4012:
3672:
3071:
295:
3661:
4754:
4007:{\displaystyle {\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})&={\frac {c({\mathcal {T}}_{\mathbb {CP} ^{3}}|_{X})}{c({\mathcal {O}}(4))}}\\&={\frac {(1+)^{4}}{(1+4)}}\\&=(1+4+6^{2})\cdot (1-4+16^{2})\\&=1+6^{2}\end{aligned}}}
3380:
1266:
2626:
851:
2800:
1413:
1881:
3191:
2792:
1123:
3677:
2712:
421:
3473:
1552:
932:
348:
4604:
4534:
4469:
2329:
1705:
2521:
672:
490:
146:
2474:
589:
4232:
3563:
3555:
4115:
4612:
2400:
4279:
2568:
4915:
4057:
3515:
625:
138:
2352:
1781:
1583:
1467:
1342:
1307:
4784:
1440:
1022:
4148:
1737:
4387:
4168:
1613:
695:
513:
371:
4854:
4804:
4407:
4361:
4338:
4318:
1961:
1938:
1918:
1761:
1633:
995:
975:
955:
715:
537:
441:
102:
82:
62:
4830:
3202:
1129:
2573:
1555:
1415:.) The Pontryagin classes and Stiefel-Whitney classes all vanish: the Pontryagin classes don't exist in degree 9, and the Stiefel–Whitney class
857:
738:
3076:
for example, we can apply this formula to find the
Pontryagin classes of a complex vector bundle on a curve and a surface. For a curve, we have
5006:
4919:
can be expressed through
Pontryagin numbers. For the theorem describing the linear combination of Pontryagin numbers giving the signature see
3066:{\displaystyle 1-p_{1}(E)+p_{2}(E)-\cdots +(-1)^{n}p_{n}(E)=(1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E))\cdot (1-c_{1}(E)+c_{2}(E)-\cdots +(-1)^{n}c_{n}(E))}
1350:
4880:(as well as Pontryagin classes) can be calculated as integrals of certain polynomials from the curvature tensor of a Riemannian manifold.
1809:
1470:
5030:
3082:
2717:
1030:
2631:
5057:. Annals of Mathematics Studies. Princeton, New Jersey; Tokyo: Princeton University Press / University of Tokyo Press.
383:
5062:
3388:
1475:
866:
306:
4543:
5120:
4474:
5125:
4415:
2425:
1973:
1641:
290:{\displaystyle p_{k}(E)=p_{k}(E,\mathbb {Z} )=(-1)^{k}c_{2k}(E\otimes \mathbb {C} )\in H^{4k}(M,\mathbb {Z} ),}
5103:
3656:{\displaystyle 0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {CP} ^{3}}|_{X}\to {\mathcal {O}}(4)\to 0}
2479:
630:
448:
4954:
4920:
2435:
550:
5098:
4173:
2526:
If the dimension is at least five, there are at most finitely many different smooth manifolds with given
3528:
5093:
4974:
4749:{\displaystyle P_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}}=p_{k_{1}}\smile p_{k_{2}}\smile \cdots \smile p_{k_{m}}()}
2628:, the Whitney sum formula, and properties of Chern classes of its complex conjugate bundle. That is,
1279:
1275:
4062:
4999:
2361:
1345:
4239:
2527:
2541:
1941:
4891:
4020:
3478:
4870:
1314:
594:
107:
4949:
4293:
3196:
so all of the
Pontryagin classes of complex vector bundles are trivial. On a surface, we have
2337:
1891:
1766:
1278:
of a vector bundle does not guarantee that the vector bundle is trivial. For example, up to
1561:
1445:
1320:
1285:
4884:
4762:
1418:
1000:
29:
4120:
1713:
8:
4877:
1894:
revealed a major connection between algebraic topology and global differential geometry.
4369:
4153:
1595:
677:
495:
353:
5076:
4839:
4789:
4392:
4346:
4323:
4303:
2403:
1946:
1923:
1903:
1746:
1618:
980:
960:
940:
700:
522:
426:
87:
67:
47:
4809:
4150:
corresponds to four points, due to BĂ©zout's lemma, we have the second chern number as
5058:
5023:
4833:
1796:
3375:{\displaystyle (1-c_{1}(E)+c_{2}(E))(1+c_{1}(E)+c_{2}(E))=1-c_{1}(E)^{2}+2c_{2}(E)}
378:
33:
4281:. This number can be used to compute the third stable homotopy group of spheres.
1964:
718:
4340:
is not divisible by 4. It is defined in terms of the
Pontryagin classes of the
2570:
is completely determined by its Chern classes. This follows from the fact that
2419:
2355:
1887:
25:
1261:{\displaystyle 2p_{2}(E\oplus F)=2p_{2}(E)+2p_{1}(E)\smile p_{1}(F)+2p_{2}(F)}
5114:
5072:
2429:
1898:
2621:{\displaystyle E\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \cong E\oplus {\bar {E}}}
1800:
5050:
846:{\displaystyle p(E)=1+p_{1}(E)+p_{2}(E)+\cdots \in H^{*}(M,\mathbb {Z} ),}
5046:
1784:
1740:
374:
17:
1886:
can be presented as differential forms which depend polynomially on the
5024:"A Survey of Computations of Homotopy Groups of Spheres and Cobordisms"
4937:
516:
4888:
4866:
3557:
is a smooth subvariety is a K3 surface. If we use the normal sequence
1408:{\displaystyle \pi _{8}(\mathrm {O} (10))=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }
4341:
4297:
2428:
proved in 1966 that if two compact, oriented, smooth manifolds are
1310:
540:
5045:
4873:
they determine an oriented manifold's oriented cobordism class.
1876:{\displaystyle p_{k}(E,\mathbf {Q} )\in H^{4k}(M,\mathbf {Q} )}
1554:. Moreover, this vector bundle is stably nontrivial, i.e. the
3520:
3525:
Recall that a quartic polynomial whose vanishing locus in
4975:"De Rham Cohomology - an overview | ScienceDirect Topics"
2533:
3186:{\displaystyle (1-c_{1}(E))(1+c_{1}(E))=1+c_{1}(E)^{2}}
2787:{\displaystyle c(E\oplus {\bar {E}})=c(E)c({\bar {E}})}
1118:{\displaystyle 2p_{1}(E\oplus F)=2p_{1}(E)+2p_{1}(F),}
856:
is (modulo 2-torsion) multiplicative with respect to
32:
of real vector bundles. The
Pontryagin classes lie in
4894:
4842:
4812:
4792:
4765:
4615:
4546:
4477:
4418:
4395:
4372:
4349:
4326:
4306:
4242:
4176:
4156:
4123:
4065:
4023:
3675:
3566:
3531:
3481:
3391:
3205:
3085:
2803:
2720:
2634:
2576:
2544:
2482:
2438:
2364:
2340:
1976:
1949:
1926:
1906:
1812:
1769:
1749:
1716:
1644:
1621:
1598:
1564:
1478:
1448:
1421:
1353:
1323:
1288:
1282:, there is a unique nontrivial rank 10 vector bundle
1132:
1033:
1003:
983:
963:
943:
869:
741:
703:
680:
633:
597:
553:
525:
498:
451:
429:
386:
356:
309:
149:
110:
90:
70:
50:
2409:
1790:
4909:
4848:
4824:
4798:
4778:
4748:
4598:
4528:
4463:
4401:
4381:
4355:
4332:
4312:
4273:
4226:
4162:
4142:
4109:
4051:
4006:
3655:
3549:
3509:
3467:
3374:
3185:
3065:
2786:
2707:{\displaystyle c_{i}({\bar {E}})=(-1)^{i}c_{i}(E)}
2706:
2620:
2562:
2538:The Pontryagin classes of a complex vector bundle
2515:
2468:
2394:
2346:
2323:
1955:
1932:
1912:
1875:
1775:
1755:
1731:
1699:
1627:
1607:
1577:
1546:
1461:
1434:
1407:
1336:
1301:
1260:
1117:
1016:
989:
969:
949:
926:
845:
709:
689:
666:
619:
583:
531:
507:
484:
435:
415:
365:
342:
289:
132:
96:
76:
56:
997:. In terms of the individual Pontryagin classes
5112:
3475:. On line bundles this simplifies further since
2418:are defined to be the Pontryagin classes of its
416:{\displaystyle E\otimes \mathbb {C} =E\oplus iE}
3468:{\displaystyle p_{1}(E)=c_{1}(E)^{2}-2c_{2}(E)}
1967:, the total Pontryagin class is expressed as
1803:around 1948, the rational Pontryagin classes
1547:{\displaystyle w_{9}=w_{1}w_{8}+Sq^{1}(w_{8})}
927:{\displaystyle 2p(E\oplus F)=2p(E)\smile p(F)}
1585:with any trivial bundle remains nontrivial. (
343:{\displaystyle c_{2k}(E\otimes \mathbb {C} )}
4599:{\displaystyle P_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}}}
1274:The vanishing of the Pontryagin classes and
4529:{\displaystyle k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}
4936:Pontryagin class, for vector bundles with
3521:Pontryagin classes on a Quartic K3 Surface
4464:{\displaystyle k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}
3733:
3730:
3604:
3601:
3537:
3534:
2593:
2586:
2324:{\displaystyle p=\left\in H_{dR}^{*}(M),}
1700:{\displaystyle p_{k}(E)=e(E)\smile e(E),}
1401:
1388:
833:
657:
574:
475:
394:
333:
277:
244:
192:
5071:
4300:. Each Pontryagin number of a manifold
2432:then their rational Pontryagin classes
2416:Pontryagin classes of a smooth manifold
1586:
5113:
2516:{\displaystyle H^{4k}(M,\mathbf {Q} )}
667:{\displaystyle H^{4k}(M,\mathbb {Q} )}
485:{\displaystyle H^{4k}(M,\mathbb {Z} )}
4409:and a collection of natural numbers
4284:
2534:Pontryagin classes from Chern classes
2469:{\displaystyle p_{k}(M,\mathbf {Q} )}
584:{\displaystyle p_{k}(E,\mathbb {Q} )}
4227:{\displaystyle p_{1}(X)=-2c_{2}(X)}
13:
4997:
4927:
3770:
3722:
3689:
3633:
3593:
3576:
2341:
2247:
2238:
2235:
2215:
2206:
2203:
2189:
2180:
2177:
2150:
2141:
2138:
2100:
2091:
2088:
2061:
2052:
2049:
2011:
2002:
1999:
1368:
14:
5137:
5086:
3550:{\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}
36:with degrees a multiple of four.
5036:from the original on 2016-01-22.
5012:from the original on 2016-11-08.
4865:Pontryagin numbers are oriented
2506:
2459:
2410:Pontryagin classes of a manifold
1866:
1833:
1791:Pontryagin classes and curvature
4859:
2794:. Then, this given the relation
5016:
4991:
4967:
4901:
4819:
4813:
4743:
4740:
4734:
4731:
4259:
4253:
4221:
4215:
4193:
4187:
4131:
4124:
4110:{\displaystyle c_{2}(X)=6^{2}}
4098:
4091:
4082:
4076:
4040:
4034:
3991:
3984:
3962:
3953:
3946:
3937:
3931:
3919:
3913:
3904:
3897:
3888:
3882:
3870:
3854:
3851:
3845:
3833:
3822:
3818:
3812:
3803:
3784:
3781:
3775:
3765:
3757:
3747:
3716:
3700:
3683:
3647:
3644:
3638:
3628:
3618:
3587:
3570:
3498:
3492:
3462:
3456:
3431:
3424:
3408:
3402:
3369:
3363:
3338:
3331:
3309:
3306:
3300:
3284:
3278:
3259:
3256:
3253:
3247:
3231:
3225:
3206:
3174:
3167:
3145:
3142:
3136:
3117:
3114:
3111:
3105:
3086:
3060:
3057:
3051:
3032:
3022:
3010:
3004:
2988:
2982:
2963:
2957:
2954:
2948:
2926:
2920:
2901:
2895:
2889:
2870:
2860:
2848:
2842:
2826:
2820:
2781:
2775:
2766:
2760:
2754:
2745:
2739:
2724:
2701:
2695:
2676:
2666:
2660:
2654:
2645:
2612:
2554:
2510:
2496:
2463:
2449:
2389:
2383:
2315:
2309:
2256:
2243:
2224:
2211:
2198:
2185:
2160:
2146:
2109:
2096:
2071:
2057:
2020:
2007:
1870:
1856:
1837:
1823:
1726:
1720:
1691:
1685:
1676:
1670:
1661:
1655:
1541:
1528:
1381:
1378:
1372:
1364:
1255:
1249:
1230:
1224:
1208:
1202:
1183:
1177:
1158:
1146:
1109:
1103:
1084:
1078:
1059:
1047:
921:
915:
906:
900:
888:
876:
837:
823:
801:
795:
779:
773:
751:
745:
661:
647:
614:
608:
591:is defined to be the image of
578:
564:
547:The rational Pontryagin class
479:
465:
337:
323:
281:
267:
248:
234:
212:
202:
196:
182:
166:
160:
127:
121:
1:
5078:Vector Bundles & K-Theory
4960:
4876:Pontryagin numbers of closed
4869:invariant; and together with
4320:vanishes if the dimension of
2395:{\displaystyle H_{dR}^{*}(M)}
724:
39:
4955:Hirzebruch signature theorem
4921:Hirzebruch signature theorem
4274:{\displaystyle p_{1}(X)=-48}
7:
5099:Encyclopedia of Mathematics
4943:
2563:{\displaystyle \pi :E\to X}
1615:-dimensional vector bundle
44:Given a real vector bundle
10:
5142:
4910:{\displaystyle {\hat {A}}}
4052:{\displaystyle c_{1}(X)=0}
3510:{\displaystyle c_{2}(L)=0}
860:of vector bundles, i.e.,
4806:-th Pontryagin class and
1890:of a vector bundle. This
1280:vector bundle isomorphism
2530:and Pontryagin classes.
620:{\displaystyle p_{k}(E)}
133:{\displaystyle p_{k}(E)}
4871:Stiefel-Whitney numbers
2347:{\displaystyle \Omega }
1942:differentiable manifold
1787:of cohomology classes.
1776:{\displaystyle \smile }
1276:Stiefel–Whitney classes
937:for two vector bundles
5121:Characteristic classes
5055:Characteristic classes
4911:
4850:
4826:
4800:
4780:
4750:
4600:
4540:the Pontryagin number
4530:
4465:
4403:
4389:-dimensional manifold
4383:
4357:
4334:
4314:
4294:topological invariants
4275:
4234:in this case, we have
4228:
4164:
4144:
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