Method of averaging

6045: 141:. It suggests that we perform an averaging over a given amount of time in order to iron out the fast oscillations and observe the qualitative behavior from the resulting dynamics. The approximated solution holds under finite time inversely proportional to the parameter denoting the slow time scale. It turns out to be a customary problem where there exists the trade off between how good is the approximated solution balanced by how much time it holds to be close to the original solution. 602: 7990: 5869: 22: 7203: 5503: 7094: 5462: 4970: 8783: 9402: 6206:.The numerical simulation of the original equation (blue solid line) is compared with averaging system (orange dashed line) and the crude averaged system (green dash-dotted line). The left plot displays the solution evolved in time and the right plot represents on the phase space. We note that the crude averaging disagrees with the expected solution. 4519: 2113: 6850: 4286: 6035: 5193: 4644: 5864:{\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\bar {f}}_{1}^{1}(r)&=&\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\cos(s-\phi )g(r\sin(s-\phi ),r\cos(s-\phi ),s)ds\\{\bar {f}}_{2}^{1}(r)&=&\displaystyle {\frac {1}{2\pi r}}\int _{0}^{2\pi }\sin(s-\phi )g(r\sin(s-\phi ),r\cos(s-\phi ),s)ds,\end{array}}} 2414: 8555: 10087: 9184: 7557: 4321: 9100: 1581: 6825: 2895: 3954: 6210:

The method contains some assumptions and restrictions. These limitations play important role when we average the original equation which is not into the standard form, and we can discuss counterexample of it. The following example in order to discourage this hurried averaging:

1924: 6671: 1933: 9908: 7232:. The stable limit cycle (orange solid line) in the system is captured correctly by the qualitative analysis of the averaged system. For two different initial conditions ( black dots ) we observe the trajectories.(dashed blue line) converging to the periodic orbit. 4058: 8193: 5874: 890: 9784:. However, there are circumstances where the estimates can be extended for further times, even the case for all times. Below we deal with a system containing an asymptotically stable fixed point. Such situation recapitulates what is illustrated in Figure 1. 6204: 6351: 2252: 423: 9913: 1288: 7417: 3771: 7089:{\displaystyle {\begin{array}{lcr}{\dot {\bar {r}}}=-{\frac {1}{2}}\varepsilon {\bar {r}}(2+\cos(2{\bar {\phi }})),~{\bar {r}}(0)=1\\{\dot {\bar {\phi }}}={\frac {1}{2}}\varepsilon \sin(2{\bar {\phi }}),~{\bar {\phi }}(0)=0,\end{array}}} 10387: 8460: 705: 1143: 2638: 8946: 7877: 3272:

which is based on an introduction of a near-identity transformation. The advantage of this method is the extension to more general settings such as infinite-dimensional systems - partial differential equation or delay differential

1377: 220: 8875: 6676: 5457:{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {r}}\\{\dot {\phi }}\end{bmatrix}}=\varepsilon {\begin{bmatrix}\cos(t-\phi )g(r\sin(t-\phi ),r\cos(t-\phi ),t)\\{\frac {1}{r}}\sin(t-\phi )g(r\sin(t-\phi ),r\cos(t-\phi ),t)\end{bmatrix}}.} 4965:{\displaystyle {\dot {x}}=\varepsilon e^{-At}{\begin{bmatrix}0\\~{\tilde {g}}(x,{\dot {x}},t)\end{bmatrix}}~{\text{ with }}~{\tilde {g}}(x,{\dot {x}},t)=g(\cos(t)x(t)+\sin(t){\dot {x}}(t),-\sin(t)x(t)+\cos(t){\dot {x}}(t),t).} 2737: 3398: 3787: 3647: 4053: 7945: 1761: 8778:{\displaystyle {\begin{array}{lcr}{\dot {\bar {r}}}=3\varepsilon {\bar {r}}^{2}\cos({\bar {\phi }}),~{\bar {r}}(0)=1\\{\dot {\bar {\phi }}}=-\varepsilon {\bar {r}}\sin({\bar {\phi }}),~{\bar {\phi }}(0)=0,\end{array}}} 9397:{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {t}}&=1\\{\dot {\theta }}&=p\\{\dot {p}}&={\frac {1}{ml}}(mak\omega ^{2}\sin \omega t\sin \theta -mg\sin \theta -k(lp+a\omega \cos \omega t\sin \theta ))\end{aligned}}} 6522: 2966: 5138: 958: 2521: 9799: 4514:{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {z_{1}}}\\{\dot {z_{2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{bmatrix}}=A{\begin{bmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{bmatrix}}} 7318: 775: 7193: 8923: 787: 8261: 6444: 8550: 7695: 3005: 7767: 7405: 9189: 4063: 1662: 6214: 2247: 1066: 3098: 308: 8036: 10464: 10431: 3045: 8300: 2155: 6051: 7124: 2108:{\displaystyle {\dot {x}}=\varepsilon f^{1}(x,t)+\varepsilon ^{2}f^{}(x,t,\varepsilon ),\qquad x(0,\varepsilon )=:x_{0}\in D\subseteq \mathbb {R} ^{n},\quad 0\leq \varepsilon \ll 1.} 3784:

Along the history of the averaging technique, there is class of system extensively studied which give us meaningful examples we will discuss below. The class of system is given by:

1372: 7728: 3498: 2188: 10292: 8325: 4281:{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {z_{1}}}&=z_{2},&z_{1}(0)&=z_{0}\\{\dot {z_{2}}}&=-z_{1}+\varepsilon g(z_{1},z_{2},t),&z_{2}(0)&=v_{0},\end{aligned}}} 2725: 2449: 7230: 7772: 6030:{\displaystyle {\begin{array}{lcr}{\dot {\bar {r}}}=\varepsilon {\bar {f}}_{1}^{1}({\bar {r}})\\{\dot {\bar {\phi }}}=\varepsilon {\bar {f}}_{2}^{1}({\bar {r}}).\end{array}}} 5188: 4569: 147: 10255: 10222: 10149: 9782: 9132: 4616: 4316: 4288:

differing from the standard form. Hence there is a necessity to perform a transformation to make it in the standard form explicitly. We are able to change coordinates using

1204: 480: 9726: 9635: 9464: 8788: 6494: 1714: 960:

The purpose of the method of averaging is to tell us the qualitative behavior of the vector field when we average it over a period of time. It guarantees that the solution

7592: 6845: 1312: 4980:

The same can be done to time-dependent linear parts. Although the fundamental solution may be non-trivial to write down explicitly, the procedure is similar. See Sanders

3655: 10288: 9519: 5498: 1756: 580: 551: 452: 303: 9655: 9487: 9172: 2664: 1199: 524:

In addition, in a physical application it might be reasonable or natural to replace a mathematical model, which is given in the form of the differential equation for

2690: 2214: 7972: 7631: 6517: 3225: 3155: 3128: 1173: 3534: 3431: 3262: 2409:{\displaystyle {\dot {x}}=\varepsilon f^{1}(x,t)+\varepsilon ^{2}f^{}(x,t,\varepsilon ),\qquad x_{0}\in D\subseteq \mathbb {R} ^{n},\quad 0\leq \varepsilon \ll 1,} 1016: 987: 608: 10113: 1082: 2550: 243: 10189: 10169: 10082:{\displaystyle {\dot {y}}=\varepsilon \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f^{1}(y,s)~ds=:\varepsilon {\bar {f}}^{1}(y),\quad y(0,\varepsilon )=x_{0}} 9746: 9695: 9675: 9603: 9583: 9559: 9539: 9422: 9152: 8320: 8213: 8031: 8011: 6471: 5029: 5005: 4636: 3974: 3451: 3195: 3175: 2545: 1682: 503: 267: 7552:{\displaystyle {\begin{array}{lcr}{\dot {\bar {r}}}={\frac {1}{2}}\varepsilon {\bar {r}}(1-{\frac {1}{4}}{\bar {r}}^{2})\\{\dot {\bar {\phi }}}=0,\end{array}}} 2900: 895: 3307: 7239: 3543: 3979: 7411:. Applying periodic averaging to this nonlinear oscillator provides qualitative knowledge of the phase space without solving the system explicitly. 10521: 9095:{\displaystyle m(l{\ddot {\theta }}-ak\omega ^{2}\sin \omega t\sin \theta )=-mg\sin \theta -k(l{\dot {\theta }}+a\omega \cos \omega t\sin \theta )} 7129: 7882: 1576:{\displaystyle f(x,t,\varepsilon )=f^{0}(x,t)+\varepsilon f^{1}(x,t)+\dots +\varepsilon ^{k}f^{k}(x,t)+\varepsilon ^{k+1}f^{}(x,t,\varepsilon ),} 10738:

Sanchez-Palencia, Enrique (1976-01-01). "Methode de centrage-estimation de l'erreur et comportement des trajectoires dans l'espace des phases".

7559:

and we can analyze the fixed points and their stability. There is an unstable fixed point at the origin and a stable limit cycle represented by

7637: 6820:{\displaystyle {\bar {z}}(t)={\frac {1}{(1-\varepsilon ^{2})^{\frac {1}{2}}}}e^{-\varepsilon t}\sin {((1-\varepsilon ^{2})^{\frac {1}{2}}t)}.} 5041: 2890:{\displaystyle {\dot {y}}=\varepsilon {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f^{1}(y,s)~ds=:\varepsilon {\bar {f}}^{1}(y),\quad y(0,\varepsilon )=x_{0}} 8215:

has been chosen accordingly in order to maintain the boundedness of the solution and the time interval of validity of the approximation is

2454: 5031:

is bounded, since the solution grows exponentially fast. However, qualitatively, we may be able to know the asymptotic solution, such as

3949:{\displaystyle {\ddot {z}}+z=\varepsilon g(z,{\dot {z}},t),\qquad z\in \mathbb {R} ,\quad z(0)=z_{0}~\mathrm {and} ~{\dot {z}}(0)=v_{0},} 485:

Under the validity of this averaging technique, the asymptotic behavior of the original system is captured by the dynamical equation for

710: 582:, in order to use the averaged system to make a prediction and then test the prediction against the results of a physical experiment. 1919:{\displaystyle f(x,t,\varepsilon )=\varepsilon f^{}(x,t,\varepsilon )=\varepsilon f^{1}(x,t)+\varepsilon ^{2}f^{}(x,t,\varepsilon ).} 6666:{\displaystyle {\ddot {\bar {z}}}+2\varepsilon {\dot {\bar {z}}}+{\bar {z}}=0,\qquad {\bar {z}}(0)=0,\quad {\dot {\bar {z}}}(0)=1.} 86: 8880: 8218: 6356: 58: 3285: 3269: 8465: 10673: 10571: 3295:

which turned out to be a change of coordinates with its own time-scale transforming the original system to the averaged one.

2971: 9903:{\displaystyle {\dot {x}}=\varepsilon f^{1}(x,t),\qquad x_{0}\in D\subseteq \mathbb {R} ^{n},\quad 0\leq \varepsilon \ll 1.} 7733: 7323: 65: 39: 7993:

Figure 4: The plot depicts two fundamental quantities the average technique is based on: the bounded and connected region

8188:{\textstyle {\ddot {z}}+z=8\varepsilon \cos {(t)}{\dot {z}}^{2},~z(0)=0,~{\dot {z}}(0)=1;~8\varepsilon ={\frac {2}{15}}} 1586: 10629: 10596: 8937:

whose point of suspension is vibrated vertically by a small amplitude, high frequency signal (this is usually known as

2219: 1021: 3063: 10497: 105: 72: 885:{\displaystyle {\dot {x}}=\varepsilon (x(1-x)+\sin {t})\quad \quad x\in \mathbb {R} ,\quad 0\leq \varepsilon \ll 1,} 10436: 9756:

Average technique for initial value problems has been treated up to now with an validity error estimates of order

6199:{\displaystyle {\ddot {z}}+4\varepsilon \cos ^{2}{(t)}{\dot {z}}+z=0,~z(0)=0,~{\dot {z}}(0)=1;~\varepsilon =0.05} 10392: 3010: 54: 8270: 5500:

we may apply averaging so long as a neighborhood of the origin is excluded (since the polar coordinates fail):

2125: 1071:

in this example the approximation is even better, it is valid for all times. We present it in a section below.

782: 43: 7099: 1317: 7700: 3456: 2160: 7096:

which in the rectangular coordinate shows explicitly that indeed the rate of convergence to the origin is

6346:{\displaystyle {\ddot {z}}+4\varepsilon \cos ^{2}{(t)}{\dot {z}}+z=0,\qquad z(0)=0,\quad {\dot {z}}(0)=1,} 5032: 418:{\displaystyle {\dot {y}}=\varepsilon {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(y,s,0)~ds=:\varepsilon {\bar {f}}(y)} 10787: 6450: 3288:

realized that the slow dynamics of the system determines the leading order of the asymptotic solution.

2695: 2419: 1283:{\displaystyle f\in C^{r}(\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{+};\mathbb {R} ^{n})} 7209: 5143: 4529: 10227: 10194: 10118: 9759: 9105: 4574: 4295: 3766:{\displaystyle {\dot {y}}=\varepsilon {\bar {f}}^{1}(y)+\varepsilon ^{2}f_{*}^{}(y,t,\varepsilon ).} 457: 9700: 9608: 9431: 6476: 3976:

is smooth. This system is similar to a linear system with a small nonlinear perturbation given by

1687: 505:. In this way, qualitative methods for autonomous dynamical systems may be employed to analyze the 7562: 6830: 1297: 4289: 1146: 79: 32: 10260: 5470: 1719: 556: 527: 428: 279: 9492: 7408: 5038:

Occasionally, polar coordinates may yield standard forms that are simpler to analyze. Consider

5508: 5011:. For this occasion, the perturbation equation may present some serious problems even whether 10382:{\displaystyle \|x(t)-y(t)\|={\mathcal {O}}(\delta (\varepsilon )),\quad 0\leq t<\infty ,} 9640: 9472: 9157: 8455:{\displaystyle {\ddot {z}}+z=8\varepsilon \cos {(t)}{\dot {z}}^{2},~z(0)=0,~{\dot {z}}(0)=1,} 2643: 1178: 700:{\displaystyle {\dot {x}}=\varepsilon (x(1-x)+\sin {t})~x\in \mathbb {R} ,~\varepsilon =0.05} 2669: 2193: 1138:{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}} 10747: 7950: 7609: 6499: 6044: 4524: 3228: 3203: 3133: 3106: 2633:{\displaystyle f^{}\in C^{r}(D\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{+};\mathbb {R} ^{n})} 1151: 3506: 3403: 3234: 3200:

Reduction of regularity: there is a more general form of this theorem which requires only

992: 963: 8: 10092: 7236:

Van der Pol was concerned with obtaining approximate solutions for equations of the type

4641:

If we take the time derivative in both sides and invert the fundamental matrix we obtain

590: 586: 10751: 7872:{\displaystyle {\dot {x}}=\varepsilon f^{1}(x,t)+\varepsilon ^{2}f^{}(x,t,\varepsilon )} 225: 215:{\displaystyle {\dot {x}}=\varepsilon f(x,t,\varepsilon ),\quad 0\leq \varepsilon \ll 1} 10515: 10174: 10154: 9731: 9680: 9660: 9588: 9568: 9544: 9524: 9407: 9137: 8305: 8198: 8016: 7996: 6456: 5014: 4990: 4621: 3959: 3436: 3180: 3160: 2530: 1667: 514: 488: 252: 10699:"New approach to the asymptotic theory of nonlinear oscillations and wave-propagation" 8870:{\displaystyle z(t)={\frac {\sin(t)}{1-3\varepsilon t}}+{\mathcal {O}}(\varepsilon ),} 8560: 7422: 6855: 5879: 10763: 10759: 10720: 10715: 10698: 10679: 10669: 10635: 10625: 10602: 10592: 10567: 10503: 10493: 8785:

which under this initial condition indicates that the original solution behaves like

506: 130:(also called averaging theory) exploits systems containing time-scales separation: a 10755: 10710: 10661: 10559: 518: 123: 6048:

Figure 2: A simple harmonic oscillator with small periodic damping term given by

3393:{\displaystyle y\mapsto U(y,t,\varepsilon )=y+\varepsilon u^{}(y,t,\varepsilon )} 3268:. The theorem statement presented here is due to the proof framework proposed by 3642:{\displaystyle {\frac {\partial u^{}}{\partial t}}=f^{1}(y,t)-{\bar {f}}^{1}(y)} 5008: 4048:{\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\\varepsilon ~g(z,{\dot {z}},t)\end{bmatrix}}} 10665: 10563: 4571:

corresponding to a rotation. Then the time-dependent change of coordinates is

3775:

Estimation of error due to truncation and comparison to the original variable.

1758:

is zero, so it turns out that we will be interested in vector fields given by

10781: 10767: 10724: 10683: 10507: 9697:. The average behaviour of the trajectory, over a timescale much larger than 1291: 510: 10658:

Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields

10606: 7940:{\displaystyle \gamma _{\varepsilon }(t)=p_{0}+{\mathcal {O}}(\varepsilon )} 10639: 9561:

of the pendulum. The pendulum's trajectory in phase space will trace out a

2249:

such that the original system (a non-autonomous dynamical system) given by

601: 8322:

of the result validity. The following example points it out. Consider the

7202: 454:

inside a connected and compact region of the phase space and over time of

9178: 7989: 3060:

estimate: reduction to the average of the vector field and negligence of

119: 8267:

The average theorem assumes existence of a connected and bounded region

2961:{\displaystyle \|x(t,\varepsilon )-y(t,\varepsilon )\|<c\varepsilon } 5133:{\displaystyle z_{1}=r\sin(t-\phi )~{\text{and}}~z_{2}=r\cos(t-\phi )} 953:{\displaystyle {\dot {y}}=\varepsilon y(1-y)\qquad y\in \mathbb {R} .} 8939: 7597:

The existence of such stable limit-cycle can be stated as a theorem.

3197:. The proof and discussion of this can be found in J. Murdock's book. 2524: 2516:{\displaystyle f^{1}\in C^{r}(D\times \mathbb {R} ;\mathbb {R} ^{n})} 3304:

Determination of a near-identity transformation: the smooth mapping

1926:

Besides, we define the following initial value problem to be in the

21: 8934: 585:

The averaging method has a long history, which is deeply rooted in

3276:

J. Hale presents generalizations to almost periodic vector-fields.

7407:

following the previous notation. This system is often called the

3779: 3264:

continuous. It is a more recent proof and can be seen in Sanders

10591:. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics. 8195:. Note that both solutions blow up in finite time. Hence, 7313:{\displaystyle {\ddot {z}}+\varepsilon (1-z^{2}){\dot {z}}+z=0,} 770:{\displaystyle {\dot {y}}=\varepsilon y(1-y),~y\in \mathbb {R} } 9562: 9469:

Suppose that the angular frequency of the vertical vibrations,

9521:. Suppose also that the amplitude of the vertical vibrations, 9489:, is much greater than the natural frequency of the pendulum, 6847:. The averaged system obtained from the standard form yields: 10554:

Sanders, Jan A.; Verhulst, Ferdinand; Murdock, James (2007).

7188:{\displaystyle y(t)=e^{-{\frac {3}{2}}\varepsilon t}\sin {t}} 305:. The averaging method yields an autonomous dynamical system 8918:{\displaystyle 0\leq \varepsilon t\leq L<{\frac {1}{3}}} 7977:

The proof can be found at Guckenheimer and Holmes, Sanders

8943:). The equation of motion for such a pendulum is given by 8256:{\displaystyle 0\leq \varepsilon t<L<{\frac {1}{3}}} 6439:{\displaystyle g(z,{\dot {z}},t)=-4\cos ^{2}(t){\dot {z}}} 2117: 1716:. As we are concerned with averaging problems, in general 10089:

exists and contains an asymptotically stable fixed point

8013:

of the phase space and how long (defined by the constant

7984: 3453:

periodic. The proposed change of coordinates is given by

605:

Figure 1: Solution to perturbed logistic growth equation

10624:(2nd ed.). Huntington, N.Y.: R.E. Krieger Pub. Co. 8545:{\displaystyle g(z,{\dot {z}},t)=8{\dot {z}}^{2}\cos(t)} 7690:{\displaystyle {\dot {y}}=\varepsilon {\bar {f}}^{1}(y)} 6039: 1201:(or even we will only say smooth), which we will denote 7206:

Figure 3: Phase space of a Van der Pol oscillator with

3000:{\displaystyle 0\leq \varepsilon \leq \varepsilon _{0}} 10553: 9495: 8039: 7102: 5252: 5202: 4687: 4476: 4430: 4391: 4330: 3988: 2666:

bounded on bounded sets. Then there exists a constant

10439: 10395: 10295: 10263: 10230: 10197: 10177: 10157: 10121: 10095: 9916: 9802: 9762: 9734: 9703: 9683: 9663: 9643: 9611: 9591: 9571: 9547: 9527: 9475: 9434: 9410: 9187: 9174:

is the angle made by the pendulum with the vertical.

9160: 9140: 9108: 8949: 8883: 8791: 8558: 8468: 8328: 8308: 8273: 8221: 8201: 8019: 7999: 7953: 7885: 7775: 7762:{\displaystyle 0<\varepsilon <\varepsilon _{0}} 7736: 7703: 7640: 7612: 7565: 7420: 7400:{\displaystyle g(z,{\dot {z}},t)=(1-z^{2}){\dot {z}}} 7326: 7242: 7212: 7132: 6853: 6833: 6679: 6525: 6502: 6479: 6459: 6359: 6217: 6054: 5877: 5723: 5551: 5506: 5473: 5196: 5146: 5044: 5017: 4993: 4647: 4624: 4577: 4532: 4324: 4298: 4061: 3982: 3962: 3790: 3658: 3652:

Change of coordinates carries the original system to

3546: 3509: 3459: 3439: 3406: 3310: 3237: 3206: 3183: 3163: 3136: 3109: 3066: 3013: 2974: 2903: 2740: 2698: 2672: 2646: 2553: 2533: 2457: 2422: 2255: 2222: 2196: 2163: 2128: 1936: 1764: 1722: 1690: 1670: 1589: 1380: 1320: 1300: 1207: 1181: 1154: 1085: 1024: 995: 966: 898: 790: 713: 611: 559: 530: 491: 460: 431: 311: 282: 255: 228: 150: 4638:

is the coordinates respective to the standard form.

3056:

There are two approximations in this what is called

7126:differing from the previous crude averaged system: 1290:. We expand this time-dependent vector field in a 46:. Unsourced material may be challenged and removed. 10655: 10458: 10425: 10381: 10282: 10249: 10216: 10183: 10163: 10143: 10107: 10081: 9902: 9776: 9740: 9720: 9689: 9669: 9649: 9629: 9597: 9577: 9553: 9533: 9513: 9481: 9458: 9416: 9396: 9166: 9146: 9126: 9094: 8917: 8869: 8777: 8544: 8454: 8314: 8294: 8255: 8207: 8187: 8033:) the averaged solution is valid. For this case, 8025: 8005: 7966: 7939: 7871: 7761: 7722: 7689: 7625: 7586: 7551: 7399: 7312: 7224: 7187: 7118: 7088: 6839: 6819: 6665: 6511: 6488: 6465: 6438: 6345: 6198: 6029: 5863: 5492: 5456: 5182: 5132: 5023: 4999: 4964: 4630: 4610: 4563: 4513: 4310: 4280: 4047: 3968: 3948: 3765: 3641: 3528: 3492: 3445: 3425: 3392: 3256: 3219: 3189: 3169: 3149: 3122: 3092: 3039: 2999: 2960: 2889: 2719: 2684: 2658: 2632: 2539: 2515: 2443: 2408: 2241: 2208: 2182: 2149: 2107: 1918: 1750: 1708: 1676: 1657:{\displaystyle f^{j}={\frac {f^{(j)}(x,t,0)}{j!}}} 1656: 1575: 1366: 1306: 1282: 1193: 1167: 1137: 1060: 1010: 981: 952: 884: 769: 699: 574: 545: 497: 474: 446: 417: 297: 261: 237: 214: 144:More precisely, the system has the following form 10703:Journal of Mathematical Analysis and Applications 10490:Ordinary differential equations with applications 3103:Uniformity with respect to the initial condition 2242:{\displaystyle \varepsilon \leq \varepsilon _{0}} 1061:{\displaystyle t={\mathcal {O}}(1/\varepsilon ).} 10779: 10737: 10556:Averaging Methods in Nonlinear Dynamical Systems 9936: 7197: 6496:. Averaging the friction term over one cycle of 4292:method. We look at the unperturbed system, i.e. 3093:{\displaystyle {\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2})} 10660:. Applied Mathematical Sciences. Vol. 42. 10558:. Applied Mathematical Sciences. Vol. 59. 10151:is continuously differentiable with respect to 9134:describes the motion of the suspension point, 3780:Non-autonomous class of systems: more examples 10740:International Journal of Non-Linear Mechanics 10520:: CS1 maint: multiple names: authors list ( 10459:{\displaystyle {\mathcal {O}}(\varepsilon )} 10326: 10296: 9751: 6827:which the convergence rate to the origin is 5007:are not all purely imaginary this is called 2946: 2904: 707:(blue solid line) and the averaged equation 10656:Guckenheimer, John; Holmes, Philip (1983). 9154:describes the damping of the pendulum, and 521:in the phase space of the averaged system. 10426:{\displaystyle \delta (\varepsilon )=o(1)} 6453:where the damping term oscillates between 3040:{\displaystyle 0\leq t\leq L/\varepsilon } 425:which approximates the solution curves of 10714: 9871: 8295:{\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}} 8282: 5140:, which determines the initial condition 3859: 2617: 2602: 2593: 2500: 2491: 2374: 2150:{\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}} 2137: 2076: 1267: 1252: 1243: 1229: 1125: 1116: 1108: 1094: 943: 856: 763: 678: 553:, with the corresponding averaged system 106:Learn how and when to remove this message 10487: 8877:where it holds on a bounded region over 7988: 7201: 6043: 3280: 600: 10696: 10589:Perturbations : theory and methods 10586: 10115:in the linear approximation. Moreover, 7879:has a unique hyperbolic periodic orbit 7601:Theorem (Existence of a periodic orbit) 7119:{\textstyle {\frac {3}{2}}\varepsilon } 2118:Theorem: averaging in the periodic case 1374:. We introduce the following notation: 10780: 9637:but moving around it at the fast rate 9404:where we have introduced the variable 7985:Example: Restricting the time interval 3298: 3291:In order to proof it, they proposed a 1367:{\displaystyle f^{}(x,t,\varepsilon )} 7723:{\displaystyle \varepsilon _{0}>0} 6040:Example: Misleading averaging results 3493:{\displaystyle x=U(y,t,\varepsilon )} 2183:{\displaystyle \varepsilon _{0}>0} 509:and more complex structures, such as 10651: 10649: 10619: 10549: 10547: 10545: 10543: 10541: 10539: 10537: 10535: 10533: 10531: 10492:(2nd ed.). New York: Springer. 10483: 10481: 10479: 3433:is assumed to be regular enough and 44:adding citations to reliable sources 15: 9796:Consider the initial value problem 8552:. The averaged system consists of 7981:and for the angle case in Chicone. 13: 10488:Charles., Chicone, Carmen (2006). 10442: 10373: 10334: 9946: 9677:will be small and proportional to 9657:. The radius of the spiral around 9181:form of this equation is given by 8928: 8850: 7923: 4593: 4533: 3902: 3899: 3896: 3571: 3550: 3069: 1033: 14: 10799: 10646: 10528: 10476: 6446:following the previous notation. 2734:(autonomous dynamical system) is 2720:{\displaystyle y(t,\varepsilon )} 2444:{\displaystyle x(t,\varepsilon )} 2157:connected and bounded and every 8302:which affects the time interval 7225:{\displaystyle \varepsilon =0.1} 596: 20: 10622:Ordinary differential equations 10360: 10191:and has a domain of attraction 10047: 9884: 9849: 9541:, is much less than the length 7633:is a hyperbolic fixed point of 6628: 6597: 6312: 6290: 5183:{\displaystyle (r(0),\phi (0))} 4564:{\displaystyle \Phi (t)=e^{At}} 3866: 3851: 3157:this affects the estimation of 2855: 2387: 2352: 2089: 2033: 935: 863: 848: 847: 196: 31:needs additional citations for 10731: 10697:Eckhaus, Wiktor (1975-03-01). 10690: 10613: 10580: 10453: 10447: 10420: 10414: 10405: 10399: 10354: 10351: 10345: 10339: 10323: 10317: 10308: 10302: 10250:{\displaystyle K\subset D^{0}} 10217:{\displaystyle D^{0}\subset D} 10144:{\displaystyle {\bar {f}}^{1}} 10129: 10063: 10051: 10041: 10035: 10023: 9998: 9986: 9943: 9843: 9831: 9777:{\displaystyle 1/\varepsilon } 9728:, will be to follow the curve 9453: 9435: 9387: 9384: 9345: 9278: 9127:{\displaystyle a\sin \omega t} 9089: 9041: 9011: 8953: 8861: 8855: 8822: 8816: 8801: 8795: 8759: 8753: 8747: 8732: 8726: 8717: 8705: 8679: 8658: 8652: 8646: 8631: 8625: 8616: 8598: 8571: 8539: 8533: 8499: 8472: 8440: 8434: 8407: 8401: 8369: 8363: 8151: 8145: 8118: 8112: 8080: 8074: 7947:of the same stability type as 7934: 7928: 7902: 7896: 7866: 7848: 7843: 7837: 7816: 7804: 7684: 7678: 7666: 7572: 7525: 7510: 7498: 7472: 7466: 7433: 7382: 7363: 7357: 7330: 7280: 7261: 7142: 7136: 7070: 7064: 7058: 7043: 7037: 7025: 6992: 6971: 6965: 6959: 6944: 6941: 6935: 6923: 6908: 6902: 6866: 6810: 6793: 6773: 6770: 6730: 6710: 6698: 6692: 6686: 6654: 6648: 6637: 6616: 6610: 6604: 6582: 6562: 6534: 6449:This systems corresponds to a 6421: 6415: 6390: 6363: 6331: 6325: 6300: 6294: 6259: 6253: 6172: 6166: 6139: 6133: 6096: 6090: 6017: 6011: 6002: 5985: 5961: 5946: 5940: 5931: 5914: 5890: 5844: 5835: 5823: 5808: 5796: 5784: 5778: 5766: 5713: 5707: 5690: 5669: 5660: 5648: 5633: 5621: 5609: 5603: 5591: 5541: 5535: 5518: 5440: 5431: 5419: 5404: 5392: 5380: 5374: 5362: 5339: 5330: 5318: 5303: 5291: 5279: 5273: 5261: 5177: 5174: 5168: 5159: 5153: 5147: 5127: 5115: 5079: 5067: 4956: 4947: 4941: 4926: 4920: 4908: 4902: 4896: 4890: 4875: 4869: 4854: 4848: 4836: 4830: 4824: 4818: 4809: 4800: 4773: 4767: 4739: 4712: 4706: 4611:{\displaystyle z(t)=\Phi (t)x} 4602: 4596: 4587: 4581: 4542: 4536: 4311:{\displaystyle \varepsilon =0} 4251: 4245: 4227: 4195: 4123: 4117: 4034: 4007: 3927: 3921: 3876: 3870: 3845: 3818: 3757: 3739: 3734: 3728: 3702: 3696: 3684: 3636: 3630: 3618: 3605: 3593: 3564: 3558: 3521: 3515: 3487: 3469: 3418: 3412: 3387: 3369: 3364: 3358: 3338: 3320: 3314: 3249: 3243: 3087: 3074: 2943: 2931: 2922: 2910: 2871: 2859: 2849: 2843: 2831: 2806: 2794: 2714: 2702: 2627: 2583: 2565: 2559: 2510: 2481: 2438: 2426: 2346: 2328: 2323: 2317: 2296: 2284: 2049: 2037: 2027: 2009: 2004: 1998: 1977: 1965: 1910: 1892: 1887: 1881: 1860: 1848: 1829: 1811: 1806: 1800: 1786: 1768: 1745: 1733: 1640: 1622: 1617: 1611: 1567: 1549: 1544: 1532: 1505: 1493: 1461: 1449: 1430: 1418: 1402: 1384: 1361: 1343: 1338: 1326: 1277: 1224: 1120: 1074: 1052: 1038: 1005: 999: 976: 970: 932: 920: 844: 827: 815: 809: 747: 735: 665: 648: 636: 630: 475:{\displaystyle 1/\varepsilon } 412: 406: 400: 376: 358: 190: 172: 1: 10469: 9721:{\displaystyle 2\pi /\omega } 9630:{\displaystyle {\sqrt {g/l}}} 9459:{\displaystyle (t,\theta ,p)} 9424:and written the system as an 7198:Example: Van der Pol Equation 6489:{\displaystyle 4\varepsilon } 5871:where the averaged system is 3293:near-identity transformation, 1709:{\displaystyle 0\leq j\leq k} 10760:10.1016/0020-7462(76)90004-4 10716:10.1016/0022-247X(75)90200-0 7587:{\displaystyle {\bar {r}}=2} 6840:{\displaystyle \varepsilon } 4974: 1307:{\displaystyle \varepsilon } 7: 1079:We assume the vector field 777: (orange solid line). 10: 10804: 10587:Murdock, James A. (1999). 10283:{\displaystyle x_{0}\in K} 9514:{\textstyle {\sqrt {g/l}}} 6451:damped harmonic oscillator 5493:{\displaystyle g\in C^{1}} 3050: 1751:{\displaystyle f^{0}(x,t)} 892:and the averaged equation 575:{\displaystyle {\dot {y}}} 546:{\displaystyle {\dot {x}}} 447:{\displaystyle {\dot {x}}} 298:{\displaystyle {\dot {x}}} 222:of a phase space variable 10666:10.1007/978-1-4612-1140-2 10564:10.1007/978-0-387-48918-6 9752:Extension error estimates 3540:of the averaging theory: 10433:in the general case and 9428:, first-order system in 593:(see, for example in ). 9650:{\displaystyle \omega } 9482:{\displaystyle \omega } 9167:{\displaystyle \theta } 7414:The averaged system is 5009:hyperbolicity condition 2692:such that the solution 2659:{\displaystyle r\geq 2} 1194:{\displaystyle r\geq 2} 1147:differentiability class 589:problems that arose in 122:, more specifically in 10620:Hale, Jack K. (1980). 10466:in the periodic case. 10460: 10427: 10383: 10284: 10251: 10218: 10185: 10165: 10145: 10109: 10083: 9904: 9778: 9742: 9722: 9691: 9671: 9651: 9631: 9599: 9579: 9555: 9535: 9515: 9483: 9460: 9418: 9398: 9168: 9148: 9128: 9096: 8919: 8871: 8779: 8546: 8456: 8316: 8296: 8264: 8257: 8209: 8189: 8027: 8007: 7968: 7941: 7873: 7763: 7724: 7691: 7627: 7588: 7553: 7409:Van der Pol oscillator 7401: 7314: 7233: 7226: 7189: 7120: 7090: 6841: 6821: 6667: 6513: 6490: 6467: 6440: 6347: 6207: 6200: 6031: 5865: 5494: 5458: 5184: 5134: 5025: 5001: 4987:If the eigenvalues of 4966: 4632: 4612: 4565: 4515: 4312: 4290:variation of constants 4282: 4049: 3970: 3950: 3767: 3643: 3530: 3503:Choose an appropriate 3494: 3447: 3427: 3394: 3258: 3221: 3191: 3171: 3151: 3124: 3094: 3041: 3001: 2962: 2891: 2721: 2686: 2685:{\displaystyle c>0} 2660: 2634: 2541: 2517: 2445: 2410: 2243: 2210: 2209:{\displaystyle L>0} 2184: 2151: 2109: 1920: 1752: 1710: 1678: 1658: 1577: 1368: 1308: 1284: 1195: 1169: 1139: 1062: 1012: 983: 954: 886: 778: 771: 701: 576: 547: 499: 476: 448: 419: 299: 263: 239: 216: 10461: 10428: 10384: 10285: 10252: 10219: 10186: 10166: 10146: 10110: 10084: 9905: 9779: 9743: 9723: 9692: 9672: 9652: 9632: 9600: 9580: 9556: 9536: 9516: 9484: 9461: 9419: 9399: 9169: 9149: 9129: 9097: 8920: 8872: 8780: 8547: 8457: 8317: 8297: 8258: 8210: 8190: 8028: 8008: 7992: 7969: 7967:{\displaystyle p_{0}} 7942: 7874: 7764: 7725: 7692: 7628: 7626:{\displaystyle p_{0}} 7589: 7554: 7402: 7315: 7227: 7205: 7190: 7121: 7091: 6842: 6822: 6668: 6519:yields the equation: 6514: 6512:{\displaystyle 2\pi } 6491: 6468: 6441: 6348: 6201: 6047: 6032: 5866: 5495: 5459: 5185: 5135: 5026: 5002: 4967: 4633: 4613: 4566: 4516: 4313: 4283: 4050: 3971: 3951: 3768: 3644: 3531: 3495: 3448: 3428: 3395: 3281:Strategy of the proof 3259: 3222: 3220:{\displaystyle f^{1}} 3192: 3172: 3152: 3150:{\displaystyle x_{0}} 3125: 3123:{\displaystyle x_{0}} 3095: 3042: 3002: 2963: 2892: 2722: 2687: 2661: 2635: 2542: 2518: 2446: 2411: 2244: 2211: 2185: 2152: 2110: 1921: 1753: 1711: 1679: 1659: 1578: 1369: 1309: 1285: 1196: 1170: 1168:{\displaystyle C^{r}} 1140: 1063: 1013: 984: 955: 887: 781:Consider a perturbed 772: 702: 604: 577: 548: 500: 477: 449: 420: 300: 264: 240: 217: 55:"Method of averaging" 10437: 10393: 10293: 10261: 10228: 10195: 10175: 10155: 10119: 10093: 9914: 9800: 9760: 9732: 9701: 9681: 9661: 9641: 9609: 9589: 9569: 9545: 9525: 9493: 9473: 9432: 9408: 9185: 9158: 9138: 9106: 8947: 8881: 8789: 8556: 8466: 8326: 8306: 8271: 8219: 8199: 8037: 8017: 7997: 7951: 7883: 7773: 7734: 7701: 7638: 7610: 7563: 7418: 7324: 7240: 7210: 7130: 7100: 6851: 6831: 6677: 6523: 6500: 6477: 6457: 6357: 6215: 6052: 5875: 5504: 5471: 5194: 5144: 5042: 5015: 4991: 4984:for further details. 4645: 4622: 4575: 4530: 4525:fundamental solution 4322: 4296: 4059: 3980: 3960: 3788: 3656: 3544: 3538:homological equation 3529:{\displaystyle u^{}} 3507: 3457: 3437: 3426:{\displaystyle u^{}} 3404: 3308: 3257:{\displaystyle f^{}} 3235: 3204: 3181: 3161: 3134: 3107: 3064: 3011: 2972: 2901: 2738: 2696: 2670: 2644: 2551: 2531: 2455: 2420: 2253: 2220: 2194: 2161: 2126: 1934: 1762: 1720: 1688: 1684:-th derivative with 1668: 1587: 1378: 1318: 1298: 1205: 1179: 1152: 1083: 1022: 1011:{\displaystyle x(t)} 993: 982:{\displaystyle y(t)} 964: 896: 788: 711: 609: 557: 528: 489: 458: 429: 309: 280: 253: 226: 148: 40:improve this article 10752:1976IJNLM..11..251S 10224:. For any compact 10108:{\displaystyle y=0} 9975: 6001: 5930: 5759: 5706: 5584: 5534: 3738: 3299:Sketch of the proof 3058:first approximation 2783: 2122:Consider for every 591:celestial mechanics 517:, as well as their 515:invariant manifolds 354: 128:method of averaging 10456: 10423: 10379: 10280: 10247: 10214: 10181: 10161: 10141: 10105: 10079: 9961: 9950: 9900: 9774: 9738: 9718: 9687: 9667: 9647: 9627: 9595: 9575: 9551: 9531: 9511: 9479: 9456: 9414: 9394: 9392: 9164: 9144: 9124: 9092: 8915: 8867: 8775: 8773: 8542: 8452: 8312: 8292: 8265: 8253: 8205: 8185: 8023: 8003: 7964: 7937: 7869: 7759: 7730:such that for all 7720: 7697:Then there exists 7687: 7623: 7584: 7549: 7547: 7397: 7310: 7234: 7222: 7185: 7116: 7086: 7084: 6837: 6817: 6663: 6509: 6486: 6463: 6436: 6343: 6208: 6196: 6027: 6025: 5978: 5907: 5861: 5859: 5856: 5742: 5683: 5678: 5567: 5511: 5490: 5454: 5445: 5235: 5180: 5130: 5021: 4997: 4962: 4744: 4628: 4608: 4561: 4511: 4505: 4459: 4419: 4377: 4308: 4278: 4276: 4045: 4039: 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