1633:
1208:
1628:{\displaystyle f_{x}(x^{*},u^{*})={\begin{bmatrix}\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*}}&\cdots &\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\left.{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*}}&\ldots &\left.{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{n}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*}}\end{bmatrix}}}
969:
1201:
680:
3384:
689:
89:
to stochastic optimal control problems, whereas the maximum principle does not. However, in contrast to the
Hamilton–Jacobi–Bellman equation, which needs to hold over the entire state space to be valid, Pontryagin's Maximum Principle is potentially more computationally efficient in that the
978:
2649:
484:
3090:
964:{\displaystyle H_{x}(x^{*},u^{*},\lambda ^{*},t)={\begin{bmatrix}\left.{\frac {\partial H}{\partial x_{1}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*},\lambda =\lambda ^{*}}&\cdots &\left.{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*},\lambda =\lambda ^{*}}\end{bmatrix}}}
244:
2972:
68:
Widely regarded as a milestone in optimal control theory, the significance of the maximum principle lies in the fact that maximizing the
Hamiltonian is much easier than the original infinite-dimensional control problem; rather than maximizing over a
475:
1986:
361:
2173:
1196:{\displaystyle L_{x}(x^{*},u^{*})={\begin{bmatrix}\left.{\frac {\partial L}{\partial x_{1}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*}}&\cdots &\left.{\frac {\partial L}{\partial x_{n}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*}}\end{bmatrix}}}
299:
675:{\displaystyle \Psi _{x}(x(T))={\begin{bmatrix}\left.{\frac {\partial \Psi (x)}{\partial x_{1}}}\right|_{x=x(T)}&\cdots &\left.{\frac {\partial \Psi (x)}{\partial x_{n}}}\right|_{x=x(T)}\end{bmatrix}}}
2454:
3379:{\displaystyle -{\dot {\lambda }}^{\rm {T}}(t)=H_{x}{\big (}x^{*}(t),u^{*}(t),\lambda (t),t{\big )}=\lambda ^{\rm {T}}(t)\cdot f_{x}{\big (}x^{*}(t),u^{*}(t){\big )}+L_{x}{\big (}x^{*}(t),u^{*}(t){\big )}}
166:
3471:
173:
3619:
2815:
1684:
2037:
3056:
1714:
2681:
1788:
1738:
120:
2785:
3076:
2701:
2381:
2285:
2331:
2212:
373:
3666:
Whether the extreme value is maximum or minimum depends on the sign convention used for defining the
Hamiltonian. The historic convention leads to a maximum, hence
3026:
2758:
2731:
2446:
1853:
1815:
86:
3548:
3516:
1861:
2805:
2408:
2357:
2305:
2256:
2236:
2057:
53:
and his students, and its initial application was to the maximization of the terminal speed of a rocket. The result was derived using ideas from the classical
65:
expansion with respect to the perturbation; sending the perturbation to zero leads to a variational inequality from which the maximum principle follows.
81:, a related approach to optimal control problems which states that the optimal trajectory remains optimal at intermediate points in time. The resulting
1740:
is the set of admissible controls. The evolution of the system is determined by the state and the control, according to the differential equation
306:
2065:
251:
3670:
In recent years, it is more commonly referred to as simply
Pontryagin's Principle, without the use of the adjectives, maximum or minimum.
2644:{\displaystyle H{\big (}x(t),u(t),\lambda (t),t{\big )}=\lambda ^{\rm {T}}(t)\cdot f{\big (}x(t),u(t){\big )}+L{\big (}x(t),u(t){\big )}}
82:
34:
for any optimal control along with the optimal state trajectory to solve the so-called
Hamiltonian system, which is a two-point
3998:
3646:
128:
3407:
78:
30:
from one state to another, especially in the presence of constraints for the state or input controls. It states that it is
4053:
4017:
3916:
3822:
3766:
4070:
239:{\displaystyle H:\mathbb {R} ^{n}\times {\mathcal {U}}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
2967:{\displaystyle H{\big (}x^{*}(t),u^{*}(t),\lambda ^{*}(t),t{\big )}\leq H{\big (}x(t),u,\lambda (t),t{\big )}}
4080:
3950:
Zhou, X. Y. (1990). "Maximum
Principle, Dynamic Programming, and their Connection in Deterministic Control".
3558:
3933:
2388:
1654:
39:
1994:
4075:
3031:
1689:
2657:
3726:
3518:
is fixed, then these three conditions in (1)-(3) are the necessary conditions for an optimal control.
1743:
31:
1719:
101:
4097:
2763:
470:{\displaystyle \Psi _{T}(x(T))=\left.{\frac {\partial \Psi (x)}{\partial T}}\right|_{x=x(T)}\,}
54:
35:
3908:
3754:
3550:
is not fixed (i.e., its differential variation is not zero), there is an additional condition
3061:
2686:
2366:
2261:
2310:
58:
3900:
2182:
2993:
2736:
2709:
2413:
2360:
2337:
1981:{\displaystyle {\dot {x}}=f(x,u),\quad x(0)=x_{0},\quad u(t)\in {\mathcal {U}},\quad t\in }
1820:
1793:
3524:
3492:
8:
4102:
3691:
3869:(1989). "The Calculus of Variations from the Beginning Through Optimal Control Theory".
4029:
3967:
3799:
2790:
2393:
2342:
2290:
2241:
2221:
2042:
3899:
Yong, J.; Zhou, X. Y. (1999). "Maximum
Principle and Stochastic Hamiltonian Systems".
3637:
These four conditions in (1)-(4) are the necessary conditions for an optimal control.
16:
Principle in optimal control theory for best way to change state in a dynamical system
4049:
4013:
3994:
3971:
3912:
3901:
3866:
3818:
3803:
3762:
3739:
1639:
3959:
3878:
3848:
3810:
3791:
3735:
3703:
3079:
1648:
27:
4041:
43:
23:
3724:; Schwartz, Nancy L. (1971). "Sufficient Conditions in Optimal Control Theory".
70:
50:
3852:
3795:
3694:(1966). "Sufficient Conditions for the Optimal Control of Nonlinear Systems".
1817:
and let the system's evolution be controlled over the time-period with values
90:
conditions which it specifies only need to hold over a particular trajectory.
4091:
3721:
62:
1644:
Here the necessary conditions are shown for minimization of a functional.
356:{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\times {\mathcal {U}}\to \mathbb {R} ^{n}}
49:
The maximum principle was formulated in 1956 by the
Russian mathematician
2168:{\displaystyle J=\Psi (x(T))+\int _{0}^{T}L{\big (}x(t),u(t){\big )}\,dt}
2039:
is to be chosen according to an objective. The objective is a functional
85:
provides a necessary and sufficient condition for an optimum, and admits
3839:
Fuller, A. T. (1963). "Bibliography of
Pontryagin's Maximum Principle".
2706:
Pontryagin's minimum principle states that the optimal state trajectory
3963:
294:{\displaystyle L:\mathbb {R} ^{n}\times {\mathcal {U}}\to \mathbb {R} }
74:
3882:
3707:
1855:. The latter is determined by the following differential equation:
1640:
Formal statement of necessary conditions for minimization problems
3782:
Gamkrelidze, R. V. (1999). "Discovery of the
Maximum Principle".
61:
of the optimal control, one considers the first-order term of a
2336:
The constraints on the system dynamics can be adjoined to the
42:. These necessary conditions become sufficient under certain
3058:. Here, the trajectory of the Lagrangian multiplier vector
1539:
1452:
1351:
1264:
1114:
1034:
863:
764:
601:
529:
410:
3903:
Stochastic Controls: Hamiltonian Systems and HJB Equations
3752:
2387:
of the system. This motivates the construction of the
2287:
can be interpreted as the cost for ending up at state
1259:
1029:
759:
524:
161:{\displaystyle \Psi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
46:
conditions on the objective and constraint functions.
26:
theory to find the best possible control for taking a
3561:
3527:
3495:
3466:{\displaystyle \lambda ^{\rm {T}}(T)=\Psi _{x}(x(T))}
3410:
3093:
3064:
3034:
2996:
2818:
2793:
2766:
2739:
2712:
2689:
2660:
2457:
2416:
2396:
2369:
2345:
2313:
2293:
2264:
2244:
2224:
2185:
2068:
2045:
1997:
1864:
1823:
1796:
1746:
1722:
1692:
1657:
1211:
981:
692:
487:
376:
309:
254:
176:
131:
104:
3934:"Lecture Notes 8. Optimal Control and Dynamic Games"
3809:
4028:
3613:
3542:
3510:
3465:
3378:
3070:
3050:
3020:
2966:
2799:
2779:
2752:
2725:
2695:
2675:
2643:
2440:
2402:
2375:
2351:
2325:
2299:
2279:
2250:
2230:
2206:
2167:
2051:
2031:
1980:
1847:
1809:
1782:
1732:
1708:
1678:
1627:
1195:
963:
674:
469:
355:
293:
238:
160:
114:
4046:Optimal Control Theory with Economic Applications
4039:
4089:
3753:Boltyanski, V.; Martini, H.; Soltan, V. (1998).
3952:Journal of Optimization Theory and Applications
2760:, and corresponding Lagrange multiplier vector
3720:
3991:Optimal Control with Engineering Applications
3837:For first published works, see references in
3649:, Lagrangian method in calculus of variations
3371:
3323:
3303:
3255:
3211:
3142:
2959:
2913:
2900:
2824:
2636:
2602:
2589:
2555:
2518:
2463:
2153:
2119:
3815:Mathematical Events of the Twentieth Century
3755:"The Maximum Principle – How it came to be?"
3781:
3759:Geometric Methods and Optimization Problems
3690:
3894:
3892:
4026:
2158:
1666:
466:
343:
318:
287:
263:
232:
224:
210:
185:
154:
140:
3898:
3784:Journal of Dynamical and Control Systems
3761:. New York: Springer. pp. 204–227.
4010:Optimal Control Theory: An Introduction
3988:
3889:
3865:
3028:and for all permissible control inputs
77:optimization. A similar logic leads to
4090:
3931:
3838:
3614:{\displaystyle \Psi _{T}(x(T))+H(T)=0}
4031:Foundations of Optimal Control Theory
3647:Lagrange multipliers on Banach spaces
1679:{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}
4007:
3949:
3817:. Berlin: Springer. pp. 85–99.
3552:
3401:
3084:
2809:
2032:{\displaystyle u:\to {\mathcal {U}}}
1790:. Let the system's initial state be
3051:{\displaystyle u\in {\mathcal {U}}}
1709:{\displaystyle u\in {\mathcal {U}}}
13:
3982:
3932:Sastry, Shankar (March 29, 2009).
3563:
3436:
3417:
3225:
3112:
3043:
2676:{\displaystyle \lambda ^{\rm {T}}}
2667:
2532:
2320:
2265:
2075:
2024:
1948:
1725:
1701:
1559:
1544:
1472:
1457:
1371:
1356:
1284:
1269:
1127:
1119:
1047:
1039:
876:
868:
777:
769:
623:
609:
606:
551:
537:
534:
489:
432:
418:
415:
378:
333:
278:
200:
132:
107:
38:, plus a maximum condition of the
14:
4114:
4063:
1783:{\displaystyle {\dot {x}}=f(x,u)}
79:Bellman's principle of optimality
2383:, whose elements are called the
83:Hamilton–Jacobi–Bellman equation
73:, the problem is converted to a
4027:Lee, E. B.; Markus, L. (1967).
3943:
3907:. New York: Springer. pp.
2787:must minimize the Hamiltonian
1956:
1930:
1901:
367:we use the following notation:
4071:"Pontryagin maximum principle"
3925:
3859:
3831:
3775:
3746:
3714:
3684:
3660:
3602:
3596:
3587:
3584:
3578:
3572:
3537:
3531:
3505:
3499:
3460:
3457:
3451:
3445:
3429:
3423:
3366:
3360:
3344:
3338:
3298:
3292:
3276:
3270:
3237:
3231:
3200:
3194:
3185:
3179:
3163:
3157:
3124:
3118:
3015:
3003:
2948:
2942:
2927:
2921:
2889:
2883:
2867:
2861:
2845:
2839:
2631:
2625:
2616:
2610:
2584:
2578:
2569:
2563:
2544:
2538:
2507:
2501:
2492:
2486:
2477:
2471:
2435:
2423:
2274:
2268:
2201:
2189:
2148:
2142:
2133:
2127:
2093:
2090:
2084:
2078:
2019:
2016:
2004:
1975:
1963:
1940:
1934:
1911:
1905:
1895:
1883:
1842:
1830:
1777:
1765:
1733:{\displaystyle {\mathcal {U}}}
1248:
1222:
1018:
992:
748:
703:
659:
653:
618:
612:
587:
581:
546:
540:
513:
510:
504:
498:
461:
455:
427:
421:
402:
399:
393:
387:
338:
283:
228:
150:
115:{\displaystyle {\mathcal {U}}}
20:Pontryagin's maximum principle
1:
3677:
3082:and its terminal conditions:
2218:of cost for exerting control
4048:. Amsterdam: North-Holland.
3841:J. Electronics & Control
3813:; et al., eds. (2006).
3740:10.1016/0022-0531(71)90018-4
2780:{\displaystyle \lambda ^{*}}
2359:by introducing time-varying
2333:depends on the application.
7:
4076:Encyclopedia of Mathematics
3640:
3627:
3479:
3392:
2980:
93:
87:a straightforward extension
10:
4119:
3727:Journal of Economic Theory
2214:can be interpreted as the
1647:Consider an n-dimensional
3853:10.1080/00207216308937602
2307:. The specific choice of
3653:
3071:{\displaystyle \lambda }
2696:{\displaystyle \lambda }
2376:{\displaystyle \lambda }
2280:{\displaystyle \Psi (x)}
3989:Geering, H. P. (2007).
3796:10.1023/A:1021783020548
3696:SIAM Journal on Control
3078:is the solution to the
2326:{\displaystyle L,\Psi }
1991:The control trajectory
1686:, and control variable
3615:
3544:
3512:
3467:
3380:
3072:
3052:
3022:
2968:
2801:
2781:
2754:
2727:
2697:
2677:
2645:
2442:
2404:
2377:
2353:
2327:
2301:
2281:
2252:
2232:
2208:
2207:{\displaystyle L(x,u)}
2169:
2053:
2033:
1982:
1849:
1811:
1784:
1734:
1710:
1680:
1651:, with state variable
1629:
1197:
965:
676:
471:
357:
295:
240:
162:
116:
55:calculus of variations
36:boundary value problem
3871:SIAM J. Control Optim
3616:
3545:
3513:
3468:
3381:
3073:
3053:
3023:
3021:{\displaystyle t\in }
2969:
2802:
2782:
2755:
2753:{\displaystyle u^{*}}
2728:
2726:{\displaystyle x^{*}}
2698:
2678:
2646:
2443:
2441:{\displaystyle t\in }
2405:
2378:
2354:
2328:
2302:
2282:
2253:
2233:
2209:
2170:
2054:
2034:
1983:
1850:
1848:{\displaystyle t\in }
1812:
1810:{\displaystyle x_{0}}
1785:
1735:
1711:
1681:
1630:
1198:
966:
677:
472:
358:
296:
241:
163:
117:
4008:Kirk, D. E. (1970).
3559:
3543:{\displaystyle x(T)}
3525:
3511:{\displaystyle x(T)}
3493:
3408:
3091:
3062:
3032:
2994:
2816:
2791:
2764:
2737:
2710:
2687:
2683:is the transpose of
2658:
2455:
2414:
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