22:
1428:
1343:
525:
2239:
2558:
324:
2019:
2030:
3169:
763:
1150:
2686:
1423:
the spins need to change an even number of times so that one arrives at the starting point with the same charge, every vertex of the dual lattice is connected to an even number of lines in the configuration, defining a polygon.
2439:
1794:
1567:
2927:
918:
843:
1664:
520:{\displaystyle Z_{N}(K\equiv \beta J,L\equiv \beta J^{*})=\sum _{\{\sigma \}}\exp \left(K\sum _{\langle ij\rangle _{H}}\sigma _{i}\sigma _{j}+L\sum _{\langle ij\rangle _{V}}\sigma _{i}\sigma _{j}\right).}
1003:
267:
1884:
3424:
2431:
2388:
2234:{\displaystyle Z_{N}(K,L)=(\cosh K\cosh L)^{N}\sum _{\{\sigma \}}\prod _{\langle ij\rangle _{H}}(1+v\sigma _{i}\sigma _{j})\prod _{\langle ij\rangle _{V}}(1+w\sigma _{i}\sigma _{j})}
2745:
1337:
3610:
3460:
1892:
3548:
2719:
2828:
1375:
560:
1403:, a polygon is associated to the lattice by drawing a line on the edge of the dual lattice if the spins separated by the edge are unlike. Since by traversing a vertex of
1401:
1265:
1184:
2787:
1839:
2962:
2306:
2274:
607:
1421:
1204:
161:
3205:
1039:
126:
2340:
1073:
599:
1239:
1066:
227:
3577:
2954:
2848:
313:
290:
200:
2569:
2553:{\displaystyle \sum _{\sigma _{i}=\pm 1}\sigma _{i}^{n}={\begin{cases}0&{\mbox{for }}n{\mbox{ odd}}\\2&{\mbox{for }}n{\mbox{ even}}\end{cases}}}
1672:
1445:
40:
2856:
2563:
shows that only configurations with an even number of lines at each vertex (polygons) will contribute to the partition function, giving
1580:
are the number of horizontal and vertical lines in the polygon, with the factor of 2 arising from the inversion of spin configuration.
1436:
316:
849:
774:
1599:
941:
4090:
3681:
2342:
terms in the expansion. Every term corresponds to a configuration of lines of the lattice, by associating a line connecting
3949:
3931:
3815:
232:
3966:
58:
4150:
1214:
denote the number of unlike neighbours in the vertical and horizontal directions respectively. Then the summand in
3978:
3973:
4145:
3824:
Hucht, Alfred (2021). "The square lattice Ising model on the rectangle III: Hankel and
Toeplitz determinants".
3213:
2393:
3759:
2353:
1852:
3698:
Baxter, Rodney J. (2016). "The bulk, surface and corner free energies of the square lattice Ising model".
2724:
2014:{\displaystyle e^{K\sigma \sigma '}=\cosh K+\sinh K(\sigma \sigma ')=\cosh K(1+\tanh K(\sigma \sigma ')).}
3754:
2793:
1273:
563:
3582:
3432:
3942:
Statistical field theory, Volume 1: From
Brownian motion to renormalization and lattice gauge theory
2492:
36:
3468:
2701:
3164:{\displaystyle -\beta F={\frac {\log(2)}{2}}+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\log \leftd\theta }
2807:
1353:
758:{\displaystyle \beta F\left(K^{*},L^{*}\right)=\beta F\left(K,L\right)+{\frac {1}{2}}\log {\big }}
538:
4155:
3749:
1380:
1244:
1163:
83:
2750:
1802:
2279:
2247:
1145:{\displaystyle {\frac {kT_{\text{c}}}{J}}={\frac {2}{\ln(1+{\sqrt {2}})}}\approx 2.26918531421}
1406:
1189:
146:
3177:
2933:
1011:
105:
72:
4030:(1944), "Crystal statistics. I. A two-dimensional model with an order-disorder transition",
2315:
569:
4129:
4109:
4059:
4039:
4015:
3987:
3891:
3843:
3775:
3691:
1217:
1044:
270:
205:
8:
3668:
3556:
91:
4113:
4043:
3991:
3895:
3847:
3779:
3721:
3907:
3867:
3833:
3733:
3707:
2939:
2833:
2681:{\displaystyle Z_{N}(K,L)=2^{N}(\cosh K\cosh L)^{N}\sum _{P\subset \Lambda }v^{r}w^{s}}
298:
293:
275:
185:
168:
4086:
4003:
3962:
3945:
3927:
3911:
3871:
3859:
3811:
3791:
3725:
3677:
4117:
4047:
3995:
3899:
3851:
3783:
3737:
3717:
3642:
3631:"Crystal Statistics. I. A Two-Dimensional Model with an Order-Disorder Transition"
3630:
4125:
4055:
4011:
3687:
3974:"Correlations and spontaneous magnetization of the two-dimensional Ising model"
3855:
1789:{\displaystyle Z_{N}(K,L)=2e^{N(K+L)}\sum _{P\subset \Lambda _{D}}e^{-2Lr-2Ks}}
1562:{\displaystyle Z_{N}(K,L)=2e^{N(K+L)}\sum _{P\subset \Lambda _{D}}e^{-2Lr-2Ks}}
141:
3787:
171:
in both the horizontal and vertical directions, which effectively reduces the
4139:
4007:
3863:
3795:
3729:
3664:
87:
4121:
4066:
4051:
4027:
4019:
3803:
3646:
95:
4100:(1952), "The spontaneous magnetization of a two-dimensional Ising model",
3879:
3745:
2922:{\displaystyle k={\frac {1}{\sinh \left(2K\right)\sinh \left(2L\right)}}}
137:
90:. The model is notable for having nontrivial interactions, yet having an
78:
3207:, from the above expression one finds for the internal energy per site:
4097:
3903:
3999:
3838:
3766:
BRUSH, STEPHEN G. (1967-10-01). "History of the Lenz-Ising Model".
3712:
180:
172:
2433:
is chosen in the product. Summing over the configurations, using
913:{\displaystyle \sinh \left(2L^{*}\right)\sinh \left(2K\right)=1}
838:{\displaystyle \sinh \left(2K^{*}\right)\sinh \left(2L\right)=1}
3972:
Montroll, Elliott W.; Potts, Renfrey B.; Ward, John C. (1963),
1427:
2691:
where the sum is over all polygons in the lattice. Since tanh
1342:
1659:{\displaystyle T\rightarrow 0,\ \ e^{-K},e^{-L}\rightarrow 0}
1041:, one finds the famous relation for the critical temperature
176:
998:{\displaystyle \sinh \left(2K\right)\sinh \left(2L\right)=1}
3923:
2546:
935:
plane, the duality relation implies that this is given by:
2537:
2527:
2511:
2501:
236:
98:
for the special case that the external magnetic field
3961:. Harvard University Press, Cambridge Massachusetts,
3585:
3559:
3471:
3435:
3216:
3180:
2965:
2942:
2859:
2836:
2810:
2753:
2727:
2704:
2572:
2442:
2396:
2356:
2318:
2282:
2250:
2033:
1895:
1855:
1805:
1675:
1602:
1572:
summing over all polygons in the dual lattice, where
1448:
1409:
1383:
1356:
1276:
1247:
1220:
1192:
1166:
1076:
1047:
1014:
944:
923:
Assuming that there is only one critical line in the
852:
777:
610:
572:
541:
327:
301:
278:
235:
208:
188:
149:
108:
102:= 0. An analytical solution for the general case for
3882:(1925), "Beitrag zur Theorie des Ferromagnetismus",
2312:
horizontal and vertical edges, there are a total of
1377:
as depicted in the diagram. For every configuration
31:
may be too technical for most readers to understand
3826:Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical
3700:Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical
3604:
3571:
3542:
3454:
3418:
3199:
3163:
2948:
2921:
2842:
2822:
2781:
2739:
2713:
2680:
2552:
2425:
2382:
2334:
2300:
2268:
2233:
2013:
1878:
1833:
1788:
1658:
1561:
1415:
1395:
1369:
1331:
1259:
1233:
1198:
1178:
1144:
1060:
1033:
997:
912:
837:
757:
593:
554:
519:
307:
284:
261:
221:
194:
155:
131:
120:
3971:
262:{\displaystyle \textstyle \beta ={\frac {1}{kT}}}
4137:
3940:Itzykson, Claude; Drouffe, Jean-Michel (1989),
3939:
3918:Itzykson, Claude; Drouffe, Jean-Michel (1989),
3917:
3774:(4). American Physical Society (APS): 883–893.
2747:, this gives the high temperature expansion of
566:relation. Denoting the free energy per site as
3670:Exactly solved models in statistical mechanics
1844:
750:
699:
2792:The two expansions can be related using the
2185:
2175:
2124:
2114:
2104:
2098:
1583:
1390:
1384:
1254:
1248:
1173:
1167:
478:
468:
426:
416:
392:
386:
3744:
3429:and the spontaneous magnetization is, for
2830:is given as follows. Define the parameter
3837:
3711:
59:Learn how and when to remove this message
43:, without removing the technical details.
3920:Théorie statistique des champs, Volume 1
3419:{\displaystyle U=-J\coth(2\beta J)\left}
2426:{\displaystyle w\sigma _{i}\sigma _{j})}
1426:
1341:
4065:
4026:
3957:Barry M. McCoy and Tai Tsun Wu (1973),
3628:
2383:{\displaystyle v\sigma _{i}\sigma _{j}}
1799:defines a low temperature expansion of
530:
4138:
3697:
3663:
2804:The free energy per site in the limit
3878:
3823:
3802:
3765:
1879:{\displaystyle \sigma \sigma '=\pm 1}
41:make it understandable to non-experts
4096:
2740:{\displaystyle T\rightarrow \infty }
1431:Spin configuration on a dual lattice
15:
3808:Statistical mechanics (2nd edition)
1332:{\displaystyle e^{K(N-2s)+L(N-2r)}}
13:
3605:{\displaystyle T\geq T_{\text{c}}}
2817:
2734:
2653:
1744:
1517:
1410:
1358:
1193:
1160:Consider a configuration of spins
150:
14:
4167:
3455:{\displaystyle T<T_{\text{c}}}
2799:
3676:, London: Academic Press Inc. ,
20:
3979:Journal of Mathematical Physics
3959:The Two-Dimensional Ising Model
1155:
132:Defining the partition function
77:two-dimensional square lattice
3944:, Cambridge University Press,
3832:(37). IOP Publishing: 375201.
3622:
3518:
3506:
3399:
3393:
3368:
3355:
3311:
3302:
3290:
3271:
3247:
3235:
3145:
3136:
2993:
2987:
2814:
2776:
2764:
2731:
2705:
2633:
2611:
2595:
2583:
2420:
2228:
2196:
2167:
2135:
2084:
2062:
2056:
2044:
2005:
2002:
1988:
1970:
1955:
1941:
1828:
1816:
1727:
1715:
1698:
1686:
1650:
1606:
1596:approach infinity, so that as
1500:
1488:
1471:
1459:
1324:
1309:
1300:
1285:
1130:
1114:
588:
576:
375:
338:
1:
3722:10.1088/1751-8113/50/1/014001
3706:(1). IOP Publishing: 014001.
3657:
3543:{\displaystyle M=\left^{1/8}}
2714:{\displaystyle \rightarrow 0}
4071:Supplemento al Nuovo Cimento
3629:Onsager, Lars (1944-02-01).
2823:{\displaystyle N\to \infty }
1370:{\displaystyle \Lambda _{D}}
555:{\displaystyle T_{\text{c}}}
179:. Generally, the horizontal
7:
3755:Encyclopedia of Mathematics
1396:{\displaystyle \{\sigma \}}
1260:{\displaystyle \{\sigma \}}
1179:{\displaystyle \{\sigma \}}
10:
4172:
3926:), EDP Sciences Editions,
2782:{\displaystyle Z_{N}(K,L)}
1845:High-temperature expansion
1834:{\displaystyle Z_{N}(K,L)}
202:and the vertical coupling
94:. The model was solved by
4083:Planar Ising Correlations
3788:10.1103/revmodphys.39.883
3768:Reviews of Modern Physics
2301:{\displaystyle w=\tanh L}
2269:{\displaystyle v=\tanh K}
1584:Low-temperature expansion
1350:Construct a dual lattice
562:can be obtained from the
535:The critical temperature
3856:10.1088/1751-8121/ac0983
3615:
1416:{\displaystyle \Lambda }
1199:{\displaystyle \Lambda }
156:{\displaystyle \Lambda }
4151:Exactly solvable models
3200:{\displaystyle J=J^{*}}
3174:For the isotropic case
2794:Kramers–Wannier duality
1034:{\displaystyle J=J^{*}}
1008:For the isotropic case
564:Kramers–Wannier duality
121:{\displaystyle H\neq 0}
4122:10.1103/PhysRev.85.808
4085:. Birkhäuser, Boston,
4069:(1949), "Discussion",
4052:10.1103/PhysRev.65.117
3647:10.1103/PhysRev.65.117
3606:
3573:
3544:
3456:
3420:
3201:
3165:
2950:
2923:
2844:
2824:
2783:
2741:
2715:
2682:
2554:
2427:
2384:
2336:
2335:{\displaystyle 2^{2N}}
2302:
2270:
2235:
2015:
1880:
1835:
1790:
1660:
1563:
1432:
1417:
1397:
1371:
1347:
1333:
1261:
1235:
1200:
1186:on the square lattice
1180:
1146:
1062:
1035:
999:
914:
839:
759:
595:
594:{\displaystyle F(K,L)}
556:
521:
309:
286:
263:
223:
196:
157:
122:
4146:Statistical mechanics
3607:
3574:
3545:
3457:
3421:
3202:
3166:
2951:
2934:Helmholtz free energy
2924:
2845:
2825:
2784:
2742:
2716:
2683:
2555:
2428:
2385:
2337:
2303:
2271:
2236:
2016:
1881:
1836:
1791:
1661:
1588:At low temperatures,
1564:
1430:
1418:
1398:
1372:
1345:
1334:
1262:
1236:
1234:{\displaystyle Z_{N}}
1201:
1181:
1147:
1063:
1061:{\displaystyle T_{c}}
1036:
1000:
915:
840:
760:
596:
557:
522:
310:
287:
264:
224:
222:{\displaystyle J^{*}}
197:
158:
128:has yet to be found.
123:
73:statistical mechanics
4081:John Palmer (2007),
3583:
3557:
3469:
3433:
3214:
3178:
2963:
2956:can be expressed as
2940:
2857:
2834:
2808:
2751:
2725:
2702:
2570:
2440:
2394:
2354:
2316:
2280:
2248:
2031:
1893:
1853:
1803:
1673:
1600:
1446:
1407:
1381:
1354:
1274:
1245:
1218:
1190:
1164:
1074:
1045:
1012:
942:
850:
775:
608:
570:
539:
531:Critical temperature
325:
299:
276:
271:absolute temperature
233:
229:are not equal. With
206:
186:
147:
106:
4114:1952PhRv...85..808Y
4044:1944PhRv...65..117O
3992:1963JMP.....4..308M
3922:, Savoirs actuels (
3896:1925ZPhy...31..253I
3848:2021JPhA...54K5201H
3780:1967RvMP...39..883B
3572:{\displaystyle M=0}
3336:
3034:
2483:
169:boundary conditions
167:sites and periodic
92:analytical solution
3904:10.1007/BF02980577
3602:
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