1102:
5689:
4909:
5161:
3141:
3354:
4462:
5396:
3570:
5407:
4668:
4920:
2944:
3194:
4237:
5176:
3367:
5684:{\displaystyle a_{n}={\begin{cases}\mathrm {e} ^{-1+O(1/n)}{\frac {1}{(n\prod _{k=1}^{K-2}\ln _{(k)}n)\ln _{(K-1)}^{\rho _{n}}n}},&K\geq 2,\\\mathrm {e} ^{-1+O(1/n)}{\frac {1}{n^{\rho _{n}}}},&K=1.\end{cases}}}
2510:
2594:
4660:
2797:
1731:
1253:
2235:
1057:
2710:
1330:
2872:
4904:{\displaystyle \mathrm {e} ^{-{\frac {1}{n}}\ln a_{n}}=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}+{\frac {\rho _{n}}{n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}}.}
1563:
1089:
are the terms of the series, and states that the series converges absolutely if this quantity is less than one, but diverges if it is greater than one. It is particularly useful in connection with
4569:
4518:
118:
3809:
4167:
2317:
2935:
5156:{\displaystyle \ln a_{n}=-n\ln \left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}+{\frac {\rho _{n}}{n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}}\right).}
3136:{\displaystyle C=\lim _{n\to \infty }{\sqrt{\left|{\frac {2^{n}}{n^{9}}}\right|}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt{2^{n}}}{\sqrt{n^{9}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {2}{(n^{1/n})^{9}}}=2}
1996:
2406:
1831:
3876:
1938:
1174:
1427:
1887:
2062:
4041:
1464:
3735:
3349:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{\lfloor n/2\rfloor }}}=1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+\ldots }
4457:{\displaystyle {\sqrt{a_{n}}}=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}+{\frac {\rho _{n}}{n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}}.}
3653:
4209:
4073:
3950:
5391:{\displaystyle \ln a_{n}=-1-\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}-{\frac {\rho _{n}}{\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}}+O\left({\frac {1}{n}}\right).}
3565:{\displaystyle r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt{|a_{n}|}}=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt{|a_{2n}|}}=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt{|1/2^{n}|}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}<1.}
3181:
2715:(since points > 1 will diverge) and this will not change the radius of convergence since these are just the points lying on the boundary of the interval or disc, so
3905:
1087:
4229:
3970:
3673:
3599:
6847:
6835:
2418:
2518:
4585:
6957:
6842:
2721:
214:
1661:
1185:
6825:
6820:
2127:
995:
6830:
6815:
5929:
6117:
2602:
1268:
6810:
2815:
1483:
6427:
6181:
5749:
4525:
4474:
480:
455:
3740:
4078:
5979:
1647:
strictly in the interior (convergence on the boundary of the interval or disc generally has to be checked separately).
956:
519:
5830:
2246:
37:
6925:
6784:
5885:
5866:
475:
193:
2880:
6339:
6255:
460:
1943:
6920:
6852:
6477:
6332:
6300:
6059:
2333:
1776:
796:
470:
445:
127:
3833:
1895:
1131:
6983:
6553:
6530:
6245:
1390:
6643:
6581:
6376:
6250:
5922:
5698:
578:
525:
406:
1836:
6129:
6107:
2013:
232:
204:
6952:
3983:
315:
6937:
6703:
6317:
6139:
1655:
1436:
829:
437:
275:
247:
5767:
6988:
6322:
6092:
3678:
700:
664:
441:
320:
209:
199:
6741:
6688:
3604:
464:
6149:
5429:
4175:
300:
6857:
6628:
6176:
5915:
4046:
3910:
599:
159:
6623:
6295:
913:
705:
594:
5741:
5735:
6751:
6633:
6454:
6402:
6208:
6186:
6054:
3151:
1751:
1376:
949:
878:
839:
723:
659:
583:
6877:
6736:
6648:
6305:
6240:
6213:
6203:
6124:
6112:
6097:
6069:
3884:
1632:
1110:
923:
589:
360:
305:
266:
172:
6693:
6312:
6159:
1351:
1065:
928:
908:
834:
503:
422:
396:
310:
8:
6713:
6638:
6525:
6482:
6233:
6218:
6049:
6037:
6024:
5984:
5964:
903:
873:
863:
750:
604:
401:
257:
140:
135:
5829:
Bourchtein, Ludmila; Bourchtein, Andrei; Nornberg, Gabrielle; Venzke, Cristiane (2012).
6802:
6777:
6608:
6561:
6502:
6467:
6462:
6442:
6437:
6432:
6397:
6344:
6327:
6228:
6102:
6087:
6032:
5999:
5901:
5855:
5801:
4214:
3955:
3658:
3584:
1114:
868:
771:
755:
695:
690:
685:
649:
530:
449:
355:
350:
154:
149:
6942:
6766:
6698:
6520:
6497:
6371:
6364:
6267:
6082:
5974:
5881:
5862:
5745:
5737:
The Higher
Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass
5715:
3977:
1101:
978:
942:
776:
554:
432:
385:
242:
237:
6900:
6683:
6596:
6576:
6507:
6417:
6359:
6351:
6285:
6198:
5959:
5954:
5811:
5786:
1890:
1375:
otherwise the test is inconclusive (the series may diverge, converge absolutely or
1362:
982:
786:
680:
654:
515:
427:
391:
1627:
as above. Note that sometimes a series like this is called a power series "around
6962:
6947:
6731:
6586:
6566:
6535:
6512:
6492:
6386:
6042:
5989:
986:
918:
791:
745:
740:
627:
540:
485:
6872:
6771:
6618:
6571:
6472:
6275:
1770:
1582:
1259:
801:
609:
376:
6290:
6977:
6746:
6601:
6487:
6191:
6166:
5167:
781:
545:
295:
252:
5787:"Necessary and sufficient conditions for the convergence of positive series"
3878:
with positive terms we have the following tests for convergence/divergence.
6756:
6726:
6591:
6154:
5815:
2505:{\displaystyle |z-p|<1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt{|c_{n}|}},}
1475:
1090:
535:
280:
1372:= 1 and the limit approaches strictly from above then the series diverges,
6004:
5946:
970:
898:
2589:{\displaystyle R\leq 1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt{|c_{n}|}}.}
6721:
6653:
6407:
6280:
6144:
6134:
6077:
5897:
5896:
This article incorporates material from Proof of Cauchy's root test on
5710:
3824:
3820:
3578:
644:
568:
290:
285:
189:
4655:{\displaystyle {\sqrt{a_{n}}}=\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{n}}\ln a_{n}}}
2330:, which implies that in order for the series to converge we must have
6915:
6663:
5969:
3973:
1651:
563:
2792:{\displaystyle R=1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt{|c_{n}|}}.}
2109:), we see by the above that the series converges if there exists an
6910:
6412:
5938:
5806:
639:
381:
338:
27:
5828:
1726:{\displaystyle 1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt{|c_{n}|}},}
1248:{\displaystyle C=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt{|a_{n}|}},}
6761:
6014:
2230:{\displaystyle {\sqrt{|a_{n}|}}={\sqrt{|c_{n}(z-p)^{n}|}}<1,}
1733:
taking care that we really mean ∞ if the denominator is 0.
1052:{\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt{|a_{n}|}},}
6930:
5994:
2596:
Now the only other place where convergence is possible is when
6009:
5875:
2705:{\displaystyle {\sqrt{|a_{n}|}}={\sqrt{|c_{n}(z-p)^{n}|}}=1,}
1325:{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt{|a_{n}|}},}
5876:
Whittaker, E. T. & Watson, G. N. (1963). "§ 2.35".
5907:
5831:"A hierarchy of convergence tests related to Cauchy's test"
5677:
2867:{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {2^{i}}{i^{9}}}}
3577:
This example shows how the root test is stronger than the
1558:{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-p)^{n}}
3581:. The ratio test is inconclusive for this series as if
2077:
fails to converge to 0, hence the series is divergent.
1440:
1394:
5410:
5179:
4923:
4671:
4588:
4564:{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\rho _{n}<1}
4528:
4513:{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\rho _{n}>1}
4477:
4240:
4217:
4178:
4081:
4049:
3986:
3958:
3913:
3887:
3836:
3743:
3681:
3661:
3607:
3587:
3370:
3197:
3154:
2947:
2883:
2818:
2724:
2605:
2521:
2421:
2336:
2249:
2130:
2016:
1946:
1898:
1839:
1779:
1664:
1486:
1439:
1393:
1271:
1188:
1134:
1068:
998:
40:
5755:. Translated from the Italian by Warren Van Egmond.
3804:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }|a_{n+1}/a_{n}|}
16:
Criterion for the convergence of an infinite series
5854:
5766:
5683:
5390:
5155:
4903:
4654:
4563:
4512:
4456:
4223:
4203:
4162:{\displaystyle \ln _{(k)}(x)=\ln _{(k-1)}(\ln(x))}
4161:
4067:
4035:
3964:
3944:
3899:
3870:
3803:
3729:
3667:
3647:
3593:
3564:
3348:
3175:
3135:
2929:
2866:
2791:
2704:
2588:
2504:
2400:
2311:
2229:
2056:
1990:
1932:
1881:
1825:
1725:
1654:of the root test applied to a power series is the
1643:such that the series will converge for all points
1557:
1458:
1421:
1324:
1247:
1168:
1081:
1051:
112:
3827:, and more specifically Subsection 4.1.4 there).
6975:
5902:Creative Commons Attribution/Share-Alike License
4530:
4479:
3745:
3484:
3428:
3378:
3072:
3015:
2955:
2885:
2740:
2537:
2453:
2312:{\displaystyle {\sqrt{|c_{n}|}}\cdot |z-p|<1}
1674:
1592:The terms of this series would then be given by
1273:
1196:
1000:
113:{\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}
5880:(fourth ed.). Cambridge University Press.
3819:Root tests hierarchy is built similarly to the
2877:Applying the root test and using the fact that
5838:International Journal of Mathematical Analysis
5764:
2930:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }n^{1/n}=1,}
1469:
5923:
5852:
950:
3243:
3229:
1991:{\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }|a_{n}|}
5170:applied to the right-hand side, we obtain:
2401:{\displaystyle |z-p|<1/{\sqrt{|c_{n}|}}}
1826:{\displaystyle {\sqrt{|a_{n}|}}\leq k<1}
1639:of the largest interval or disc centred at
1117:(1821). Thus, it is sometimes known as the
5930:
5916:
5733:
3871:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
1933:{\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }k^{n}}
1741:The proof of the convergence of a series Σ
1339:and may be used in the root test instead.
1169:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
957:
943:
6958:Regiomontanus' angle maximization problem
5805:
1618:). One then applies the root test to the
1422:{\displaystyle \textstyle \sum 1/{n^{2}}}
73:
6801:
5765:Briggs, William; Cochrane, Lyle (2011).
3359:The root test shows convergence because
1100:
1096:
6306:Differentiating under the integral sign
5784:
4231:is large, can be presented in the form
3814:
1658:: the radius of convergence is exactly
481:Differentiating under the integral sign
6976:
5861:. Dover publications, Inc., New York.
1882:{\displaystyle |a_{n}|\leq k^{n}<1}
6182:Inverse functions and differentiation
5911:
2057:{\displaystyle {\sqrt{|a_{n}|}}>1}
1109:The root test was developed first by
5853:Knopp, Konrad (1956). "§ 3.2".
4573:Otherwise, the test is inconclusive.
4467:(The empty sum is assumed to be 0.)
4036:{\displaystyle \ln _{(1)}(x)=\ln(x)}
1459:{\displaystyle \textstyle \sum 1/n}
1387:= 1 and the series converges, e.g.
13:
5980:Free variables and bound variables
5697:The final result follows from the
5600:
5434:
4674:
4616:
4540:
4489:
3853:
3755:
3494:
3438:
3388:
3214:
3082:
3025:
2965:
2895:
2835:
2750:
2547:
2463:
1963:
1915:
1684:
1518:
1433:= 1 and the series diverges, e.g.
1283:
1206:
1151:
1105:Decision diagram for the root test
1010:
22:Part of a series of articles about
14:
7000:
6785:The Method of Mechanical Theorems
5694:(The empty product is set to 1.)
3730:{\displaystyle a_{n+1}/a_{n}=1/2}
1429:, and there are others for which
1113:who published it in his textbook
6340:Partial fractions in integration
6256:Stochastic differential equation
1383:There are some series for which
6478:Jacobian matrix and determinant
6333:Tangent half-angle substitution
6301:Fundamental theorem of calculus
5785:Abramov, Vyacheslav M. (2022).
5769:Calculus: Early Transcendentals
3648:{\displaystyle a_{n+1}/a_{n}=1}
2412:. This is equivalent to saying
1998:by the comparison test. Hence Σ
6554:Arithmetico-geometric sequence
6246:Ordinary differential equation
5900:, which is licensed under the
5822:
5778:
5758:
5727:
5631:
5617:
5551:
5539:
5531:
5520:
5514:
5476:
5465:
5451:
5355:
5349:
5341:
5335:
5287:
5281:
5273:
5267:
5139:
5133:
5125:
5119:
5068:
5062:
5054:
5048:
4892:
4886:
4878:
4872:
4821:
4815:
4807:
4801:
4537:
4486:
4445:
4439:
4431:
4425:
4374:
4368:
4360:
4354:
4204:{\displaystyle {\sqrt{a_{n}}}}
4156:
4153:
4147:
4138:
4130:
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4107:
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4012:
4006:
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3992:
3939:
3933:
3925:
3919:
3823:hierarchy (see Section 4.1 of
3797:
3761:
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1215:
1203:
1179:the root test uses the number
1034:
1019:
1007:
989:. It depends on the quantity
107:
101:
92:
86:
70:
64:
1:
6377:Integro-differential equation
6251:Partial differential equation
5857:Infinite Sequences and Series
5794:Journal of Classical Analysis
5721:
5699:integral test for convergence
4068:{\displaystyle 2\leq k\leq K}
3945:{\displaystyle \ln _{(K)}(x)}
1474:This test can be used with a
407:Integral of inverse functions
5937:
5740:, Springer-Verlag, pp.
5734:Bottazzini, Umberto (1986),
1262:, possibly +∞. Note that if
1258:where "lim sup" denotes the
7:
6531:Generalized Stokes' theorem
6318:Integration by substitution
5878:A Course in Modern Analysis
5704:
2802:
2408:for all sufficiently large
1470:Application to power series
1342:The root test states that:
830:Calculus on Euclidean space
248:Logarithmic differentiation
10:
7005:
6060:(ε, δ)-definition of limit
4577:
6953:Proof that 22/7 exceeds π
6890:
6868:
6794:
6742:Gottfried Wilhelm Leibniz
6712:
6689:e (mathematical constant)
6674:
6546:
6453:
6385:
6266:
6068:
6023:
5945:
4471:The series converges, if
3176:{\displaystyle C=2>1,}
1750:is an application of the
1335:converges then it equals
564:Summand limit (term test)
6704:Stirling's approximation
6177:Implicit differentiation
6125:Rules of differentiation
4522:The series diverges, if
1736:
243:Implicit differentiation
233:Differentiation notation
160:Inverse function theorem
6938:Euler–Maclaurin formula
6843:trigonometric functions
6296:Constant of integration
3907:be an integer, and let
3900:{\displaystyle K\geq 1}
2083:: For a power series Σ
2007:converges absolutely.
1656:Cauchy–Hadamard theorem
1589:is a complex variable.
1568:where the coefficients
1361:> 1 then the series
1350:< 1 then the series
977:is a criterion for the
706:Helmholtz decomposition
6907:Differential geometry
6752:Infinitesimal calculus
6455:Multivariable calculus
6403:Directional derivative
6209:Second derivative test
6187:Logarithmic derivative
6160:General Leibniz's rule
6055:Order of approximation
5816:10.7153/jca-2022-19-09
5685:
5508:
5392:
5329:
5261:
5234:
5157:
5113:
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4163:
4069:
4037:
3966:
3946:
3901:
3872:
3857:
3805:
3737:, therefore the limit
3731:
3669:
3649:
3595:
3566:
3350:
3218:
3177:
3137:
2931:
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2590:
2506:
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1423:
1377:converge conditionally
1326:
1249:
1170:
1155:
1106:
1083:
1053:
840:Limit of distributions
660:Directional derivative
316:Faà di Bruno's formula
114:
6984:Augustin-Louis Cauchy
6826:logarithmic functions
6821:exponential functions
6737:Generality of algebra
6615:Tests of convergence
6241:Differential equation
6225:Further applications
6214:Extreme value theorem
6204:First derivative test
6098:Differential operator
6070:Differential calculus
5844:(37--40): 1847--1869.
5686:
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5309:
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3183:the series diverges.
3178:
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1633:radius of convergence
1560:
1502:
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1424:
1327:
1250:
1171:
1135:
1123:Cauchy's radical test
1111:Augustin-Louis Cauchy
1104:
1097:Root test explanation
1084:
1082:{\displaystyle a_{n}}
1054:
924:Mathematical analysis
835:Generalized functions
520:arithmetico-geometric
361:Leibniz integral rule
115:
6891:Miscellaneous topics
6831:hyperbolic functions
6816:irrational functions
6694:Exponential function
6547:Sequences and series
6313:Integration by parts
5408:
5177:
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3834:
3815:Root tests hierarchy
3741:
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2064:for infinitely many
2014:
1944:
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1437:
1391:
1352:converges absolutely
1269:
1186:
1132:
1066:
996:
929:Nonstandard analysis
397:Lebesgue integration
267:Rules and identities
38:
6878:List of derivatives
6714:History of calculus
6629:Cauchy condensation
6526:Exterior derivative
6483:Lagrange multiplier
6219:Maximum and minimum
6050:Limit of a sequence
6038:Limit of a function
5985:Graph of a function
5965:Continuous function
5567:
2105: −
600:Cauchy condensation
402:Contour integration
128:Fundamental theorem
55:
6811:rational functions
6778:Method of Fluxions
6624:Alternating series
6521:Differential forms
6503:Partial derivative
6463:Divergence theorem
6345:Quadratic integral
6113:Leibniz's notation
6103:Mean value theorem
6088:Partial derivative
6033:Indeterminate form
5681:
5676:
5534:
5388:
5168:Taylor's expansion
5153:
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3645:
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2467:
2398:
2309:
2227:
2113:such that for all
2081:Proof of corollary
2054:
1988:
1940:converges so does
1930:
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1723:
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1455:
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1014:
772:Partial derivative
701:generalized Stokes
595:Alternating series
476:Reduction formulae
465:Heaviside's method
446:tangent half-angle
433:Cylindrical shells
356:Integral transform
351:Lists of integrals
155:Mean value theorem
110:
41:
6989:Convergence tests
6971:
6970:
6897:Complex calculus
6886:
6885:
6767:Law of Continuity
6699:Natural logarithm
6684:Bernoulli numbers
6675:Special functions
6634:Direct comparison
6498:Multiple integral
6372:Integral equation
6268:Integral calculus
6199:Stationary points
6173:Other techniques
6118:Newton's notation
6083:Second derivative
5975:Finite difference
5773:. Addison Wesley.
5751:978-0-387-96302-0
5716:Convergent series
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4199:
3978:natural logarithm
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3594:{\displaystyle n}
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3553:
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1718:
1673:
1585:and the argument
1577:, and the center
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1272:
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999:
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777:Multiple integral
713:
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617:
616:
584:Direct comparison
555:Convergence tests
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492:
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328:
327:
238:Second derivative
6996:
6901:Contour integral
6799:
6798:
6649:Limit comparison
6558:Types of series
6517:Advanced topics
6508:Surface integral
6352:Trapezoidal rule
6291:Basic properties
6286:Riemann integral
6234:Taylor's theorem
5960:Concave function
5955:Binomial theorem
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3811:does not exist.
3810:
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