596:
4814:
588:
5238:
4541:
4934:
2932:
25:
4809:{\displaystyle \operatorname {ElegantUnpair} :={\begin{cases}\left\{z-\lfloor {\sqrt {z}}\rfloor ^{2},\lfloor {\sqrt {z}}\rfloor \right\}&{\text{if }}z-\lfloor {\sqrt {z}}\rfloor ^{2}<\lfloor {\sqrt {z}}\rfloor ,\\\left\{\lfloor {\sqrt {z}}\rfloor ,z-\lfloor {\sqrt {z}}\rfloor ^{2}-\lfloor {\sqrt {z}}\rfloor \right\}&{\text{if }}z-\lfloor {\sqrt {z}}\rfloor ^{2}\geq \lfloor {\sqrt {z}}\rfloor .\end{cases}}}
5233:{\displaystyle (\alpha ,\beta )\preccurlyeq (\gamma ,\delta ){\text{ if either }}{\begin{cases}(\alpha ,\beta )=(\gamma ,\delta ),\\\max(\alpha ,\beta )<\max(\gamma ,\delta ),\\\max(\alpha ,\beta )=\max(\gamma ,\delta )\ {\text{and}}\ \alpha <\gamma ,{\text{ or}}\\\max(\alpha ,\beta )=\max(\gamma ,\delta )\ {\text{and}}\ \alpha =\gamma \ {\text{and}}\ \beta <\delta .\end{cases}}}
4313:
3730:
4019:
4530:
4143:
1638:
3416:
4122:, which is doubtful). In fact, both this pairing function and its inverse can be computed with finite-state transducers that run in real time. In the same paper, the author proposed two more monotone pairing functions that can be
3829:
801:
3049:
The function must also define what to do when it hits the boundaries of the 1st quadrant – Cantor's pairing function resets back to the x-axis to resume its diagonal progression one step further out, or algebraically:
2482:
2576:
4393:
215:
656:
2339:
1063:
370:
5360:
1323:
1193:
980:
2033:
1741:
1431:
2411:
1908:
577:
3834:
3421:
3239:
3135:
Assume that there is a quadratic 2-dimensional polynomial that can fit these conditions (if there were not, one could just repeat by trying a higher-degree polynomial). The general form is then
880:
2213:
4308:{\displaystyle \langle i,j\rangle _{P}={\begin{cases}T&{\text{if}}\ i=j=0;\\\langle \lfloor i/2\rfloor ,\lfloor j/2\rfloor \rangle _{P}:i_{0}:j_{0}&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}
3347:
5394:
4109:
3043:
3119:
426:
2625:
4926:
1236:
1106:
5318:
4876:
1810:
1776:
1468:
2141:
5285:
5260:
2947:. The algebraic rules of this diagonal-shaped function can verify its validity for a range of polynomials, of which a quadratic will turn out to be the simplest, using the
4843:
504:
465:
2935:
A diagonally incrementing "snaking" function, from same principles as Cantor's pairing function, is often used to demonstrate the countability of the rational numbers.
2696:
4896:
2659:
2067:
1953:
1460:
4370:
4343:
265:
3725:{\displaystyle {\begin{aligned}\pi (x,y)+1&=a(x^{2}+y^{2})+cxy+(1-a)x+(1+a)y+1\\&=a((x-1)^{2}+(y+1)^{2})+c(x-1)(y+1)+(1-a)(x-1)+(1+a)(y+1).\end{aligned}}}
4014:{\displaystyle {\begin{aligned}\pi (x,y)&={\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})+xy+{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{2}}y\\&={\frac {1}{2}}(x+y)(x+y+1)+y,\end{aligned}}}
2951:. Indeed, this same technique can also be followed to try and derive any number of other functions for any variety of schemes for enumerating the plane.
667:
5397:
2422:
2519:
4525:{\displaystyle \operatorname {ElegantPair} :={\begin{cases}y^{2}+x&{\text{if}}\ x<y,\\x^{2}+x+y&{\text{if}}\ x\geq y.\\\end{cases}}}
173:
617:
2230:
282:
5323:
4024:
is the Cantor pairing function, and we also demonstrated through the derivation that this satisfies all the conditions of induction.
888:
1959:
1646:
1380:
2350:
988:
89:
1818:
1241:
1111:
509:
61:
3141:
1332:. Whether this is the only polynomial pairing function is still an open question. When we apply the pairing function to
68:
4981:
809:
5396:
and the pairing function above is nothing more than the enumeration of integer couples in increasing order. (See also
5621:
2164:
108:
42:
5511:
3258:
4819:(Qualitatively, it assigns consecutive numbers to pairs along the edges of squares.) This pairing function orders
75:
5653:
4899:
5365:
4035:
2974:
46:
2939:
The graphical shape of Cantor's pairing function, a diagonal progression, is a standard trick in working with
5421:
3056:
375:
57:
2582:
4905:
608:
5290:
4848:
1781:
1633:{\displaystyle \pi ^{(n)}(k_{1},\ldots ,k_{n-1},k_{n}):=\pi (\pi ^{(n-1)}(k_{1},\ldots ,k_{n-1}),k_{n})}
1329:
1753:
1198:
1068:
4568:
4426:
4177:
2097:
5265:
5245:
4826:
3125:
Also we need to define the starting point, what will be the initial step in our induction method:
4118:
and with constant space (as the previously known examples can only be computed in linear time if
35:
5416:
The term "diagonal argument" is sometimes used to refer to this type of enumeration, but it is
4820:
470:
431:
2968:
th pair? The way Cantor's function progresses diagonally across the plane can be expressed as
2665:
82:
5648:
4881:
4373:
2631:
2039:
1925:
1439:
4348:
4321:
243:
8:
5643:
4119:
2948:
2706:
5537:
4387:
In 2006, Szudzik proposed a "more elegant" pairing function defined by the expression:
2702:
2089:
591:
The Cantor pairing function assigns one natural number to each pair of natural numbers
5617:
5585:
5580:
5563:
5464:
4127:
2940:
2079:
1919:
is invertible. It is helpful to define some intermediate values in the calculation:
428:. This is the same as the Cantor pairing function below, shifted to exclude 0 (i.e.,
5609:
5575:
4134:
4123:
796:{\displaystyle \pi (k_{1},k_{2}):={\frac {1}{2}}(k_{1}+k_{2})(k_{1}+k_{2}+1)+k_{2}}
595:
145:
4114:
In 1990, Regan proposed the first known pairing function that is computable in
2492:
1328:
The statement that this is the only quadratic pairing function is known as the
130:
587:
5637:
5589:
1778:
be an arbitrary natural number. We will show that there exist unique values
5536:
Szudzik, Matthew P. (2017-06-01). "The
Rosenberg-Strong Pairing Function".
2954:
A pairing function can usually be defined inductively – that is, given the
2944:
2477:{\displaystyle w=\left\lfloor {\frac {{\sqrt {8z+1}}-1}{2}}\right\rfloor .}
5613:
3410:, and we have a final equation, our diagonal step, that will relate them:
2571:{\displaystyle w=\left\lfloor {\frac {{\sqrt {8z+1}}-1}{2}}\right\rfloor }
4115:
149:
122:
5500:
137:
4845:
of the idea, found in most textbooks on Set Theory, used to establish
5469:
985:
It is also strictly monotonic w.r.t. each argument, that is, for all
210:{\displaystyle \pi :\mathbb {N} \times \mathbb {N} \to \mathbb {N} .}
165:
2931:
651:{\displaystyle \pi :\mathbb {N} \times \mathbb {N} \to \mathbb {N} }
24:
5608:. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag. p. 30.
5542:
2334:{\displaystyle t\leq z=t+y<t+(w+1)={\frac {(w+1)^{2}+(w+1)}{2}}}
365:{\displaystyle \langle i,j\rangle :={\frac {1}{2}}(i+j-2)(i+j-1)+i}
279:
Hopcroft and Ullman (1979) define the following pairing function:
141:
5262:
is then shown to be a well-ordering such that every element has
5355:{\displaystyle (\mathbb {N} \times \mathbb {N} ,\preccurlyeq )}
4823:
expressions by depth. This method is the mere application to
2701:
Since the Cantor pairing function is invertible, it must be
2218:
which is a strictly increasing and continuous function when
975:{\displaystyle \pi (x,y):={\frac {x^{2}+x+2xy+3y+y^{2}}{2}}}
5226:
4802:
4518:
4301:
2028:{\displaystyle t={\frac {1}{2}}w(w+1)={\frac {w^{2}+w}{2}}}
1736:{\displaystyle \pi ^{(2)}(k_{1},k_{2}):=\pi (k_{1},k_{2}).}
1426:{\displaystyle \pi ^{(n)}:\mathbb {N} ^{n}\to \mathbb {N} }
4130:; the first can also be computed offline with zero space.
2406:{\displaystyle w\leq {\frac {{\sqrt {8z+1}}-1}{2}}<w+1}
16:
Function uniquely mapping two numbers into a single number
5461:
1058:{\displaystyle k_{1},k_{1}',k_{2},k_{2}'\in \mathbb {N} }
5398:
Talk:Tarski's theorem about choice#Proof of the converse
1745:
1903:{\displaystyle z=\pi (x,y)={\frac {(x+y+1)(x+y)}{2}}+y}
1318:{\displaystyle \pi (k_{1},k_{2})<\pi (k_{1},k_{2}')}
1188:{\displaystyle \pi (k_{1},k_{2})<\pi (k_{1}',k_{2})}
572:{\displaystyle \langle i,j\rangle -1=\pi (k_{2},k_{1})}
274:
1371:
This definition can be inductively generalized to the
5368:
5326:
5293:
5268:
5248:
4937:
4908:
4884:
4851:
4829:
4544:
4396:
4351:
4324:
4146:
4133:
In 2001, Pigeon proposed a pairing function based on
4038:
3832:
3735:
Expand and match terms again to get fixed values for
3419:
3261:
3144:
3059:
2977:
2668:
2634:
2585:
2522:
2425:
2353:
2233:
2167:
2100:
2042:
1962:
1928:
1821:
1784:
1756:
1649:
1471:
1442:
1383:
1244:
1201:
1114:
1071:
991:
891:
812:
670:
620:
512:
473:
434:
378:
285:
246:
176:
3245:Plug in our initial and boundary conditions to get
3234:{\displaystyle \pi (x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f}
224:is a function that maps each pair of elements from
49:. Unsourced material may be challenged and removed.
5388:
5354:
5312:
5279:
5254:
5232:
4920:
4890:
4870:
4837:
4808:
4524:
4364:
4337:
4307:
4103:
4013:
3724:
3341:
3233:
3113:
3037:
2690:
2653:
2619:
2570:
2476:
2405:
2333:
2207:
2135:
2061:
2027:
1947:
1902:
1804:
1770:
1735:
1632:
1454:
1425:
1317:
1230:
1187:
1100:
1057:
974:
874:
795:
650:
571:
498:
459:
420:
364:
259:
209:
2687:
2650:
2132:
2058:
1944:
875:{\displaystyle k_{1},k_{2}\in \{0,1,2,3,\dots \}}
5635:
5162:
5141:
5091:
5070:
5045:
5024:
2208:{\displaystyle w={\frac {{\sqrt {8t+1}}-1}{2}}}
3398:So every parameter can be written in terms of
3342:{\displaystyle bk^{2}+ek+1=a(k+1)^{2}+d(k+1)}
1643:with the base case defined above for a pair:
4793:
4783:
4771:
4760:
4739:
4729:
4717:
4706:
4694:
4684:
4669:
4659:
4647:
4636:
4615:
4605:
4593:
4582:
4535:Which can be unpaired using the expression:
4256:
4252:
4238:
4232:
4218:
4215:
4160:
4147:
869:
839:
525:
513:
415:
391:
298:
286:
220:More generally, a pairing function on a set
4027:
582:
236:are associated with different elements of
5579:
5541:
5389:{\displaystyle (\mathbb {N} ,\leqslant )}
5373:
5339:
5331:
4831:
4104:{\displaystyle P_{2}(x,y):=2^{x}(2y+1)-1}
3038:{\displaystyle \pi (x,y)+1=\pi (x-1,y+1)}
1798:
1764:
1419:
1405:
1051:
644:
636:
628:
232:, such that any two pairs of elements of
200:
192:
184:
109:Learn how and when to remove this message
5606:Set theory: the third millennium edition
2930:
1350:we often denote the resulting number as
594:
586:
5568:Journal of Computer and System Sciences
5535:
5498:
3114:{\displaystyle \pi (0,k)+1=\pi (k+1,0)}
421:{\displaystyle i,j\in \{1,2,3,\dots \}}
5636:
5603:
5564:"Minimum-complexity pairing functions"
2620:{\displaystyle t={\frac {w^{2}+w}{2}}}
5561:
5517:from the original on 25 November 2011
5462:
4921:{\displaystyle \kappa \times \kappa }
1746:Inverting the Cantor pairing function
5557:
5555:
5553:
5494:
5492:
5490:
5488:
5457:
5455:
5453:
5451:
5449:
5447:
5445:
5443:
5441:
599:Graph of the Cantor pairing function
275:Hopcroft and Ullman pairing function
136:Any pairing function can be used in
129:is a process to uniquely encode two
47:adding citations to reliable sources
18:
5313:{\displaystyle \kappa ^{2}=\kappa }
4871:{\displaystyle \kappa ^{2}=\kappa }
1805:{\displaystyle x,y\in \mathbb {N} }
13:
14:
5665:
5550:
5485:
5438:
5287:predecessors, which implies that
1771:{\displaystyle z\in \mathbb {N} }
5562:Regan, Kenneth W. (1992-12-01).
23:
1231:{\displaystyle k_{2}<k_{2}'}
1101:{\displaystyle k_{1}<k_{1}'}
34:needs additional citations for
5596:
5529:
5410:
5383:
5369:
5349:
5327:
5177:
5165:
5156:
5144:
5106:
5094:
5085:
5073:
5060:
5048:
5039:
5027:
5014:
5002:
4996:
4984:
4968:
4956:
4950:
4938:
4557:
4551:
4415:
4403:
4092:
4077:
4061:
4049:
3995:
3977:
3974:
3962:
3898:
3872:
3852:
3840:
3712:
3700:
3697:
3685:
3679:
3667:
3664:
3652:
3646:
3634:
3631:
3619:
3610:
3601:
3588:
3576:
3563:
3560:
3535:
3523:
3514:
3502:
3484:
3458:
3439:
3427:
3336:
3324:
3309:
3296:
3160:
3148:
3108:
3090:
3075:
3063:
3032:
3008:
2993:
2981:
2322:
2310:
2298:
2285:
2276:
2264:
2136:{\displaystyle w^{2}+w-2t=0\!}
1994:
1982:
1885:
1873:
1870:
1852:
1843:
1831:
1727:
1701:
1692:
1666:
1661:
1655:
1627:
1611:
1573:
1568:
1556:
1548:
1539:
1488:
1483:
1477:
1415:
1395:
1389:
1312:
1283:
1274:
1248:
1182:
1153:
1144:
1118:
907:
895:
777:
745:
742:
716:
700:
674:
640:
566:
540:
353:
335:
332:
314:
196:
133:into a single natural number.
1:
5501:"An Elegant Pairing Function"
5431:
5280:{\displaystyle {}<\kappa }
5255:{\displaystyle \preccurlyeq }
2926:
2224:is non-negative real. Since
155:
5581:10.1016/0022-0000(92)90027-G
4838:{\displaystyle \mathbb {N} }
1913:and hence that the function
885:It can also be expressed as
7:
3747:, and thus all parameters:
2712:
10:
5670:
5422:Cantor's diagonal argument
4878:for any infinite cardinal
4137:, defined recursively as:
5499:Szudzik, Matthew (2006).
4120:multiplication can be too
499:{\displaystyle j=k_{1}+1}
460:{\displaystyle i=k_{2}+1}
5403:
4126:in linear time and with
2691:{\displaystyle x=w-y.\!}
4891:{\displaystyle \kappa }
4111:is a pairing function.
4028:Other pairing functions
2654:{\displaystyle y=z-t\!}
2062:{\displaystyle z=t+y\!}
1948:{\displaystyle w=x+y\!}
605:Cantor pairing function
583:Cantor pairing function
5654:Functions and mappings
5390:
5356:
5314:
5281:
5256:
5234:
4922:
4892:
4872:
4839:
4821:SK combinator calculus
4810:
4526:
4374:least significant bits
4366:
4339:
4309:
4105:
4015:
3726:
3343:
3235:
3115:
3039:
2936:
2692:
2655:
2621:
2572:
2478:
2407:
2335:
2209:
2137:
2063:
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