3778:
8021:
30:
3222:
93:
8031:
2081:
2676:
1482:
5057:
The log-logistic has been used as a model for the period of time beginning when some data leaves a software user application in a computer and the response is received by the same application after travelling through and being processed by other computers, applications, and network segments, most or
1867:
2315:
1307:
1013:
5771:
1185:
4366:
894:
2499:
3734:
2938:
382:
4883:
5005:
1347:
5444:
4185:
4554:
5369:
3101:
5527:
5978:
1621:
4718:
654:
2076:{\displaystyle {\begin{aligned}F(x;\alpha ,\beta )&={1 \over 1+(x/\alpha )^{-\beta }}\\&={(x/\alpha )^{\beta } \over 1+(x/\alpha )^{\beta }}\\&={x^{\beta } \over \alpha ^{\beta }+x^{\beta }}\end{aligned}}}
2807:
5299:
1872:
3799:. The log-normal distribution, however, needs a numeric approximation. As the log-logistic distribution, which can be solved analytically, is similar to the log-normal distribution, it can be used instead.
520:
3967:
5174:
2504:
5220:
5121:
2176:
1189:
898:
4625:
3358: ≤ 1, the hazard decreases monotonically). The fact that the cumulative distribution function can be written in closed form is particularly useful for analysis of survival data with
449:
5690:
2671:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X^{k})&=\alpha ^{k}\operatorname {B} (1-k/\beta ,1+k/\beta )\\&=\alpha ^{k}\,{k\pi /\beta \over \sin(k\pi /\beta )}\end{aligned}}}
1053:
4230:
765:
752:
3584:
6119:
2818:
3569:
3173:
3211:
6520:, Chapter 6 in: Drainage Principles and Applications, Publication 16, International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI), Wageningen, The Netherlands, pp.
4422:
2390:
270:
257:
4762:
4750:
1477:{\displaystyle {\frac {\alpha }{1-p}}\left({\frac {\pi }{\beta }}csc\left({\frac {\pi }{\beta }}\right)-B_{p}\left({\frac {1}{\beta }}+1,1-{\frac {1}{\beta }}\right)\right)}
5622:
3456:
2733:
3332:
2491:
2162:
2136:
1760:
1329:
1035:
179:
4898:
4222:
1828:
1794:
681:
547:
208:
8065:
5042:
3255:
2425:
123:
60:
5653:
5380:
577:
6243:
Shoukri, M.M.; Mian, I.U.M.; Tracy, D.S. (1988), "Sampling
Properties of Estimators of the Log-Logistic Distribution with Application to Canadian Precipitation Data",
5902:
5803:
3875:
3763:
6096:
5823:
5558:
4018:
3404:
3384:
3128:
2981:
5879:
5853:
5675:
5578:
3424:
3356:
3275:
2961:
2349:
2110:
1852:
143:
80:
4430:
6076:
4010:
5305:
1732:
There are several different parameterizations of the distribution in use. The one shown here gives reasonably interpretable parameters and a simple form for the
6052:
3990:
2458:
3005:
6679:
5912:
6099:
5455:
6647:
3802:
The blue picture illustrates an example of fitting the log-logistic distribution to ranked maximum one-day
October rainfalls and it shows the 90%
1488:
4633:
590:
2741:
6605:
Gago-BenĂtez, A.; Fernández-Madrigal J.-A., Cruz-MartĂn, A. (2013), "Log-Logistic
Modeling of Sensory Flow Delays in Networked Telerobots",
5225:
1046:
6808:
6163:
Ekawati, D.; Warsono; Kurniasari, D. (2014). "On the
Moments, Cumulants, and Characteristic Function of the Log-Logistic Distribution".
8034:
7291:
7199:
6318:
Tadikamalla, Pandu R.; Johnson, Norman L. (1982), "Systems of
Frequency Curves Generated by Transformations of Logistic Variables",
462:
7986:
3898:
6184:"Calculating CVaR and bPOE for common probability distributions with application to portfolio optimization and density estimation"
5126:
7852:
7064:
6823:
6672:
5990:, but this is usually considered in a different parameterization so that the distribution can be bounded above or bounded below.
7747:
7511:
5181:
5082:
7185:
6590:
6529:
6465:
2310:{\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {(\beta /\alpha )(x/\alpha )^{\beta -1}}{\left(1+(x/\alpha )^{\beta }\right)^{2}}}}
1302:{\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(i\alpha t)^{n}}{n!}}\mathrm {B} (1+{\frac {n}{\beta }},1-{\frac {n}{\beta }})}
7506:
7450:
7348:
7110:
6748:
1008:{\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha t)^{n}}{n!}}\mathrm {B} (1+{\frac {n}{\beta }},1-{\frac {n}{\beta }})}
5826:
7792:
7526:
7379:
7054:
6798:
5766:{\displaystyle \operatorname {LL} (\alpha ,\beta )\to L(\alpha ,\alpha /\beta )\quad {\text{as}}\quad \beta \to \infty .}
1650:
7256:
6183:
8024:
7696:
7672:
7251:
6665:
6245:
4565:
1180:{\displaystyle \beta \alpha ^{-\beta }\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{itx}x^{\beta -1}}{(1+(x/\alpha )^{\beta })^{2}}}dx}
395:
4361:{\displaystyle G={\sin(\pi /\beta ) \over {\pi /\beta }}\int _{0}^{\infty }{dz \over {(1+z^{-\beta })(1+z^{\beta })}}}
889:{\displaystyle \beta \alpha ^{-\beta }\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{tx}x^{\beta -1}}{(1+(x/\alpha )^{\beta })^{2}}}dx}
8055:
7893:
7770:
7731:
7703:
7677:
7595:
7521:
6944:
6692:
6020:
5987:
7881:
7847:
7713:
7708:
7553:
7361:
7059:
6813:
3729:{\displaystyle h(t)={\frac {f(t)}{S(t)}}={\frac {(\beta /\alpha )(t/\alpha )^{\beta -1}}{1+(t/\alpha )^{\beta }}}.}
1858:
1733:
1717:
388:
707:
7631:
7544:
7516:
7425:
7374:
7246:
7029:
6994:
6480:
Di
Crescenzo, Antonio; Pellerey, Franco (2019), "Some results and applications of geometric counting processes",
7645:
7562:
7399:
7323:
7146:
7024:
6999:
6863:
6858:
6853:
5447:
3363:
2933:{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\alpha ^{2}\left(2b/\sin 2b-b^{2}/\sin ^{2}b\right),\quad \beta >2.}
7961:
7827:
7535:
7384:
7316:
7301:
7194:
7168:
7100:
6939:
6833:
6828:
6770:
6755:
4889:
3822:
6110:, can be fit to data with linear least squares, and subsumes the log-logistic distribution is special case.
3792:
The log-logistic distribution has been used in hydrology for modelling stream flow rates and precipitation.
3359:
8070:
7797:
7787:
7478:
7404:
7105:
6964:
6103:
2167:
263:
7857:
6015:, both of which include a second shape parameter. Both are in turn special cases of the even more general
5066:
connected to the
Internet). It has been shown to be a more accurate probabilistic model for that than the
3471:
3137:
7842:
7837:
7782:
7718:
7662:
7483:
7470:
7261:
7206:
7158:
6949:
6878:
6743:
3178:
377:{\displaystyle {\frac {(\beta /\alpha )(x/\alpha )^{\beta -1}}{\left(1+(x/\alpha )^{\beta }\right)^{2}}}}
4878:{\displaystyle {\text{B}}(1-1/\beta ,1+1/\beta )={1 \over {\beta }}\Gamma (1-1/\beta )\Gamma (1/\beta )}
4374:
4012:
is the expected value. For the log-logistic distribution, the formula for the Gini coefficient becomes:
8060:
7976:
7752:
7571:
7353:
7306:
7175:
7151:
7131:
6974:
6848:
6728:
6004:
2357:
758:
5070:
or others, as long as abrupt changes of regime in the sequences of those times are properly detected.
3795:
Extreme values like maximum one-day rainfall and river discharge per month or per year often follow a
224:
7981:
7765:
7726:
7600:
7437:
7281:
7124:
7088:
6959:
6924:
5677:
of the log-logistic distribution increases, its shape increasingly resembles that of a (very narrow)
4726:
1713:
6332:
6282:
Ashkar, Fahim; Mahdi, Smail (2006), "Fitting the log-logistic distribution by generalized moments",
5000:{\displaystyle {\text{B}}(1-1/\beta ,1+1/\beta )={1 \over {\beta }}{\pi \over {\sin(\pi /\beta )}}}
7667:
7455:
7221:
7180:
7095:
7049:
6989:
6954:
6843:
6738:
6688:
5595:
3429:
2704:
5439:{\displaystyle \operatorname {LL} (\alpha ,\beta )\sim {\textrm {SinghMaddala}}(1,\alpha ,\beta )}
3308:
2467:
2141:
2115:
1739:
1312:
1018:
158:
7966:
7908:
7579:
7366:
7276:
7231:
7216:
7034:
6984:
6979:
6780:
6760:
5530:
5067:
4193:
3796:
1807:
1773:
1709:
660:
526:
187:
7136:
6521:
6515:
6143:
5013:
4180:{\displaystyle G={\sin(\pi /\beta ) \over {\alpha \pi /\beta }}\int _{0}^{\infty }{dx \over {}}}
3231:
2396:
99:
36:
7832:
7820:
7809:
7691:
7587:
7394:
6838:
6818:
6723:
6327:
6120:
Probability distributions: List of important distributions supported on semi-infinite intervals
5627:
3834:
1831:
1721:
1682:
561:
6397:
5884:
5782:
4549:{\displaystyle G={\sin(\pi /\beta ) \over {\pi }}\int _{0}^{1}u^{-1/\beta }(1-u)^{1/\beta }du}
3852:
3742:
7956:
7913:
7757:
7432:
7286:
7266:
7163:
6733:
6081:
6055:
5808:
5678:
5589:
5543:
3807:
3389:
3369:
3113:
2966:
1705:
217:
151:
5858:
5832:
5660:
5563:
3409:
3341:
3260:
2946:
2328:
2089:
1837:
128:
65:
8006:
8001:
7996:
7991:
7928:
7898:
7777:
7420:
7311:
6914:
6873:
6868:
6765:
6614:
6293:
6284:
6031:
5364:{\displaystyle \operatorname {LL} (\alpha ,\beta )\sim {\textrm {Dagum}}(1,\alpha ,\beta )}
3786:
3295:
2461:
7211:
6061:
3995:
8:
7940:
7465:
7445:
7415:
7389:
7343:
7271:
7083:
7019:
6604:
5059:
3838:
3096:{\displaystyle F^{-1}(p;\alpha ,\beta )=\alpha \left({\frac {p}{1-p}}\right)^{1/\beta }.}
1686:
700:
6618:
6297:
2983:, the variance and skewness tend to zero and the excess kurtosis tends to 6/5 (see also
7971:
7460:
7241:
7236:
7141:
7078:
7073:
6929:
6919:
6803:
6630:
6561:
6497:
6439:
6379:
6345:
6262:
6216:
6198:
6037:
6012:
5372:
3975:
3781:
Fitted cumulative log-logistic distribution to maximum one-day
October rainfalls using
2443:
1693:
to model the transmission times of data considering both the network and the software.
1340:
7869:
7296:
7039:
6969:
6934:
6883:
6641:
6586:
6525:
6501:
6461:
6220:
6107:
5062:
guarantees (for example, when an application is displaying data coming from a remote
5010:
Finally, we may conclude that the Gini coefficient for the log-logistic distribution
3811:
3462:
3291:
2996:
1658:
583:
6634:
7044:
6718:
6657:
6622:
6553:
6489:
6431:
6371:
6337:
6301:
6254:
6208:
3846:
3766:
3287:
1690:
1662:
6305:
3386:
to differ between groups, or more generally by introducing covariates that affect
5973:{\displaystyle \operatorname {LL} (\alpha ,1)=\operatorname {GPD} (1,\alpha ,1).}
3803:
3575:
3302:
3225:
1797:
1763:
1697:
1654:
210:
181:
5522:{\displaystyle {\textrm {LL}}(\gamma ,\sigma )\sim \beta '(1,1,\gamma ,\sigma )}
1665:
for events whose rate increases initially and decreases later, as, for example,
7117:
6212:
4753:
3892:
The Gini coefficient for a continuous probability distribution takes the form:
2686:
1666:
455:
6626:
6493:
6362:
Tadikamalla, Pandu R. (1980), "A Look at the Burr and
Related Distributions",
6341:
8049:
7740:
7488:
6775:
4560:
2682:
1674:
1332:
1038:
5986:
The addition of another parameter (a shift parameter) formally results in a
1616:{\displaystyle B_{y}(A_{1},A_{2})=\int _{0}^{y}p^{A_{1}-1}(1-p)^{A_{2}-1}dp}
6422:
Bennett, Steve (1983), "Log-Logistic
Regression Models for Survival Data",
4713:{\displaystyle {\text{B}}(x,y)={\Gamma (x)\Gamma (y) \over {\Gamma (x+y)}}}
3765:
is the marginal distribution of the inter-times in a geometric-distributed
649:{\displaystyle \alpha \left({\frac {\beta -1}{\beta +1}}\right)^{1/\beta }}
6019:. Another more straightforward generalization of the log-logistic is the
1630:
6003:, as they contain the log-logistic as a special case. These include the
2802:{\displaystyle \operatorname {E} (X)=\alpha b/\sin b,\quad \beta >1,}
6565:
6443:
6383:
6349:
6266:
3777:
1669:
from cancer following diagnosis or treatment. It has also been used in
1634:
5294:{\displaystyle X^{k}\sim \operatorname {LL} (\alpha ^{k},\beta /|k|).}
16:
Continuous probability distribution for a non-negative random variable
3842:
3299:
1701:
1678:
1670:
1646:
6557:
6435:
6375:
6258:
4756:. Using the properties of the gamma function, it can be shown that:
6203:
3335:
3131:
2943:
Explicit expressions for the skewness and kurtosis are lengthy. As
2698:
2694:
2690:
1801:
1696:
The log-logistic distribution is the probability distribution of a
688:
6583:
Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences
5999:
Several different distributions are sometimes referred to as the
3782:
3221:
92:
29:
5063:
3362:. The log-logistic distribution can be used as the basis of an
3107:
1767:
554:
515:{\displaystyle {\alpha \,\pi /\beta \over \sin(\pi /\beta )}}
6544:
Fisk, P.R. (1961), "The Graduation of Income Distributions",
3962:{\displaystyle G={1 \over {\mu }}\int _{0}^{\infty }F(1-F)dx}
5169:{\displaystyle kX\sim \operatorname {LL} (k\alpha ,\beta ).}
6182:
Norton, Matthew; Khokhlov, Valentyn; Uryasev, Stan (2019).
5215:{\displaystyle X\sim \operatorname {LL} (\alpha ,\beta )}
5116:{\displaystyle X\sim \operatorname {LL} (\alpha ,\beta )}
6162:
3833:
The log-logistic has been used as a simple model of the
6181:
6084:
6064:
6040:
5915:
5887:
5861:
5835:
5811:
5785:
5693:
5663:
5630:
5598:
5566:
5546:
5540:
has a log-logistic distribution with scale parameter
5458:
5383:
5308:
5228:
5184:
5129:
5085:
5016:
4901:
4765:
4729:
4636:
4568:
4559:
The integral component is equivalent to the standard
4433:
4377:
4233:
4196:
4021:
3998:
3978:
3901:
3855:
3745:
3587:
3474:
3432:
3412:
3392:
3372:
3344:
3311:
3263:
3234:
3181:
3140:
3116:
3008:
2999:(inverse cumulative distribution function) is :
2969:
2949:
2821:
2744:
2707:
2502:
2470:
2446:
2399:
2360:
2331:
2179:
2144:
2118:
2092:
1870:
1840:
1810:
1776:
1742:
1491:
1350:
1315:
1192:
1056:
1021:
901:
768:
710:
663:
593:
564:
529:
465:
398:
273:
227:
190:
161:
131:
102:
68:
39:
6687:
6479:
4424:
further simplifies the Gini coefficient formula to:
2325:
An alternative parametrization is given by the pair
5779:The log-logistic distribution with shape parameter
3739:The log-logistic distribution with shape parameter
8066:Probability distributions with non-finite variance
6424:Journal of the Royal Statistical Society, Series C
6317:
6090:
6070:
6046:
5972:
5896:
5873:
5847:
5817:
5797:
5765:
5669:
5647:
5616:
5572:
5552:
5521:
5438:
5363:
5293:
5214:
5168:
5115:
5036:
4999:
4877:
4744:
4712:
4619:
4548:
4416:
4360:
4216:
4179:
4004:
3984:
3961:
3869:
3845:, where it is known as the Fisk distribution. Its
3757:
3728:
3563:
3450:
3418:
3398:
3378:
3350:
3326:
3269:
3249:
3205:
3167:
3122:
3095:
2975:
2955:
2932:
2801:
2727:
2670:
2485:
2452:
2419:
2384:
2343:
2309:
2156:
2130:
2104:
2075:
1846:
1822:
1788:
1754:
1615:
1476:
1323:
1301:
1179:
1029:
1007:
888:
746:
675:
648:
571:
541:
514:
443:
376:
251:
202:
173:
137:
117:
74:
54:
6102:is highly shape flexible, has simple closed form
4620:{\displaystyle {\text{B}}(1-1/\beta ,1+1/\beta )}
444:{\displaystyle {1 \over 1+(x/\alpha )^{-\beta }}}
8047:
6482:Methodology and Computing in Applied Probability
6399:A Compendium of Common Probability Distributions
6242:
6017:generalized beta distribution of the second kind
6034:, in which power series expansions in terms of
2320:
6673:
6165:IPTEK, the Journal for Technology and Science
6646:: CS1 maint: multiple names: authors list (
4892:, the expression can be simplified further:
4627:. The beta function may also be written as:
747:{\displaystyle \ln \alpha \ -\ln \beta \ +2}
6580:
6458:Modelling Survival Data in Medical Research
6361:
6281:
6158:
6156:
3810:. The rainfall data are represented by the
3286:The log-logistic distribution provides one
2351:in analogy with the logistic distribution:
6680:
6666:
6395:
6277:
6275:
6137:
6135:
2984:
91:
28:
6355:
6331:
6238:
6236:
6202:
3560:
2615:
568:
472:
6153:
5073:
3776:
3458:as a linear function of the covariates.
3220:
6513:
6455:
6421:
6272:
6132:
8048:
6233:
6661:
6576:
6574:
6311:
6175:
6028:generalized log-logistic distribution
6001:generalized log-logistic distribution
8030:
6613:(8), IEEE Sensors 13(8): 2944–2953,
6543:
3564:{\displaystyle S(t)=1-F(t)=^{-1},\,}
3281:
3168:{\displaystyle 3^{-1/\beta }\alpha }
2963:tends to infinity the mean tends to
3992:is the CDF of the distribution and
3206:{\displaystyle 3^{1/\beta }\alpha }
1770:of the distribution. The parameter
1727:
1651:continuous probability distribution
13:
6571:
6246:The Canadian Journal of Statistics
6141:
5994:
5757:
4855:
4829:
4730:
4689:
4675:
4663:
4417:{\displaystyle u=1/(1+z^{\beta })}
4292:
4083:
3930:
2745:
2701:can be derived from this. Writing
2546:
2507:
1317:
1254:
1212:
1083:
1023:
960:
921:
795:
243:
14:
8082:
6517:Frequency and Regression Analysis
6021:shifted log-logistic distribution
5988:shifted log-logistic distribution
2385:{\displaystyle \mu =\ln(\alpha )}
8029:
8020:
8019:
6364:International Statistical Review
6149:. College of William & Mary.
3294:. Unlike the more commonly used
1859:cumulative distribution function
1734:cumulative distribution function
1718:cumulative distribution function
1708:. It is similar in shape to the
1623:is the incomplete beta function.
252:{\displaystyle x\in [0,\infty )}
89:Cumulative distribution function
6598:
6537:
6507:
6473:
6449:
6396:McLaughlin, Michael P. (2001),
5827:generalized Pareto distribution
5750:
5744:
4745:{\displaystyle \Gamma (\cdot )}
4224:leads to the simpler equation:
3216:
2920:
2786:
6415:
6389:
5964:
5946:
5934:
5922:
5754:
5741:
5721:
5715:
5712:
5700:
5611:
5605:
5516:
5492:
5478:
5466:
5433:
5415:
5402:
5390:
5358:
5340:
5327:
5315:
5285:
5281:
5273:
5248:
5209:
5197:
5160:
5145:
5110:
5098:
4991:
4977:
4947:
4907:
4872:
4858:
4852:
4832:
4811:
4771:
4739:
4733:
4704:
4692:
4684:
4678:
4672:
4666:
4654:
4642:
4614:
4574:
4523:
4510:
4463:
4449:
4411:
4392:
4352:
4333:
4330:
4308:
4263:
4249:
4171:
4162:
4147:
4138:
4135:
4123:
4108:
4099:
4051:
4037:
3950:
3938:
3885:Derivation of Gini coefficient
3711:
3696:
3673:
3658:
3655:
3641:
3629:
3623:
3615:
3609:
3597:
3591:
3545:
3535:
3520:
3511:
3505:
3499:
3484:
3478:
3445:
3439:
3364:accelerated failure time model
3040:
3022:
2834:
2828:
2757:
2751:
2658:
2641:
2592:
2552:
2526:
2513:
2379:
2373:
2285:
2270:
2242:
2227:
2224:
2210:
2201:
2183:
2008:
1993:
1976:
1961:
1933:
1918:
1896:
1878:
1585:
1572:
1528:
1502:
1296:
1258:
1233:
1220:
1159:
1149:
1134:
1125:
1002:
964:
939:
929:
868:
858:
843:
834:
506:
492:
426:
411:
352:
337:
309:
294:
291:
277:
246:
234:
1:
6581:Kleiber, C.; Kotz, S (2003),
6306:10.1016/j.jhydrol.2006.01.014
6191:Annals of Operations Research
6125:
5617:{\displaystyle \log(\alpha )}
5052:
3823:cumulative frequency analysis
3451:{\displaystyle \log(\alpha )}
2735:for convenience, the mean is
2728:{\displaystyle b=\pi /\beta }
2430:
1716:. Unlike the log-normal, its
6197:(1–2). Springer: 1281–1315.
6030:is the log-transform of the
4371:And making the substitution
3828:
3772:
3327:{\displaystyle \beta >1,}
2990:
2486:{\displaystyle k<\beta ,}
2321:Alternative parameterization
2168:probability density function
2157:{\displaystyle \beta >0.}
2131:{\displaystyle \alpha >0}
1755:{\displaystyle \alpha >0}
1324:{\displaystyle \mathrm {B} }
1030:{\displaystyle \mathrm {B} }
693:
174:{\displaystyle \alpha >0}
26:Probability density function
7:
6514:Ritzema, H.P., ed. (1994),
6460:(2nd ed.), CRC press,
6144:"Log-Logistic distribution"
6113:
4217:{\displaystyle z=x/\alpha }
1823:{\displaystyle \beta >1}
1789:{\displaystyle \beta >0}
676:{\displaystyle \beta >1}
542:{\displaystyle \beta >1}
203:{\displaystyle \beta >0}
10:
8087:
7853:Wrapped asymmetric Laplace
6824:Extended negative binomial
6213:10.1007/s10479-019-03373-1
6009:Singh–Maddala distribution
6005:Burr Type XII distribution
5448:Singh–Maddala distribution
5037:{\displaystyle G=1/\beta }
4890:Euler's reflection formula
4190:Defining the substitution
3250:{\displaystyle \alpha =1,}
3175:and the upper quartile is
2435:
2420:{\displaystyle s=1/\beta }
118:{\displaystyle \alpha =1,}
55:{\displaystyle \alpha =1,}
8015:
7949:
7907:
7808:
7644:
7622:
7613:
7512:Generalized extreme value
7497:
7332:
7292:Relativistic Breit–Wigner
7008:
6905:
6896:
6789:
6709:
6700:
6689:Probability distributions
6627:10.1109/JSEN.2013.2263381
6494:10.1007/s11009-018-9649-9
5648:{\displaystyle 1/\beta .}
5058:all of them without hard
1681:as a simple model of the
1673:to model stream flow and
1639:log-logistic distribution
1344:
1339:
1050:
1045:
762:
757:
704:
699:
692:
687:
587:
582:
572:{\displaystyle \alpha \,}
558:
553:
459:
454:
392:
387:
267:
262:
221:
216:
155:
150:
87:
24:
8056:Continuous distributions
6100:log-metalog distribution
5897:{\displaystyle \alpha :}
5829:with location parameter
5798:{\displaystyle \beta =1}
5592:with location parameter
3870:{\displaystyle 1/\beta }
3758:{\displaystyle \beta =1}
7507:Generalized chi-squared
7451:Normal-inverse Gaussian
6342:10.1093/biomet/69.2.461
6091:{\displaystyle \sigma }
5818:{\displaystyle \alpha }
5657:As the shape parameter
5553:{\displaystyle \alpha }
5531:Beta prime distribution
5068:log-normal distribution
3797:log-normal distribution
3399:{\displaystyle \alpha }
3379:{\displaystyle \alpha }
3334:the hazard function is
3123:{\displaystyle \alpha }
2976:{\displaystyle \alpha }
1710:log-normal distribution
7819:Univariate (circular)
7380:Generalized hyperbolic
6809:Conway–Maxwell–Poisson
6799:Beta negative binomial
6456:Collett, Dave (2003),
6092:
6072:
6048:
5974:
5898:
5875:
5874:{\displaystyle \xi =1}
5849:
5848:{\displaystyle \mu =0}
5819:
5799:
5767:
5671:
5670:{\displaystyle \beta }
5649:
5618:
5574:
5573:{\displaystyle \beta }
5554:
5523:
5440:
5365:
5295:
5216:
5170:
5117:
5038:
5001:
4879:
4746:
4714:
4621:
4550:
4418:
4362:
4218:
4181:
4006:
3986:
3963:
3871:
3835:distribution of wealth
3789:
3759:
3730:
3565:
3452:
3420:
3419:{\displaystyle \beta }
3400:
3380:
3352:
3351:{\displaystyle \beta }
3328:
3278:
3271:
3270:{\displaystyle \beta }
3251:
3207:
3169:
3124:
3097:
2977:
2957:
2956:{\displaystyle \beta }
2934:
2803:
2729:
2685:. Expressions for the
2672:
2487:
2454:
2421:
2386:
2345:
2344:{\displaystyle \mu ,s}
2311:
2158:
2132:
2106:
2105:{\displaystyle x>0}
2077:
1848:
1847:{\displaystyle \beta }
1824:
1800:. The distribution is
1790:
1756:
1683:distribution of wealth
1617:
1478:
1325:
1303:
1216:
1181:
1031:
1009:
925:
890:
748:
677:
650:
573:
543:
516:
445:
378:
253:
204:
175:
139:
138:{\displaystyle \beta }
119:
76:
75:{\displaystyle \beta }
56:
7864:Bivariate (spherical)
7362:Kaniadakis Îş-Gaussian
6093:
6073:
6056:logistic distribution
6049:
5975:
5899:
5876:
5850:
5820:
5800:
5768:
5679:logistic distribution
5672:
5650:
5619:
5590:logistic distribution
5575:
5555:
5524:
5441:
5366:
5296:
5217:
5171:
5118:
5074:Related distributions
5039:
5002:
4880:
4747:
4715:
4622:
4551:
4419:
4363:
4219:
4182:
4007:
3987:
3964:
3872:
3808:binomial distribution
3780:
3760:
3731:
3566:
3453:
3421:
3401:
3381:
3353:
3329:
3272:
3252:
3224:
3208:
3170:
3125:
3098:
2985:related distributions
2978:
2958:
2935:
2804:
2730:
2673:
2488:
2455:
2422:
2387:
2346:
2312:
2159:
2133:
2107:
2078:
1849:
1825:
1791:
1757:
1706:logistic distribution
1618:
1479:
1326:
1304:
1196:
1182:
1032:
1010:
905:
891:
749:
678:
651:
574:
544:
517:
446:
379:
254:
205:
176:
140:
120:
77:
57:
7929:Dirac delta function
7876:Bivariate (toroidal)
7833:Univariate von Mises
7704:Multivariate Laplace
7596:Shifted log-logistic
6945:Continuous Bernoulli
6607:IEEE Sensors Journal
6285:Journal of Hydrology
6082:
6071:{\displaystyle \mu }
6062:
6054:are substituted for
6038:
6032:metalog distribution
5913:
5885:
5881:and scale parameter
5859:
5833:
5809:
5805:and scale parameter
5783:
5691:
5661:
5628:
5624:and scale parameter
5596:
5564:
5560:and shape parameter
5544:
5456:
5381:
5306:
5226:
5182:
5127:
5083:
5014:
4899:
4763:
4727:
4634:
4566:
4431:
4375:
4231:
4194:
4019:
4005:{\displaystyle \mu }
3996:
3976:
3899:
3853:
3787:Distribution fitting
3743:
3585:
3472:
3430:
3410:
3390:
3370:
3342:
3309:
3298:, it can have a non-
3296:Weibull distribution
3261:
3232:
3179:
3138:
3114:
3106:It follows that the
3006:
2967:
2947:
2819:
2812:and the variance is
2742:
2705:
2500:
2493:when it is given by
2468:
2444:
2397:
2358:
2329:
2177:
2142:
2116:
2090:
1868:
1838:
1808:
1774:
1740:
1489:
1348:
1313:
1190:
1054:
1019:
899:
766:
708:
661:
591:
562:
527:
463:
396:
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