894:{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{1}-\nu (\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}\,,\\\varepsilon _{2}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{2}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{3}){\big )}\,,\\\varepsilon _{3}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{3}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}){\big )}\,,\end{aligned}}} 18185: 11328: 10536:{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{1-\nu ^{2}}}\left((1-\nu ){\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}\end{bmatrix}}+\nu \mathbf {I} \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}\right)\right)} 5128: 5104:{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2\mu }}{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\lambda }{2\mu (3\lambda +2\mu )}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} ={\frac {1}{2G}}{\boldsymbol {\sigma }}+\left({\frac {1}{9K}}-{\frac {1}{6G}}\right)\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} } 4668: 18310: 11076:{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\nu &0\\\nu &1-\nu &0\\0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}} 18642: 4006: 18305: 19204: 4432:{\displaystyle \sigma _{ij}=3K\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+2G\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)\,;\qquad {\boldsymbol {\sigma }}=3K\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+2G\operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})} 6397: 6040:

The three-dimensional form of Hooke's law can be derived using Poisson's ratio and the one-dimensional form of Hooke's law as follows. Consider the strain and stress relation as a superposition of two effects: stretching in direction of the load (1) and shrinking (caused by the load) in perpendicular

1918:

However, the strain state in a solid medium around some point cannot be described by a single vector. The same parcel of material, no matter how small, can be compressed, stretched, and sheared at the same time, along different directions. Likewise, the stresses in that parcel can be at once pushing,

19297:

The right-hand side constant requires four indices and is a fourth-rank quantity. We can also see that this quantity must be a tensor because it is a linear transformation that takes the strain tensor to the stress tensor. We can also show that the constant obeys the tensor transformation rules for

6226: 32: 786:

to the real response of springs and other elastic bodies to applied forces. It must eventually fail once the forces exceed some limit, since no material can be compressed beyond a certain minimum size, or stretched beyond a maximum size, without some permanent deformation or change of state. Many

10290:{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&{\frac {1-\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}} 6044: 20856:

Homogeneous isotropic linear elastic materials have their elastic properties uniquely determined by any two moduli among these; thus, given any two, any other of the elastic moduli can be calculated according to these formulas, provided both for 3D materials (first part of the table) and for 2D

13944:

If a linear elastic material is rotated from a reference configuration to another, then the material is symmetric with respect to the rotation if the components of the stiffness tensor in the rotated configuration are related to the components in the reference configuration by the relation

14368: 794:

On the other hand, Hooke's law is an accurate approximation for most solid bodies, as long as the forces and deformations are small enough. For this reason, Hooke's law is extensively used in all branches of science and engineering, and is the foundation of many disciplines such as

3213:

which comes from adding up the energy it takes to incrementally compress the spring. That is, the integral of force over displacement. Since the external force has the same general direction as the displacement, the potential energy of a spring is always non-negative. Substituting

17880: 1178:

Just as in the linear case, this law shows that the torque is proportional to the angular displacement, and the negative sign indicates that the torque acts in a direction opposite to the angular displacement, providing a restoring force to bring the system back to equilibrium.

10759:{\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &0\\-\nu &1&0\\0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}} 8044:{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}&={\frac {E}{1+\nu }}\varepsilon _{1}+{\frac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})\\&=2\mu \varepsilon _{1}+\lambda (\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})\,,\end{aligned}}} 3850:

Isotropic materials are characterized by properties which are independent of direction in space. Physical equations involving isotropic materials must therefore be independent of the coordinate system chosen to represent them. The strain tensor is a symmetric tensor. Since the

27836: 25841: 1266:

Some elastic bodies will deform in one direction when subjected to a force with a different direction. One example is a horizontal wood beam with non-square rectangular cross section that is bent by a transverse load that is neither vertical nor horizontal. In such cases, the

18065: 18989: 11184: 18624:{\displaystyle \delta U=\int _{\Omega }\left({\boldsymbol {\sigma }}:{\tfrac {1}{2}}\left(\nabla \delta \mathbf {u} +(\nabla \delta \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)+\left(\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {b} \right)\cdot \delta \mathbf {u} \right)\,dV\,.} 7422: 4584:{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\lambda \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}={\mathsf {c}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}\,;\qquad {\mathsf {c}}=\lambda \mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +2\mu {\mathsf {I}}} 28232: 27033: 25393: 27434: 14234: 3863: 18202: 19047: 19295: 19137: 18822: 1110:. It states that the torque (τ) required to rotate an object is directly proportional to the angular displacement (θ) from the equilibrium position. It describes the relationship between the torque applied to an object and the resulting angular 29021: 5306:{\displaystyle {\mathsf {s}}=-{\frac {\lambda }{2\mu (3\lambda +2\mu )}}\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +{\frac {1}{2\mu }}{\mathsf {I}}=\left({\frac {1}{9K}}-{\frac {1}{6G}}\right)\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +{\frac {1}{2G}}{\mathsf {I}}} 26907: 26330: 26183: 25487: 28322: 28122: 27917: 25971: 27602: 28593: 26682: 18879: 4907:{\displaystyle \sigma _{ij}=\lambda \varepsilon _{kk}~\delta _{ij}+2\mu \varepsilon _{ij}=c_{ijkl}\varepsilon _{kl}\,;\qquad c_{ijkl}=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}\right)} 3481:. A direct method exists for calculating the compliance constant for any internal coordinate of a molecule, without the need to do the normal mode analysis. The suitability of relaxed force constants (inverse compliance constants) as 28739: 26591: 18454:{\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=(\nabla \cdot \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} +{\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}:\nabla \mathbf {b} +\mathbf {a} :(\nabla \mathbf {b} )^{\mathsf {T}}\right)} 27187: 25656: 2491: 25569: 29155: 20292:

Ponomareva, Alla; Yurenko, Yevgen; Zhurakivsky, Roman; Van Mourik, Tanja; Hovorun, Dmytro (2012). "Complete conformational space of the potential HIV-1 reverse transcriptase inhibitors d4U and d4C. A quantum chemical study".

19120: 18758:{\displaystyle \delta {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left(\nabla \delta \mathbf {u} +(\nabla \delta \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)\,;\qquad \nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {b} =\mathbf {0} \,.} 2040: 1988: 857:

In this general form, Hooke's law makes it possible to deduce the relation between strain and stress for complex objects in terms of intrinsic properties of the materials they are made of. For example, one can deduce that a

28442: 12898: 3855:

of any tensor is independent of any coordinate system, the most complete coordinate-free decomposition of a symmetric tensor is to represent it as the sum of a constant tensor and a traceless symmetric tensor. Thus in

3694: 1841: 18917: 14239: 6558:{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}'''&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{3}\,,\\\varepsilon _{2}'''&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{3}\,,\\\varepsilon _{3}'''&={\frac {1}{E}}\sigma _{3}\,.\end{aligned}}} 28378: 17830: 27505: 27320: 6387:{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}''&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{2}\,,\\\varepsilon _{2}''&={\frac {1}{E}}\sigma _{2}\,,\\\varepsilon _{3}''&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{2}\,,\end{aligned}}} 28810: 26751: 7302: 54:

at the core of many mechanical clocks and watches depends on Hooke's law. Since the torque generated by the coiled spring is proportional to the angle turned by the wheel, its oscillations have a nearly constant

6205:{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}'&={\frac {1}{E}}\sigma _{1}\,,\\\varepsilon _{2}'&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{1}\,,\\\varepsilon _{3}'&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{1}\,,\end{aligned}}} 3060: 27100: 28034: 24110: 2817:

Objects that quickly regain their original shape after being deformed by a force, with the molecules or atoms of their material returning to the initial state of stable equilibrium, often obey Hooke's law.

1187:

Hooke's spring law usually applies to any elastic object, of arbitrary complexity, as long as both the deformation and the stress can be expressed by a single number that can be both positive and negative.

27664: 25718: 27972: 27721: 25726: 3443: 2598:

Since Hooke's law is a simple proportionality between two quantities, its formulas and consequences are mathematically similar to those of many other physical laws, such as those describing the motion of

28657: 26509: 26025: 3461:) are uniquely defined for molecular systems, in contradistinction to the usual "rigid" force constants, and thus their use allows meaningful correlations to be made between force fields calculated for 28502: 27715: 27249: 26443: 25894: 23817: 22538: 3816: 3578: 3211: 3121: 14053: 3315: 28872: 26813: 26087: 25265: 23081: 29076: 23580: 21380: 24857: 2519:

specifies the forces that neighboring parcels of the medium are exerting on each other. Therefore, they are independent of the composition and physical state of the material. The stiffness tensor

17997:{\displaystyle \delta W_{\mathrm {s} }=\int _{\partial \Omega }\mathbf {t} \cdot \delta \mathbf {u} \,dS\,;\qquad \delta W_{\mathrm {b} }=\int _{\Omega }\mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {u} \,dV} 28923: 26381: 26234: 23874: 22953: 7819: 7434: 6912: 6606: 6402: 6231: 6049: 5598: 23752: 23631: 22428: 2968: 24298: 23923: 23379: 21940: 18994: 2821:

Hooke's law only holds for some materials under certain loading conditions. Steel exhibits linear-elastic behavior in most engineering applications; Hooke's law is valid for it throughout its

28128: 26915: 25275: 24967: 23963: 21470: 19209: 24784: 24188: 18180:{\displaystyle \delta W=\delta U=\int _{\partial \Omega }(\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }})\cdot \delta \mathbf {u} \,dS+\int _{\Omega }\mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {u} \,dV\,.} 24452: 18768: 22000: 11323:{\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {\partial U}{\partial \varepsilon _{ij}}}\quad \implies \quad c_{ijkl}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial \varepsilon _{ij}\partial \varepsilon _{kl}}}\,.} 11350:

of the stiffness tensor. This reduces the number of elastic constants from 36 to 21. The major and minor symmetries indicate that the stiffness tensor has only 21 independent components.

842:

applied to it. However, since general stresses and strains may have multiple independent components, the "proportionality factor" may no longer be just a single real number, but rather a

25091: 22379: 22328: 21429: 19367: 120: 24387: 22472: 14140: 27328: 24040: 23519: 21870: 21700: 21279: 21120: 3005: 24900: 24592: 24150: 22884: 22796: 22692: 22101: 25165: 23000: 24680: 22629: 2928: 22241: 25202: 25128: 25054: 25017: 23308: 23259: 23166: 22189: 21593: 21169: 986: 23212: 21215: 24531: 22735: 22142: 21741: 21634: 18831: 23700: 17755: 3372:-direction, the potential energy increases parabolically (the same thing happens as the spring is compressed). Since the change in potential energy changes at a constant rate: 1147: 23999: 23478: 22281: 21504: 21317: 11177:

If in addition, since the displacement gradient and the Cauchy stress are work conjugate, the stress–strain relation can be derived from a strain energy density functional (

3756: 23662: 21824: 28929: 24338: 20938: 2389: 26819: 26242: 26095: 25399: 24720: 24228: 23438: 23409: 22834: 21779: 28240: 28040: 19085: 1092: 20752: 4001:{\displaystyle \varepsilon _{ij}=\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)} 2007: 1955: 945: 27846: 25900: 24490: 23119: 22574: 22038: 21542: 21052: 20988: 24623: 20784: 12801: 27513: 18300:{\displaystyle \delta U=\int _{\Omega }{\big (}\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \delta \mathbf {u} )+\mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {u} {\big )}\,dV\,.} 3246: 992:

is a positive real number, characteristic of the spring. A spring with spaces between the coils can be compressed, and the same formula holds for compression, with

21013: 20963: 20913: 20888: 20810: 28508: 26597: 19199:{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}}}{\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon }})={\text{constant}}={\mathsf {c}}\,.} 11362:. To do this we take advantage of the symmetry of the stress and strain tensors and express them as six-dimensional vectors in an orthonormal coordinate system ( 3625: 1741: 20836: 20726: 20700: 14135: 3477:

can be written as a quadratic form in the internal coordinates, so it can also be written in terms of generalized forces. The resulting coefficients are termed

2755:(resulting compression/stretching, known as deformation). Hooke's law is only valid for the portion of the curve between the origin and the yield point (2). 28663: 26515: 17776: 27106: 25575: 4462:, these equations may also be expressed in various other ways. A common form of Hooke's law for isotropic materials, expressed in direct tensor notation, is 1231:, the applied (or restoring) force and the resulting elongation or compression have the same direction (which is the direction of said axis). Therefore, if 756:("as the extension, so the force" or "the extension is proportional to the force"). Hooke states in the 1678 work that he was aware of the law since 1660. 3010: 25493: 29084: 28385: 1915:, or a steel bar) are connected by a linear relationship that is mathematically similar to Hooke's spring law, and is often referred to by that name. 910:

be the amount by which the free end of the spring was displaced from its "relaxed" position (when it is not being stretched). Hooke's law states that

3375: 2836:

Rubber is generally regarded as a "non-Hookean" material because its elasticity is stress dependent and sensitive to temperature and loading rate.

3485:

strength descriptors was demonstrated as early as 1980. Recently, the suitability as non-covalent bond strength descriptors was demonstrated too.

1211:

Hooke's law also applies when a straight steel bar or concrete beam (like the one used in buildings), supported at both ends, is bent by a weight

3771: 3533: 3147: 3067: 28330: 13948: 4211: 3251: 27440: 27255: 20610: 19916: 669: 2554:, only 21 elastic coefficients of the latter are independent. This number can be further reduced by the symmetry of the material: 9 for an 28749: 26690: 1922:

In order to capture this complexity, the relevant state of the medium around a point must be represented by two-second-order tensors, the

27041: 20249:

Vijay Madhav, M.; Manogaran, S. (2009). "A relook at the compliance constants in redundant internal coordinates and some new insights".

2935: 27982: 19945: 27831:{\displaystyle {\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} })}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}} 25836:{\displaystyle {\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }(K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} })}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}} 24046: 27612: 25666: 2829:). For some other materials, such as aluminium, Hooke's law is only valid for a portion of the elastic range. For these materials a 711: 27923: 20654: 18984:{\displaystyle \delta U_{0}={\frac {\partial U_{0}}{\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}}}:\delta {\boldsymbol {\varepsilon }}\,.} 14363:{\displaystyle C_{ij}=C'_{ij}\quad \implies \quad C_{ij}(\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}-\varepsilon '_{i}\varepsilon '_{j})=0\,.} 5590:

This is the form in which the strain is expressed in terms of the stress tensor in engineering. The expression in expanded form is

28599: 26451: 25977: 1282:, as long as the direction of the latter remains the same (and its value is not too large); so the scalar version of Hooke's law 28450: 27670: 27197: 26391: 25849: 23758: 22478: 2973: 7417:{\displaystyle \sigma _{1}={\frac {E}{1+\nu }}\varepsilon _{1}+{\frac {\nu }{1+\nu }}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})\,.} 4217:

The most general form of Hooke's law for isotropic materials may now be written as a linear combination of these two tensors:

1167:(measured in N·m/radian), which characterizes the stiffness of the torsional spring or the resistance to angular displacement. 28820: 26761: 26035: 25213: 23008: 3519:

oscillating motion about the equilibrium position. To the extent that the spring obeys Hooke's law, and that one can neglect

29027: 23525: 21325: 2901: 24790: 2507:

All three tensors generally vary from point to point inside the medium, and may vary with time as well. The strain tensor

951: 28878: 28227:{\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{\nu _{\mathrm {2D} }}}} 27028:{\displaystyle {\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }(E_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} })}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}} 26336: 26189: 25388:{\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }(2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} })}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}} 23825: 22892: 742:

is small compared to the total possible deformation of the spring. The law is named after 17th-century British physicist

23706: 23590: 22385: 895:

spring that has one end attached to some fixed object, while the free end is being pulled by a force whose magnitude is

24234: 23882: 23316: 21876: 20420: 20030: 17728: 2525:, on the other hand, is a property of the material, and often depends on physical state variables such as temperature, 24906: 23930: 21435: 10774: 24726: 24156: 20591: 20569: 20470: 20445: 20395: 20370: 20345: 19909: 662: 24397: 20562: 3725: 2513:

merely specifies the displacement of the medium particles in the neighborhood of the point, while the stress tensor

21948: 27429:{\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}} 1219:

in this case is the deviation of the beam, measured in the transversal direction, relative to its unloaded shape.

25060: 22338: 22287: 21388: 19323: 76: 24344: 22434: 19965: 24005: 23484: 21830: 21642: 21221: 21062: 19882: 2055:

In a Cartesian coordinate system, the stress and strain tensors can be represented by 3 × 3 matrices

1058: 635: 24863: 24537: 24118: 22840: 22741: 22637: 22046: 914: 29191: 29186: 25134: 22959: 19583: 19420: 3832: 2685: 336: 173: 24631: 22580: 29201: 22195: 20647: 19902: 19623: 19509: 2590:, that quantify the material's resistance to changes in volume and to shearing deformations, respectively. 655: 376: 262: 25171: 25097: 25023: 24986: 23265: 23218: 23125: 22148: 21550: 21126: 19042:{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {\partial U_{0}}{\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}}}\,.} 18991:

Since the variation of strain is arbitrary, the stress–strain relation of an elastic material is given by

23174: 21175: 19955: 19578: 19487: 19370: 19290:{\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial \varepsilon _{kl}}}={\text{constant}}=c_{ijkl}\,.} 18632: 17722: 11147: 2555: 331: 240: 123: 24496: 22700: 22107: 21706: 21599: 14069:

In matrix notation, if the transformed basis (rotated or inverted) is related to the reference basis by

23672: 18817:{\displaystyle \delta U=\int _{\Omega }{\boldsymbol {\sigma }}:\delta {\boldsymbol {\varepsilon }}\,dV} 14072: 1299:

will not be scalar multiples of each other, since they have different directions. Moreover, the ratio

29016:{\displaystyle {\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} })}{M_{\mathrm {2D} }}}} 20632: 20094:

Ushiba, Shota; Masui, Kyoko; Taguchi, Natsuo; Hamano, Tomoki; Kawata, Satoshi; Shoji, Satoru (2015).

19494: 2759: 1120: 247: 23971: 23450: 22253: 21476: 21289: 29196: 29181: 26902:{\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}} 26325:{\displaystyle {\tfrac {K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}} 26178:{\displaystyle {\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}} 25482:{\displaystyle {\tfrac {K_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}} 23637: 21787: 20556: 20487: 19935: 19789: 19784: 19573: 19566: 19399: 14229:{\displaystyle C_{ij}\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}=C_{ij}'\varepsilon '_{i}\varepsilon '_{j}\,.} 3530:

will be independent of its amplitude, determined only by the mass and the stiffness of the spring:

2833:

stress is defined, below which the errors associated with the linear approximation are negligible.

2559: 863: 542: 537: 326: 319: 152: 28317:{\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}} 28117:{\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}} 24304: 20622: 11358:

It is often useful to express the anisotropic form of Hooke's law in matrix notation, also called

20919: 20640: 19852: 19847: 19516: 2848: 2752: 2744: 1996:

is a fourth-order tensor (that is, a linear map between second-order tensors) usually called the

835: 605: 600: 269: 27912:{\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}} 25966:{\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}} 24692: 24200: 23417: 23388: 22806: 21751: 14416:) are normals to the planes of symmetry then the coordinate transformation relations imply that 1317:

between the force and deformation vectors, as long as they are small enough. Namely, there is a

20573: 19404: 17868: 16413: 3852: 1318: 903: 157: 27597:{\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}} 20737: 1055:

exerted by the spring on whatever is pulling its free end. In that case, the equation becomes

912: 771:

of a guitar. An elastic body or material for which this equation can be assumed is said to be

24462: 23091: 22546: 22010: 21514: 21024: 20969: 20390:. Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics. Cambridge University Press. 20022: 19930: 19827: 19445: 2892: 2778: 2639: 1434: 1251: 1111: 1030: 764: 580: 198: 28588:{\displaystyle {\tfrac {G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}} 26677:{\displaystyle {\tfrac {K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}} 24598: 20763: 20499: 20302: 20258: 20207: 20107: 19665: 19482: 19462: 19450: 19394: 18882: 18874:{\displaystyle \delta U_{0}={\boldsymbol {\sigma }}:\delta {\boldsymbol {\varepsilon }}\,.} 17706: 14383: 14378: 3523:

and the mass of the spring, the amplitude of the oscillation will remain constant; and its

3458: 3217: 2865: 2840: 2563: 1938: 1438: 1255: 1243: 1171: 851: 831: 760: 418: 235: 215: 203: 147: 20994: 20944: 20894: 20869: 20795: 1875:

are vectors with variable directions, except that the stiffness of the object is a tensor

870:

directly proportional to its cross-section area and inversely proportional to its length.

8: 28734:{\displaystyle {\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}} 26586:{\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}} 20605: 19867: 19715: 19608: 19314: 3512: 3494: 3478: 2826: 2764: 1908: 1015: 800: 620: 468: 361: 67: 20627: 20503: 20306: 20262: 20211: 20111: 10020: 42:

inside the coiled metal tube above unwinds it by an amount proportional to the pressure.

27182:{\displaystyle {\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }^{2}}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}} 25651:{\displaystyle {\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }^{2}}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}} 20821: 20789: 20711: 20705: 20685: 20523: 20231: 20197: 20128: 20095: 19887: 19521: 19477: 19472: 18196: 18032: 18011: 15683: 15647: 6026: 6018: 5318: 5314: 2830: 2748: 2669: 2648: 2604: 1164: 839: 640: 274: 230: 225: 20731: 20185: 8060: 20515: 20466: 20441: 20416: 20391: 20366: 20341: 20318: 20274: 20223: 20133: 20026: 20015: 19504: 19455: 18636: 14390: 14063: 3826: 3610: 3470: 2844: 2711:

is a force divided by an area; it is therefore measured in units of pressure, namely

2001: 1894: 772: 257: 208: 20235: 4652: 2486:{\displaystyle \sigma _{ij}=\sum _{k=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}c_{ijkl}\varepsilon _{kl}} 1094:

since the direction of the restoring force is opposite to that of the displacement.

25564:{\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }}}} 20527: 20511: 20507: 20310: 20266: 20215: 20169: 20164: 20152: 20123: 20115: 19842: 19817: 19730: 19705: 19700: 19655: 18886: 18188: 16968:

axis is taken to be the axis of symmetry and the inverse Hooke's law is written as

16417: 14236:

In addition, if the material is symmetric with respect to the transformation then

11091: 8066:

Similar treatment of directions 2 and 3 gives the Hooke's law in three dimensions.

3581: 3515:. By pulling slightly on the mass and then releasing it, the system will be set in 3474: 3466: 2772: 2049: 1997: 1191:

For example, when a block of rubber attached to two parallel plates is deformed by

1107: 824: 595: 570: 483: 458: 453: 408: 29150:{\displaystyle {\tfrac {M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}{M_{\mathrm {2D} }}}} 20186:"Necessary and sufficient elastic stability conditions in various crystal systems" 19115:{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {c}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}} 2702:, is measured in newtons per meter (N/m), or kilograms per second squared (kg/s). 20663: 19980: 19975: 19940: 19832: 19756: 19720: 19670: 19601: 19590: 19535: 19437: 18825: 18192: 17762: 4459: 4016: 2869: 2035:{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\mathbf {s} {\boldsymbol {\sigma }},} 1983:{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {c} {\boldsymbol {\varepsilon }},} 1052: 703: 585: 509: 473: 423: 354: 343: 288: 190: 28437:{\displaystyle \nu _{\mathrm {2D} }=0\Leftrightarrow \lambda _{\mathrm {2D} }=0} 46: 20815: 20219: 20067:

De Potentia Restitutiva, or of Spring. Explaining the Power of Springing Bodies

20010: 19950: 19837: 19695: 19660: 19561: 17770: 12893:{\displaystyle =\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{i}=C_{ij}\varepsilon _{j}\,.} 11359: 6030: 3857: 2881: 2612: 2530: 1454: 1228: 883: 768: 590: 448: 413: 314: 18885:

material is defined as one in which the total internal energy is equal to the

3503:

A mass suspended by a spring is the classical example of a harmonic oscillator

29175: 20757: 20227: 19960: 19877: 19710: 17842: 15663: 4665:

is the symmetric part of the fourth-rank identity tensor. In index notation:

4452: 3482: 3452: 2722: 2712: 2689: 2584: 1923: 820: 788: 783: 691: 630: 463: 51: 19134:

must be a fourth-rank tensor by noting that, for a linear elastic material,

20679: 20519: 20322: 20278: 20137: 20062: 19862: 19857: 19822: 19554: 4444: 4206:, and the second term is the traceless symmetric tensor, also known as the 3689:{\displaystyle F_{\mathrm {t} }=kx\,;\qquad F_{\mathrm {c} }=m\omega ^{2}r} 2577: 1836:{\displaystyle F_{i}=\kappa _{i1}X_{1}+\kappa _{i2}X_{2}+\kappa _{i3}X_{3}} 1437:, the force and displacement vectors can be represented by 3 × 1 1192: 816: 808: 743: 615: 610: 575: 307: 35: 18:

Physical law: force needed to deform a spring scales linearly with distance

20046: 1227:

In the case of a helical spring that is stretched or compressed along its

1006: 759:

Hooke's equation holds (to some extent) in many other situations where an

28373:{\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\nu _{\mathrm {2D} }}}} 19872: 19775: 17702: 2628:

relating elastic stresses to strains is entirely similar to the equation

859: 625: 528: 18893:). Therefore, the internal energy density is a function of the strains, 17825:{\displaystyle \delta W=\delta W_{\mathrm {s} }+\delta W_{\mathrm {b} }} 2740: 27500:{\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}} 27315:{\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}} 20314: 19794: 19690: 17855: 14387: 2608: 1899: 1314: 843: 796: 547: 443: 20662: 20291: 20270: 20119: 20096:"Size dependent nanomechanics of coil spring shaped polymer nanowires" 16404:

The transposed form of the above stiffness matrix is also often used.

8070:

In matrix form, Hooke's law for isotropic materials can be written as

4202:

The first term on the right is the constant tensor, also known as the

838:(deformation) of an elastic object or material is proportional to the 28805:{\displaystyle {\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}} 26746:{\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}} 20667: 19970: 19766: 19761: 19595: 17718: 3844: 3524: 3516: 3499: 2932:

The modulus of elasticity may often be considered constant. In turn,

2657: 2567: 1103: 812: 804: 787:

materials will noticeably deviate from Hooke's law well before those

767:, such as wind blowing on a tall building, and a musician plucking a 735: 519: 514: 348: 23: 3055:{\displaystyle \varepsilon ={\frac {\sigma }{E}}={\frac {F}{AE}}\,.} 1303:

between their magnitudes will depend on the direction of the vector

31: 20050: 19745: 19650: 19630: 19616: 3520: 3462: 3329: 2526: 1952:). The analogue of Hooke's spring law for continuous media is then 1247: 498: 403: 383: 369: 39: 27095:{\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2G_{\mathrm {2D} }}}-1} 20202: 17877:

in the body, then the two external work terms can be expressed as

3449:

is constant even when the displacement and acceleration are zero.

2570:

media (which have the same physical properties in any direction),

1044:

Hooke's law for a spring is also stated under the convention that

866:

will behave like a simple spring when stretched, with a stiffness

28029:{\displaystyle (\lambda _{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })} 19499: 3584:

and watches that could be carried on ships and people's pockets.

2661: 747: 683: 252: 24105:{\displaystyle {\tfrac {(M-\lambda )(M+2\lambda )}{M+\lambda }}} 20611:

Hooke's Law - Classical Mechanics - Physics - MIT OpenCourseWare

17717:

Linear deformations of elastic materials can be approximated as

3820: 2725:(displacements divided by distances). Therefore, the entries of 19640: 19126:

is a fourth-rank tensor of material constants, also called the

11330:

The arbitrariness of the order of differentiation implies that

5321:, Hooke's law for isotropic materials can then be expressed as 2887:

is linearly proportional to its fractional extension or strain

1912: 1447:

connecting them can be represented by a 3 × 3 matrix

1427: 1157: 847: 393: 27659:{\displaystyle (\lambda _{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })} 25713:{\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },\,\lambda _{\mathrm {2D} })} 17773:

done by external forces. The work can be split into two terms

11174:. This reduces the number of elastic constants from 81 to 36. 27967:{\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }\,} 19544: 18914:

and the variation of the internal energy can be expressed as

6223:

We get similar equations to the loads in directions 2 and 3,

3438:{\displaystyle {\frac {d^{2}U_{\mathrm {el} }}{dx^{2}}}=k\,.} 2600: 1034: 892: 734:

is a constant factor characteristic of the spring (i.e., its

695: 297: 28652:{\displaystyle 2G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })\,} 26504:{\displaystyle 2K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })\,} 20485: 20081:

Sears and Zemansky's University Physics: With Modern Physics

20017:

Invention by Design: How Engineers Get from Thought to Thing

10545:

The inverse relation is usually written in the reduced form

2715:(Pa, or N/m, or kg/(m·s). The elements of the strain tensor 1195:, rather than stretching or compression, the shearing force 26020:{\displaystyle 2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }} 20184:

Mouhat, Félix; Coudert, François-Xavier (5 December 2014).

20079:

Young, Hugh D.; Freedman, Roger A.; Ford, A. Lewis (2016).

17721:. Under these conditions and for quasistatic processes the 11353: 3580:

This phenomenon made possible the construction of accurate

2747:

for low-carbon steel, showing the relationship between the

2735: 1911:

elastic material (such as a block of rubber, the wall of a

28497:{\displaystyle (G_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })} 27710:{\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }} 27244:{\displaystyle (E_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })} 26438:{\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })} 25889:{\displaystyle K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }} 23812:{\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}} 22533:{\displaystyle R={\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}} 16416:

material is symmetric with respect to a rotation about an

3811:{\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}} 3573:{\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}} 3511:

attached to the end of a spring is a classic example of a

3453:

Relaxed force constants (generalized compliance constants)

3206:{\displaystyle U_{\mathrm {el} }(x)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}} 3116:{\displaystyle \Delta L=\varepsilon L={\frac {FL}{AE}}\,.} 2688:, displacements are measured in meters (m), and forces in 20436:

Boresi, A. P.; Schmidt, R. J.; Sidebottom, O. M. (1993).

19680: 18307:

Using the symmetry of the Cauchy stress and the identity

16429:

is the axis of symmetry, Hooke's law can be expressed as

15726:, Hooke's law for an orthotropic material takes the form 14048:{\displaystyle c_{pqrs}=l_{pi}l_{qj}l_{rk}l_{sl}c_{ijkl}} 3310:{\displaystyle U_{\mathrm {el} }(F)={\frac {F^{2}}{2k}}.} 433: 20093: 2705:

For continuous media, each element of the stress tensor

1114:

due to torsion. Mathematically, it can be expressed as:

28867:{\displaystyle (G_{\mathrm {2D} },\,M_{\mathrm {2D} })} 26808:{\displaystyle (E_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })} 26082:{\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })} 25260:{\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },\,E_{\mathrm {2D} })} 23076:{\displaystyle {\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}} 20623:

JavaScript Applet demonstrating Springs and Hooke's law

20435: 18031:

represents its surface. Using the relation between the

750:. He published the solution of his anagram in 1678 as: 27:

Hooke's law: the force is proportional to the extension

29089: 29071:{\displaystyle M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }\,} 28934: 28754: 28668: 28513: 28335: 28245: 28133: 28045: 27851: 27726: 27518: 27445: 27333: 27260: 27111: 27046: 26920: 26824: 26695: 26602: 26520: 26247: 26100: 25905: 25731: 25580: 25498: 25404: 25280: 24911: 24868: 24795: 24731: 24636: 24542: 24507: 24402: 24349: 24239: 24161: 24123: 24051: 24010: 23887: 23830: 23763: 23711: 23595: 23575:{\displaystyle {\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}} 23530: 23495: 23270: 23223: 23179: 23130: 23013: 22964: 22897: 22845: 22746: 22705: 22642: 22585: 22439: 22390: 22343: 22292: 22200: 22153: 22112: 22051: 21953: 21881: 21835: 21717: 21647: 21610: 21555: 21440: 21393: 21375:{\displaystyle {\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}} 21330: 21226: 21180: 21131: 21067: 18658: 18501: 18371: 17567: 17108: 16980: 16852: 16542: 16441: 16329: 16164: 16055: 15971: 15809: 15738: 15517: 15058: 14930: 14817: 14529: 14428: 13476: 12934: 12337: 11876: 11741: 11631: 11514: 11413: 11021: 10928: 10827: 10707: 10629: 10557: 10425: 10311: 10235: 10157: 10073: 9817: 9680: 9558: 9327: 9226: 9214:

which can be simplified thanks to the Lamé constants:

9104: 8828: 8685: 8552: 8303: 8192: 8082: 4325: 4252: 4097: 3956: 3889: 3768:, this leads to the same frequency equation as above: 3179: 2970:(that is, the fractional change in length), and since 2218: 2077: 1664: 1538: 1479: 29087: 29030: 28932: 28881: 28823: 28752: 28666: 28602: 28511: 28453: 28388: 28333: 28243: 28131: 28043: 27985: 27926: 27849: 27724: 27673: 27615: 27516: 27443: 27331: 27258: 27200: 27109: 27044: 26918: 26822: 26764: 26693: 26600: 26518: 26454: 26394: 26339: 26245: 26192: 26098: 26038: 25980: 25903: 25852: 25729: 25669: 25578: 25496: 25402: 25278: 25216: 25174: 25137: 25100: 25063: 25026: 24989: 24909: 24866: 24852:{\displaystyle {\tfrac {M(1+\nu )(1-2\nu )}{1-\nu }}} 24793: 24729: 24695: 24634: 24601: 24540: 24499: 24465: 24400: 24347: 24307: 24237: 24203: 24159: 24121: 24049: 24008: 23974: 23933: 23885: 23828: 23761: 23709: 23675: 23640: 23593: 23528: 23487: 23453: 23420: 23391: 23319: 23268: 23221: 23177: 23128: 23094: 23011: 22962: 22895: 22843: 22809: 22744: 22703: 22640: 22583: 22549: 22481: 22437: 22388: 22341: 22290: 22256: 22198: 22151: 22110: 22049: 22013: 21951: 21879: 21833: 21790: 21754: 21709: 21645: 21602: 21553: 21517: 21479: 21438: 21391: 21328: 21292: 21224: 21178: 21129: 21065: 21027: 20997: 20972: 20947: 20922: 20897: 20872: 20824: 20798: 20766: 20740: 20714: 20688: 20248: 19326: 19212: 19140: 19088: 18997: 18920: 18834: 18771: 18645: 18467: 18313: 18205: 18068: 17883: 17779: 17731: 17692: 16974: 16435: 16049: 15732: 14924: 14422: 14242: 14143: 14075: 13951: 12910: 12804: 11852: 11391: 11187: 10821: 10551: 10305: 10067: 9674: 9220: 8679: 8076: 7817: 7432: 7305: 6910: 6604: 6400: 6229: 6047: 5596: 5327: 5131: 4920: 4671: 4468: 4223: 4025: 3866: 3843:

For an analogous development for viscous fluids, see

3774: 3728: 3628: 3536: 3378: 3254: 3220: 3150: 3070: 3013: 2976: 2938: 2904: 2392: 2061: 2010: 1958: 1744: 1463: 1182: 1123: 1061: 954: 917: 79: 14918:

The inverse of this relation is commonly written as

3457:

Relaxed force constants (the inverse of generalized

2859: 2576:

can be reduced to only two independent numbers, the

1457:

by the displacement vector, gives the force vector:

1215:

placed at some intermediate point. The displacement

1174:(measured in radians) from the equilibrium position. 28918:{\displaystyle M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }} 26376:{\displaystyle K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }} 26229:{\displaystyle K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }} 23869:{\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}} 22948:{\displaystyle {\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}} 20150: 20021:. Cambridge, MA: Harvard University Press. p. 16407: 1888: 1275:will be proportional to the magnitude of the force 38:are based on Hooke's law. The force created by gas 29149: 29070: 29015: 28917: 28866: 28804: 28733: 28651: 28587: 28496: 28436: 28372: 28316: 28226: 28116: 28028: 27966: 27911: 27830: 27709: 27658: 27596: 27499: 27428: 27314: 27243: 27181: 27094: 27027: 26901: 26807: 26745: 26676: 26585: 26503: 26437: 26375: 26324: 26228: 26177: 26081: 26019: 25965: 25888: 25835: 25712: 25650: 25563: 25481: 25387: 25259: 25196: 25159: 25122: 25085: 25048: 25011: 24961: 24894: 24851: 24778: 24714: 24674: 24617: 24586: 24525: 24484: 24446: 24381: 24332: 24292: 24222: 24182: 24144: 24104: 24034: 23993: 23957: 23917: 23868: 23811: 23747:{\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}} 23746: 23694: 23656: 23626:{\displaystyle {\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}} 23625: 23574: 23513: 23472: 23432: 23403: 23373: 23302: 23253: 23206: 23160: 23113: 23075: 22994: 22947: 22878: 22828: 22790: 22729: 22686: 22623: 22568: 22532: 22466: 22423:{\displaystyle {\tfrac {2\lambda }{E+\lambda +R}}} 22422: 22373: 22322: 22275: 22235: 22183: 22136: 22095: 22032: 21994: 21934: 21864: 21818: 21773: 21735: 21694: 21628: 21587: 21536: 21498: 21464: 21423: 21374: 21311: 21273: 21209: 21163: 21114: 21046: 21007: 20982: 20957: 20932: 20907: 20882: 20830: 20804: 20778: 20746: 20720: 20694: 20014: 19361: 19289: 19198: 19114: 19041: 18983: 18873: 18816: 18757: 18623: 18453: 18299: 18179: 17996: 17824: 17749: 17697:To grasp the degree of anisotropy of any class, a 17678: 16945: 16396: 16035: 15628: 14910: 14362: 14228: 14129: 14047: 13929: 12892: 12790: 11834: 11322: 11075: 10758: 10535: 10289: 9997: 9660: 9206: 8645: 8043: 7794: 7416: 7283: 6893: 6557: 6386: 6204: 6005: 5582: 5305: 5103: 4906: 4583: 4431: 4185: 4000: 3810: 3750: 3688: 3572: 3437: 3309: 3240: 3205: 3115: 3054: 2999: 2963:{\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta L}{L}}} 2962: 2922: 2485: 2341: 2034: 1982: 1907:The stresses and strains of the material inside a 1835: 1730: 1250:still holds and says that the force vector is the 1208:obey Hooke's law (for small enough deformations). 1141: 1086: 980: 939: 807:. It is also the fundamental principle behind the 114: 24293:{\displaystyle {\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}} 23918:{\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}} 23374:{\displaystyle S=\pm {\sqrt {E^{2}+9M^{2}-10EM}}} 21935:{\displaystyle {\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}} 20078: 5111:Therefore, the compliance tensor in the relation 3587: 902:. Suppose that the spring has reached a state of 29173: 24962:{\displaystyle {\tfrac {M(1-2\nu )}{2(1-\nu )}}} 23958:{\displaystyle \nu =0\Leftrightarrow \lambda =0} 21465:{\displaystyle {\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}} 3600:and rotating in free space, the spring tension ( 2349:Being a linear mapping between the nine numbers 906:, where its length is not changing anymore. Let 24779:{\displaystyle {\tfrac {M(1+\nu )}{3(1-\nu )}}} 24183:{\displaystyle {\tfrac {\lambda }{M+\lambda }}} 20465:. Lancaster, PA: Technomic Publishing Company. 15686:that corresponds to a contraction in direction 14066:. The same relation also holds for inversions. 7802:and substituting it to the equation solved for 2839:Generalizations of Hooke's law for the case of 1295:will hold. However, the force and displacement 24447:{\displaystyle {\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}} 20490:(2008). "Universal Elastic Anisotropy Index". 13939: 3596:were attached to a spring with force constant 2692:(N or kg·m/s). Therefore, the spring constant 21995:{\displaystyle {\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}} 20648: 20606:Hooke's law - The Feynman Lectures on Physics 20463:Stress Concentrations in Laminated Composites 20183: 19998:The anagram was given in alphabetical order, 19910: 18281: 18227: 7607: 7492: 7268: 7188: 7146: 7066: 7024: 6944: 6878: 6826: 6784: 6732: 6690: 6638: 6037:Derivation of Hooke's law in three dimensions 5862: 5810: 5772: 5720: 5682: 5630: 5514: 5460: 5430: 5356: 3835:of summing on repeated indices is used below. 3821:Linear elasticity theory for continuous media 3368:. As the spring is stretched in the positive 2668:of deformation) while the latter pertains to 2052:, represents the inverse of said linear map. 1426:. Such a function is called a (second-order) 746:. He first stated the law in 1676 as a Latin 663: 20847: 20628:JavaScript Applet demonstrating Spring Force 19966:Simple harmonic motion of a mass on a spring 19049:For a linear elastic material, the quantity 1204:and the sideways displacement of the plates 1029:will be a straight line passing through the 25086:{\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }=\,} 22374:{\displaystyle {\tfrac {E-3\lambda +R}{4}}} 22323:{\displaystyle {\tfrac {E+3\lambda +R}{6}}} 21424:{\displaystyle {\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}} 20003: 19362:{\displaystyle J=-D{\frac {d\varphi }{dx}}} 751: 115:{\displaystyle J=-D{\frac {d\varphi }{dx}}} 24382:{\displaystyle {\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}} 22467:{\displaystyle {\tfrac {E-\lambda +R}{2}}} 20655: 20641: 20360: 20340:. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. 19946:List of scientific laws named after people 19917: 19903: 15690:when an extension is applied in direction 15670:on the plane whose normal is in direction 14280: 14276: 11239: 11235: 10815:. In this case Hooke's law takes the form 10061:. In that case Hooke's law takes the form 1313:Yet, in such cases there is often a fixed 670: 656: 29067: 28845: 28648: 28475: 28007: 27963: 27637: 27222: 26786: 26500: 26416: 26060: 25691: 25238: 25193: 25156: 25119: 25082: 25045: 25008: 24705: 24614: 24475: 24329: 24213: 24035:{\displaystyle {\tfrac {M+2\lambda }{3}}} 23984: 23685: 23653: 23514:{\displaystyle \lambda +{\tfrac {2G}{3}}} 23463: 23104: 22819: 22559: 22266: 22023: 21865:{\displaystyle {\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}} 21815: 21764: 21695:{\displaystyle {\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}} 21527: 21495: 21302: 21274:{\displaystyle {\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}} 21115:{\displaystyle {\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}} 21037: 21004: 20979: 20954: 20929: 20904: 20879: 20592:Learn how and when to remove this message 20410: 20404: 20201: 20168: 20127: 20049:, where one can find also an anagram for 19283: 19192: 19035: 18977: 18867: 18807: 18751: 18719: 18617: 18610: 18293: 18286: 18173: 18166: 18130: 17987: 17938: 17931: 17102: 17098: 16536: 16532: 16390: 16117: 16113: 16029: 15803: 15799: 15052: 15048: 14523: 14519: 14356: 14222: 13470: 13466: 12928: 12924: 12886: 12331: 12327: 11870: 11866: 11735: 11731: 11625: 11621: 11605: 11508: 11504: 11407: 11403: 11316: 10880: 10876: 10613: 10609: 10374: 10370: 10126: 10122: 9805: 9801: 9321: 9317: 8780: 8776: 8673:. The inverse relation may be written as 8287: 8283: 8186: 8182: 8033: 7410: 7273: 7151: 7029: 6883: 6789: 6695: 6547: 6499: 6448: 6376: 6325: 6277: 6194: 6143: 6092: 5956: 5913: 5435: 4777: 4534: 4367: 4133: 4071: 3650: 3431: 3109: 3064:The change in length may be expressed as 3048: 3000:{\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}\,,} 2993: 2732:are also expressed in units of pressure. 2212: 2208: 2198: 2071: 2067: 1717: 1713: 1532: 1528: 1473: 1469: 24895:{\displaystyle {\tfrac {M\nu }{1-\nu }}} 24587:{\displaystyle {\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}} 24145:{\displaystyle {\tfrac {M-\lambda }{2}}} 22879:{\displaystyle {\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}} 22791:{\displaystyle {\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}} 22687:{\displaystyle {\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}} 22096:{\displaystyle {\tfrac {9K(M-K)}{3K+M}}} 20555:This article includes a list of general 20379: 20009: 18889:of the internal forces (also called the 17725:for a deformed body can be expressed as 14372: 11354:Matrix representation (stiffness tensor) 11085: 4661:is the second-rank identity tensor, and 3498: 2739: 2736:General application to elastic materials 2660:fluids; although the former pertains to 1898: 1005: 882: 834:generalizes Hooke's law to say that the 45: 30: 22: 25160:{\displaystyle \nu _{\mathrm {2D} }=\,} 22995:{\displaystyle {\tfrac {E}{2(1+\nu )}}} 20153:"Deformation effects in layer crystals" 20047:http://civil.lindahall.org/design.shtml 19167: 19159: 19151: 19108: 19090: 19028: 18999: 18973: 18959: 18863: 18852: 18803: 18792: 18731: 18650: 18577: 18493: 18242: 18112: 12836: 12809: 11614: 11396: 5568: 5541: 5505: 5489: 5466: 5441: 5089: 5029: 4998: 4945: 4922: 4530: 4512: 4490: 4470: 4422: 4396: 4373: 4176: 4159: 4148: 4118: 4086: 4064: 4044: 4027: 2679: 2204: 2063: 2025: 2012: 1973: 1960: 1719: 714:with respect to that distance—that is, 29174: 24675:{\displaystyle {\tfrac {M-2G}{2M-2G}}} 22624:{\displaystyle {\tfrac {EG}{3(3G-E)}}} 20429: 20385: 20361:Simo, J. C.; Hughes, T. J. R. (1998). 20354: 20336:Symon, Keith R. (1971). "Chapter 10". 20083:(14th ed.). Pearson. p. 209. 19187: 19099: 18708: 18551: 18440: 18395: 17712: 12916: 12824: 11858: 5298: 5214: 5134: 4576: 4541: 4521: 3838: 3488: 3445:Note that the change in the change in 2923:{\displaystyle \sigma =E\varepsilon .} 1261: 887:Elongation and compression of a spring 22236:{\displaystyle {\tfrac {3K-M}{3K+M}}} 20636: 20335: 17701:(AU) was formulated. It replaces the 4199:is the second-order identity tensor. 1222: 25197:{\displaystyle M_{\mathrm {2D} }=\,} 25123:{\displaystyle G_{\mathrm {2D} }=\,} 25049:{\displaystyle E_{\mathrm {2D} }=\,} 25012:{\displaystyle K_{\mathrm {2D} }=\,} 23303:{\displaystyle {\tfrac {E-M+S}{4M}}} 23254:{\displaystyle {\tfrac {3M+E-S}{8}}} 23161:{\displaystyle {\tfrac {3M-E+S}{6}}} 22184:{\displaystyle {\tfrac {3(M-K)}{4}}} 21588:{\displaystyle {\tfrac {9KG}{3K+G}}} 21164:{\displaystyle {\tfrac {3KE}{9K-E}}} 20541: 20008:– "As the extension, so the force": 19082:, and can therefore be expressed as 11110:) and the generalized Hooke's laws ( 4458:Using the relationships between the 1097: 981:{\displaystyle x={\frac {F_{s}}{k}}} 873: 23207:{\displaystyle {\tfrac {M-E+S}{4}}} 21210:{\displaystyle {\tfrac {3K-E}{6K}}} 20460: 20454: 20413:The Linearized Theory of Elasticity 18824:and therefore the variation in the 2868:material may be viewed as a linear 2854: 2618:In particular, the tensor equation 1881:, rather than a single real number 1326:from vectors to vectors, such that 13: 29138: 29122: 29101: 29061: 29040: 29004: 28985: 28967: 28949: 28909: 28891: 28855: 28836: 28792: 28769: 28721: 28698: 28683: 28639: 28615: 28575: 28549: 28525: 28485: 28466: 28422: 28398: 28361: 28346: 28304: 28281: 28257: 28215: 28196: 28169: 28145: 28104: 28081: 28057: 28017: 27998: 27957: 27936: 27899: 27878: 27862: 27818: 27797: 27777: 27759: 27741: 27701: 27683: 27647: 27628: 27581: 27554: 27529: 27484: 27456: 27413: 27386: 27360: 27345: 27299: 27271: 27232: 27213: 27169: 27151: 27126: 27076: 27057: 27015: 26997: 26974: 26953: 26935: 26889: 26871: 26851: 26836: 26796: 26777: 26733: 26710: 26664: 26638: 26614: 26573: 26550: 26535: 26491: 26467: 26426: 26407: 26367: 26349: 26312: 26294: 26277: 26259: 26220: 26202: 26165: 26147: 26130: 26115: 26070: 26051: 26011: 25993: 25953: 25935: 25916: 25880: 25862: 25823: 25805: 25782: 25764: 25746: 25701: 25682: 25638: 25620: 25595: 25551: 25531: 25513: 25469: 25451: 25431: 25416: 25375: 25357: 25334: 25316: 25295: 25248: 25229: 25184: 25147: 25110: 25073: 25036: 24999: 24526:{\displaystyle M-{\tfrac {4G}{3}}} 22730:{\displaystyle {\tfrac {E}{2G}}-1} 22137:{\displaystyle {\tfrac {3K-M}{2}}} 21736:{\displaystyle K+{\tfrac {4G}{3}}} 21629:{\displaystyle K-{\tfrac {2G}{3}}} 20561:it lacks sufficient corresponding 19234: 19216: 19147: 19143: 19024: 19009: 18955: 18940: 18786: 18724: 18691: 18674: 18570: 18534: 18517: 18482: 18426: 18404: 18345: 18314: 18232: 18220: 18145: 18095: 18092: 17966: 17952: 17910: 17907: 17893: 17816: 17798: 17699:universal elastic anisotropy index 17693:Universal elastic anisotropy index 11297: 11281: 11267: 11215: 11207: 11166:. These symmetries are called the 6567:Summing the three cases together ( 3661: 3635: 3401: 3398: 3264: 3261: 3160: 3157: 3071: 2948: 2536:Due to the inherent symmetries of 1025:as a function of the displacement 911: 14: 29213: 23695:{\displaystyle (\lambda ,\,\nu )} 20616: 17750:{\displaystyle \delta W=\delta U} 12900:Similarly the compliance tensor ( 11146:. Similarly, the symmetry of the 6901:or by adding and subtracting one 2860:Tensional stress of a uniform bar 2696:, and each element of the tensor 2593: 1453:of real coefficients, that, when 1441:of real numbers. Then the tensor 1160:measured in Newton-meters or N·m. 1106:analog of Hooke's law applies to 878: 702:) needed to extend or compress a 20546: 18747: 18739: 18698: 18681: 18601: 18585: 18541: 18524: 18430: 18416: 18408: 18389: 18363: 18352: 18332: 18324: 18275: 18264: 18253: 18162: 18151: 18126: 18104: 17983: 17972: 17927: 17916: 16408:Transversely isotropic materials 14114: 14081: 10491: 10299:In vector notation this becomes 9945: 9668:In vector notation this becomes 5576: 5497: 5274: 5266: 5190: 5182: 5097: 5006: 4561: 4553: 4498: 4129: 3125: 2020: 1968: 1889:Hooke's law for continuous media 1724: 1465: 784:first-order linear approximation 20479: 20438:Advanced Mechanics of Materials 20329: 18723: 17942: 14281: 14275: 12849: 12843: 11609: 11240: 11234: 10768: 10014: 5960: 5917: 5439: 4781: 4538: 4371: 4137: 4075: 3654: 3144:stored in a spring is given by 2202: 1946:(replacing the restoring force 1142:{\displaystyle \tau =-k\theta } 1014:According to this formula, the 850:) that can be represented by a 28991: 28955: 28861: 28824: 28645: 28621: 28555: 28531: 28491: 28454: 28410: 28287: 28263: 28202: 28178: 28175: 28151: 28087: 28063: 28023: 27986: 27783: 27747: 27653: 27616: 27587: 27563: 27560: 27536: 27490: 27466: 27419: 27395: 27392: 27368: 27305: 27281: 27238: 27201: 26980: 26941: 26802: 26765: 26644: 26620: 26497: 26473: 26432: 26395: 26076: 26039: 25788: 25752: 25707: 25670: 25340: 25301: 25254: 25217: 24952: 24940: 24932: 24917: 24831: 24816: 24813: 24801: 24769: 24757: 24749: 24737: 24709: 24696: 24566: 24548: 24479: 24466: 24423: 24411: 24326: 24314: 24283: 24268: 24260: 24248: 24217: 24204: 24084: 24069: 24066: 24054: 23994:{\displaystyle (\lambda ,\,M)} 23988: 23975: 23943: 23905: 23893: 23851: 23836: 23799: 23784: 23781: 23769: 23729: 23717: 23689: 23676: 23616: 23604: 23554: 23536: 23473:{\displaystyle (\lambda ,\,G)} 23467: 23454: 23383:There are two valid solutions. 23108: 23095: 23066: 23051: 23048: 23036: 23031: 23019: 22985: 22973: 22938: 22923: 22920: 22908: 22869: 22854: 22823: 22810: 22767: 22752: 22663: 22648: 22614: 22599: 22563: 22550: 22276:{\displaystyle (E,\,\lambda )} 22270: 22257: 22171: 22159: 22072: 22060: 22027: 22014: 21974: 21962: 21925: 21913: 21905: 21890: 21812: 21797: 21768: 21755: 21685: 21670: 21531: 21518: 21499:{\displaystyle 3K-2\lambda \,} 21411: 21399: 21351: 21339: 21312:{\displaystyle (K,\,\lambda )} 21306: 21293: 21250: 21235: 21091: 21076: 21041: 21028: 20512:10.1103/PhysRevLett.101.055504 20411:Slaughter, William S. (2001). 20285: 20242: 20177: 20170:10.3367/UFNr.0155.198805c.0089 20144: 20087: 20072: 20056: 20039: 19992: 19171: 19163: 18703: 18688: 18546: 18531: 18435: 18423: 18356: 18342: 18336: 18320: 18257: 18238: 18116: 18100: 18055:is the unit outward normal to 16313: 16278: 14347: 14295: 14277: 14124: 14109: 14106: 14100: 14094: 14076: 12921: 12911: 12840: 12832: 12829: 12819: 12813: 12805: 12798:and Hooke's law is written as 11863: 11853: 11618: 11610: 11400: 11392: 11236: 10917: 10902: 10899: 10887: 10417: 10405: 8817: 8802: 8799: 8787: 8030: 7991: 7956: 7917: 7911: 7896: 7893: 7881: 7785: 7746: 7675: 7636: 7602: 7563: 7551: 7512: 7509: 7497: 7407: 7368: 7291:and further we get by solving 7263: 7224: 7205: 7193: 7141: 7102: 7083: 7071: 7019: 6980: 6961: 6949: 6873: 6847: 6779: 6753: 6685: 6659: 5857: 5831: 5767: 5741: 5677: 5651: 5572: 5564: 5509: 5493: 5485: 5476: 5425: 5380: 5175: 5157: 5093: 5085: 5002: 4994: 4982: 4964: 4494: 4486: 4426: 4418: 4400: 4392: 4180: 4172: 4152: 4144: 4122: 4114: 4090: 4082: 4068: 4060: 4048: 4040: 3751:{\displaystyle k=m\omega ^{2}} 3588:Rotation in gravity-free space 3276: 3270: 3172: 3166: 2825:(i.e., for stresses below the 2373:is represented by a matrix of 1863:can be said to hold also when 1: 23657:{\displaystyle \lambda +2G\,} 21819:{\displaystyle 3K(1-2\nu )\,} 20537: 4019:. In direct tensor notation: 3833:Einstein summation convention 2386:. Hooke's law then says that 1931:(in lieu of the displacement 1433:With respect to an arbitrary 1408:and any displacement vectors 1003:both negative in that case. 24333:{\displaystyle 2G(1+\nu )\,} 4914:The inverse relationship is 3609:) would supply the required 2765:Yield strength (yield point) 7: 20933:{\displaystyle \lambda =\,} 19956:Series and parallel springs 19301: 17723:first law of thermodynamics 13940:Change of coordinate system 11842:Then the stiffness tensor ( 11148:infinitesimal strain tensor 2004:. One may also write it as 1435:Cartesian coordinate system 10: 29218: 24715:{\displaystyle (\nu ,\,M)} 24223:{\displaystyle (G,\,\nu )} 23433:{\displaystyle \nu \leq 0} 23404:{\displaystyle \nu \geq 0} 22829:{\displaystyle (E,\,\nu )} 21774:{\displaystyle (K,\,\nu )} 20386:Milton, Graeme W. (2002). 20363:Computational Inelasticity 20220:10.1103/PhysRevB.90.224104 20151:Belen'kii; Salaev (1988). 18635:and from the equations of 18035:and the surface traction, 18020:is the body force vector, 17871:of the displacement field 16420:. For such a material, if 14376: 14064:orthogonal rotation matrix 3842: 3830: 3824: 3492: 2751:(force per unit area) and 1892: 20857:materials (second part). 20855: 20850: 20675: 20157:Uspekhi Fizicheskikh Nauk 14062:are the components of an 2876:and cross-sectional area 2843:is provided by models of 2672:stresses (related to the 1850:. Therefore, Hooke's law 1087:{\displaystyle F_{s}=-kx} 23414:The minus sign leads to 20747:{\displaystyle \lambda } 20388:The Theory of Composites 19986: 19936:Elastic potential energy 19421:Clausius–Duhem (entropy) 19371:Fick's laws of diffusion 19076:is a linear function of 18024:represents the body and 16043:The inverse relation is 14393:. If the basis vectors ( 11170:of the stiffness tensor 10011:is the identity tensor. 8671:engineering shear strain 4208:deviatoric strain tensor 4204:volumetric strain tensor 1183:General "scalar" springs 940:{\displaystyle F_{s}=kx} 174:Clausius–Duhem (entropy) 124:Fick's laws of diffusion 24485:{\displaystyle (G,\,M)} 23385:The plus sign leads to 23114:{\displaystyle (E,\,M)} 22569:{\displaystyle (E,\,G)} 22033:{\displaystyle (K,\,M)} 21537:{\displaystyle (K,\,G)} 21047:{\displaystyle (K,\,E)} 20983:{\displaystyle \nu =\,} 20576:more precise citations. 20492:Physical Review Letters 20440:(5th ed.). Wiley. 19579:Navier–Stokes equations 19517:Material failure theory 18631:From the definition of 11346:. These are called the 6216:is Poisson's ratio and 3328:can be visualized as a 2562:structure, and 3 for a 2367:, the stiffness tensor 1919:pulling, and shearing. 332:Navier–Stokes equations 270:Material failure theory 29151: 29072: 29017: 28919: 28868: 28806: 28735: 28653: 28589: 28498: 28438: 28374: 28318: 28228: 28118: 28030: 27968: 27913: 27832: 27711: 27660: 27598: 27501: 27430: 27316: 27245: 27183: 27096: 27029: 26903: 26809: 26747: 26678: 26587: 26505: 26439: 26377: 26326: 26230: 26179: 26083: 26021: 25967: 25890: 25837: 25714: 25652: 25565: 25483: 25389: 25261: 25198: 25161: 25124: 25087: 25050: 25013: 24963: 24896: 24853: 24780: 24716: 24676: 24619: 24618:{\displaystyle M-2G\,} 24588: 24527: 24486: 24448: 24383: 24334: 24294: 24224: 24184: 24146: 24106: 24036: 23995: 23959: 23919: 23870: 23813: 23748: 23696: 23658: 23627: 23576: 23515: 23474: 23434: 23405: 23375: 23304: 23255: 23208: 23162: 23115: 23077: 22996: 22949: 22880: 22830: 22792: 22731: 22688: 22625: 22570: 22534: 22468: 22424: 22375: 22324: 22277: 22237: 22185: 22138: 22097: 22034: 21996: 21936: 21866: 21820: 21775: 21737: 21696: 21630: 21589: 21538: 21500: 21466: 21425: 21376: 21313: 21275: 21211: 21165: 21116: 21048: 21009: 20984: 20959: 20934: 20909: 20884: 20832: 20806: 20780: 20779:{\displaystyle G,\mu } 20748: 20732:Lamé's first parameter 20722: 20696: 20295:Phys. Chem. Chem. Phys 20004: 19363: 19291: 19200: 19116: 19043: 18985: 18875: 18818: 18759: 18625: 18461:we have the following 18455: 18301: 18181: 17998: 17826: 17751: 17705:, which is suited for 17680: 16947: 16414:transversely isotropic 16398: 16037: 15630: 14912: 14364: 14230: 14131: 14049: 13931: 12894: 12792: 11846:) can be expressed as 11836: 11324: 11077: 10760: 10537: 10291: 9999: 9662: 9208: 8647: 8045: 7796: 7418: 7285: 6895: 6559: 6388: 6206: 6041:directions (2 and 3), 6007: 5584: 5307: 5105: 4908: 4585: 4433: 4187: 4002: 3812: 3752: 3690: 3574: 3504: 3439: 3311: 3242: 3207: 3117: 3056: 3001: 2964: 2924: 2814: 2487: 2450: 2429: 2343: 2036: 1984: 1904: 1837: 1732: 1254:multiplied by a fixed 1143: 1088: 1011: 982: 941: 888: 782:Hooke's law is only a 752: 694:which states that the 116: 56: 43: 28: 29152: 29073: 29018: 28920: 28869: 28807: 28736: 28654: 28590: 28499: 28439: 28375: 28319: 28229: 28119: 28031: 27969: 27914: 27833: 27712: 27661: 27599: 27502: 27431: 27317: 27246: 27184: 27097: 27030: 26904: 26810: 26748: 26679: 26588: 26506: 26440: 26378: 26327: 26231: 26180: 26084: 26022: 25968: 25891: 25838: 25715: 25653: 25566: 25484: 25390: 25262: 25199: 25162: 25125: 25088: 25051: 25014: 24964: 24897: 24854: 24781: 24717: 24677: 24620: 24589: 24528: 24487: 24449: 24384: 24335: 24295: 24225: 24185: 24147: 24107: 24037: 23996: 23960: 23920: 23871: 23814: 23749: 23697: 23659: 23628: 23577: 23516: 23475: 23435: 23406: 23376: 23305: 23256: 23209: 23163: 23116: 23078: 22997: 22950: 22881: 22831: 22793: 22732: 22689: 22626: 22571: 22535: 22469: 22425: 22376: 22325: 22278: 22238: 22186: 22139: 22098: 22035: 21997: 21937: 21867: 21821: 21776: 21738: 21697: 21631: 21590: 21539: 21501: 21467: 21426: 21377: 21314: 21276: 21212: 21166: 21117: 21049: 21010: 20985: 20960: 20935: 20910: 20885: 20833: 20807: 20781: 20749: 20723: 20697: 20488:Ostoja-Starzewski, M. 20257:(17): 174112–174116. 19931:Acoustoelastic effect 19574:Bernoulli's principle 19567:Archimedes' principle 19364: 19298:fourth-rank tensors. 19292: 19201: 19117: 19044: 18986: 18891:elastic strain energy 18876: 18819: 18760: 18626: 18456: 18302: 18182: 17999: 17827: 17752: 17681: 16955:More frequently, the 16948: 16399: 16038: 15631: 14913: 14384:Orthotropic materials 14373:Orthotropic materials 14365: 14231: 14132: 14050: 13932: 12895: 12793: 11837: 11325: 11086:Anisotropic materials 11078: 10761: 10538: 10292: 10000: 9663: 9209: 8648: 8046: 7797: 7419: 7286: 6896: 6560: 6389: 6207: 6008: 5585: 5308: 5106: 4909: 4586: 4434: 4188: 4003: 3813: 3753: 3691: 3575: 3502: 3440: 3312: 3243: 3241:{\displaystyle x=F/k} 3208: 3130:The potential energy 3118: 3057: 3002: 2965: 2925: 2893:modulus of elasticity 2872:. The rod has length 2743: 2664:stresses (related to 2640:viscous stress tensor 2488: 2430: 2409: 2358:and the nine numbers 2344: 2037: 1985: 1902: 1838: 1733: 1400:for any real numbers 1144: 1089: 1018:of the applied force 1009: 983: 942: 886: 327:Bernoulli's principle 320:Archimedes' principle 117: 49: 34: 26: 29192:Elasticity (physics) 29187:Springs (mechanical) 29085: 29028: 28930: 28879: 28821: 28750: 28664: 28600: 28509: 28451: 28386: 28382:Cannot be used when 28331: 28241: 28129: 28041: 27983: 27924: 27847: 27722: 27671: 27613: 27514: 27441: 27329: 27256: 27198: 27107: 27042: 26916: 26820: 26762: 26691: 26598: 26516: 26452: 26392: 26337: 26243: 26190: 26096: 26036: 25978: 25901: 25850: 25727: 25667: 25576: 25494: 25400: 25276: 25214: 25172: 25135: 25098: 25061: 25024: 24987: 24907: 24864: 24791: 24727: 24693: 24632: 24599: 24538: 24497: 24463: 24398: 24345: 24305: 24235: 24201: 24157: 24119: 24047: 24006: 23972: 23931: 23927:Cannot be used when 23883: 23826: 23759: 23707: 23673: 23638: 23591: 23526: 23485: 23451: 23418: 23389: 23317: 23266: 23219: 23175: 23126: 23092: 23009: 22960: 22893: 22841: 22807: 22742: 22701: 22638: 22581: 22547: 22479: 22435: 22386: 22339: 22288: 22254: 22196: 22149: 22108: 22047: 22011: 21949: 21877: 21831: 21788: 21752: 21707: 21643: 21600: 21551: 21515: 21477: 21436: 21389: 21326: 21290: 21222: 21176: 21127: 21063: 21025: 21008:{\displaystyle M=\,} 20995: 20970: 20958:{\displaystyle G=\,} 20945: 20920: 20908:{\displaystyle E=\,} 20895: 20883:{\displaystyle K=\,} 20870: 20851:Conversion formulae 20822: 20805:{\displaystyle \nu } 20796: 20764: 20738: 20712: 20686: 19666:Cohesion (chemistry) 19488:Infinitesimal strain 19324: 19210: 19138: 19086: 18995: 18918: 18832: 18828:density is given by 18769: 18643: 18465: 18311: 18203: 18066: 17881: 17854:is the work done by 17841:is the work done by 17777: 17729: 16972: 16433: 16047: 15730: 14922: 14420: 14379:Orthotropic material 14240: 14141: 14073: 13949: 12908: 12904:) can be written as 12802: 11850: 11389: 11185: 11092:Cauchy stress tensor 11090:The symmetry of the 10819: 10549: 10303: 10065: 9672: 9218: 8677: 8074: 7815: 7430: 7426:Calculating the sum 7303: 6908: 6602: 6398: 6227: 6220:is Young's modulus. 6045: 5594: 5325: 5129: 4918: 4669: 4466: 4221: 4023: 3864: 3772: 3726: 3626: 3534: 3479:compliance constants 3469:, and products of a 3459:compliance constants 3376: 3252: 3218: 3148: 3068: 3011: 2974: 2936: 2902: 2849:Mooney–Rivlin solids 2680:Units of measurement 2390: 2059: 2008: 1956: 1742: 1461: 1271:of the displacement 1172:angular displacement 1121: 1059: 1010:Graphical derivation 952: 915: 832:theory of elasticity 419:Cohesion (chemistry) 241:Infinitesimal strain 77: 29202:Structural analysis 27136: 25605: 20504:2008PhRvL.101e5504R 20486:Ranganathan, S.I.; 20461:Tan, S. C. 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