130:
138:
5838:
33:
5848:
3133:
2696:
2128:
3874:
336:
The degree of symmetry, in the sense of mirror symmetry, can be evaluated quantitatively for multivariate distributions with the chiral index, which takes values in the interval , and which is null if and only if the distribution is mirror symmetric. Thus, a d-variate distribution is defined to be
1568:
3387:
2312:
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to
Restbase.") from server "http://localhost:6011/en.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \frac{\beta}{2\alpha\Gamma(1/\beta)} \;
3532:
2903:
2268:
2541:
1703:
337:
mirror symmetric when its chiral index is null. The distribution can be discrete or continuous, and the existence of a density is not required, but the inertia must be finite and non null. In the univariate case, this index was proposed as a non parametric test of symmetry.
1915:
3706:
1047:
4139:
2890:
774:
1406:
4002:
3719:
2421:
4253:
1264:
2537:
499:
1419:
3212:
3225:
177:
of the distribution. Thus the probability of being any given distance on one side of the value about which symmetry occurs is the same as the probability of being the same distance on the other side of that value.
3400:
3128:{\displaystyle {\begin{aligned}f(x;0,1)&={\frac {e^{-x}}{(1+e^{-x})^{2}}}\\&={\frac {1}{(e^{x/2}+e^{-x/2})^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right).\end{aligned}}}
4344:
2908:
1902:
1799:
2691:{\displaystyle ={\frac {1}{2b}}\left\{{\begin{matrix}\exp \left(-{\frac {\mu -x}{b}}\right)&{\text{if }}x<\mu \\\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\text{if }}x\geq \mu \end{matrix}}\right.}
2142:
2123:{\displaystyle s_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu \\{\frac {1}{c(q)}}E_{q^{2}}^{\frac {-q^{2}x^{2}}{_{q}}}&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\0&{\mbox{if }}x>\nu .\end{cases}}}
1581:
845:
3545:
288:
860:
2709:
667:
1277:
4015:
362:
3869:{\displaystyle f(t)={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{\!-{\frac {\nu +1}{2}}},\!}
2295:
3887:
311:
2351:
2333:
615:
588:
543:
215:
4152:
1060:
2434:
364:
denote the class of spherically symmetric distributions of the absolutely continuous type in the n-dimensional
Euclidean space having joint density of the form
4398:
Petitjean, M (2020). "Tables of
Quantiles of the Distribution of the Empirical Chiral Index in the Case of the Uniform Law and in the Case of the Normal Law".
133:
Symmetric distribution for continuous probability distribution, specifically standard normal distribution, showcasing its perfect symmetry about the mean (0).
563:
of a symmetric distribution equal zero (if they exist), because in the calculation of such moments the negative terms arising from negative deviations from
4496:
367:
50:
1563:{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&\mathrm {for} \ a\leq x\leq b,\\0&\mathrm {for} \ x<a\ \mathrm {or} \ x>b\end{cases}}}
3382:{\displaystyle f(x;\mu ,k,\theta )\propto \exp {\left({\frac {(x-\mu )^{2}}{4\theta ^{2}}}\right)}D_{-2k-1}\left({\frac {|x-\mu |}{\theta }}\right)}
3146:
97:
644:
The following distributions are symmetric for all parametrizations. (Many other distributions are symmetric for a particular parametrization.)
69:
3527:{\displaystyle f(k)=\left\{{\begin{matrix}1/2&{\mbox{if }}k=-1,\\1/2&{\mbox{if }}k=+1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{matrix}}\right.}
76:
5872:
4625:
2298:
634:
5851:
5108:
4266:
2263:{\displaystyle {\frac {\gamma }{2\alpha \delta K_{1}(\delta \gamma )}}\;e^{-\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}+\beta (x-\mu )}}
5016:
1716:
1698:{\displaystyle F_{k_{0}}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if }}x\geq k_{0}\\0,&{\mbox{if }}x<k_{0}\end{matrix}}\right.}
83:
5803:
1812:
5669:
4881:
4640:
4489:
5564:
5328:
65:
17:
5002:
4463:
3701:{\displaystyle f(x;\mu ,s)={\frac {1}{2s}}\left\,={\frac {1}{s}}\operatorname {hvc} \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\,}
3218:
784:
5323:
5267:
5165:
4927:
4565:
5609:
5343:
5196:
4871:
4615:
5073:
1042:{\displaystyle f_{X}(x;n)={\frac {n}{2(n-1)!}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(nx-k)^{n-1}\operatorname {sgn}(nx-k)}
141:
A symmetric discrete distribution, specifically a binomial distribution with 10 trials and a success probability of 0.5.
5841:
5513:
5489:
5068:
4482:
501:
inside a sphere with center at the origin with a prescribed radius which may be finite or infinite and zero elsewhere.
223:
2885:{\displaystyle f_{X}(x;n)={\frac {1}{2(n-1)!}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(x-k)^{n-1}\operatorname {sgn}(x-k)}
5710:
5587:
5548:
5520:
5494:
5412:
5338:
4761:
4509:
116:
5698:
5664:
5530:
5525:
5370:
5178:
4876:
4630:
769:{\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)={\frac {\arcsin(2x-1)}{\pi }}+{\frac {1}{2}}}
4419:
Ali, Mir M. (1980). "Characterization of the Normal
Distribution Among the Continuous Symmetric Spherical Class".
5448:
5361:
5333:
5242:
5191:
5063:
4846:
4811:
2306:
1412:
129:
90:
5462:
5379:
5216:
5140:
4963:
4841:
4816:
4680:
4675:
4670:
4259:
2344:
54:
5778:
5644:
5352:
5201:
5133:
5118:
5011:
4985:
4917:
4756:
4650:
4645:
4587:
4572:
1709:
5614:
5604:
5295:
5221:
4922:
4781:
158:
5674:
137:
5659:
5654:
5599:
5535:
5479:
5300:
5287:
5078:
5023:
4975:
4766:
4695:
4560:
2702:
1443:
1401:{\displaystyle f(y;\alpha ,\lambda ,y_{0})={\frac {n}{\cosh+\lambda }},\qquad -\infty <y<\infty ,}
5793:
5569:
5388:
5170:
5123:
4992:
4968:
4948:
4791:
4665:
4545:
4134:{\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )\equiv \int _{-\infty }^{\infty }G(x';\sigma )L(x-x';\gamma )\,dx',}
3538:
4365:
5798:
5582:
5543:
5417:
5254:
5098:
5043:
4941:
4905:
4776:
4741:
3712:
1270:
162:
1946:
343:
5484:
5272:
5038:
4997:
4912:
4866:
4806:
4771:
4660:
4555:
4505:
3880:
166:
154:
3997:{\displaystyle f(x|a,b,\alpha ,\beta )=\alpha \left(x-\beta \right)^{2},\quad {\text{for }}x\in .}
2273:
5783:
5725:
5396:
5183:
5093:
5048:
5033:
4851:
4801:
4796:
4597:
4577:
3393:
2134:
1908:
1805:
1574:
321:
43:
4953:
2416:{\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}\;\operatorname {sech} \!\left({\frac {\pi }{2}}\,x\right)\!,}
5649:
5637:
5626:
5508:
5404:
5211:
4655:
4635:
4540:
4145:
174:
293:
5773:
5730:
5574:
5249:
5103:
5083:
4980:
4550:
2896:
2318:
549:
325:
4248:{\displaystyle f(x\mid \mu ,\kappa )={\frac {e^{\kappa \cos(x-\mu )}}{2\pi I_{0}(\kappa )}}}
1259:{\displaystyle f(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi \gamma \left}}={1 \over \pi \gamma }\left,}
5823:
5818:
5813:
5808:
5745:
5715:
5594:
5237:
5128:
4731:
4690:
4685:
4582:
2532:{\displaystyle f(x\mid \mu ,b)={\frac {1}{2b}}\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\,\!}
2427:
660:
593:
566:
521:
193:
5028:
8:
5757:
5282:
5262:
5232:
5206:
5160:
5088:
4900:
4836:
3139:
1053:
5788:
5277:
5058:
5053:
4958:
4895:
4890:
4746:
4736:
4620:
4436:
4432:
4399:
853:
5686:
5113:
4856:
4786:
4751:
4700:
4459:
553:
157:—an assignment of probabilities to possible occurrences—which is unchanged when its
4861:
4535:
4474:
4428:
4380:
494:{\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=g(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots +x_{n}^{2})}
340:
For continuous symmetric spherical, Mir M. Ali gave the following definition. Let
170:
4934:
2336:
590:
exactly balance the positive terms arising from equal positive deviations from
560:
187:
4456:
A Modern
Introduction to Probability and Statistics: Understanding Why and How
5866:
5557:
5305:
4592:
4008:
3207:{\displaystyle \varphi (x)={\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}}
4440:
146:
4384:
32:
4454:
Dekking, F.M.; Kraaikamp, C.; Lopuhaä, H.P.; Meester, L.E. (2005).
4421:
Journal of the Royal
Statistical Society. Series B (Methodological)
4404:
621:
518:(if it exists) of a symmetric distribution both occur at the point
173:
represented by the distribution. This vertical line is the line of
4339:{\displaystyle f(x)={2 \over \pi R^{2}}{\sqrt {R^{2}-x^{2}\,}}\,}
635:
Chebychev's inequality § Unimodal symmetrical distributions
1794:{\displaystyle F(k;a,b)={\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1}}}
511:
4453:
2568:
1897:{\displaystyle f(x)=k\cdot g((x-\mu )'\Sigma ^{-1}(x-\mu ))}
3521:
2685:
2116:
1692:
1556:
515:
320:
is the probability density function if the distribution is
324:
or the probability mass function if the distribution is
3511:
3480:
3441:
3424:
2095:
1666:
1631:
1619:
840:{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}}
4269:
4155:
4018:
3890:
3722:
3548:
3403:
3228:
3149:
2906:
2712:
2544:
2437:
2354:
2321:
2276:
2145:
1918:
1815:
1719:
1584:
1422:
1280:
1063:
863:
787:
670:
596:
569:
524:
370:
346:
296:
226:
196:
4504:
186:A probability distribution is said to be symmetric
57:. Unsourced material may be challenged and removed.
4338:
4247:
4133:
3996:
3868:
3700:
3526:
3381:
3206:
3127:
2884:
2690:
2531:
2415:
2327:
2289:
2262:
2122:
1896:
1793:
1697:
1562:
1400:
1258:
1041:
839:
768:
609:
582:
537:
493:
356:
305:
282:
209:
3865:
3838:
2827:
2814:
2528:
2409:
2384:
978:
965:
283:{\displaystyle f(x_{0}-\delta )=f(x_{0}+\delta )}
5864:
4490:
4363:
331:
161:(for continuous probability distribution) or
4397:
1756:
1750:
169:around a vertical line at some value of the
2299:modified Bessel function of the second kind
639:
4497:
4483:
2380:
2186:
4403:
4335:
4332:
4116:
3780:
3697:
3688:
3645:
3631:
2527:
2400:
624:equals zero for a symmetric distribution.
117:Learn how and when to remove this message
136:
128:
2137:with asymmetry parameter equal to zero
14:
5865:
4458:. Springer-Verlag London. p. 68.
4478:
3219:Normal-exponential-gamma distribution
5847:
181:
66:"Symmetric probability distribution"
55:adding citations to reliable sources
26:
4418:
556:coincides with the median and mean.
165:(for discrete random variables) is
24:
5873:Types of probability distributions
4433:10.1111/j.2517-6161.1980.tb01113.x
4059:
4054:
3781:
3741:
2818:
2322:
1864:
1537:
1534:
1514:
1511:
1508:
1473:
1470:
1467:
1392:
1380:
969:
349:
151:symmetric probability distribution
25:
5884:
5846:
5837:
5836:
628:
545:about which the symmetry occurs.
31:
4373:Journal of Mathematical Physics
3964:
2307:Generalized normal distribution
1413:Continuous uniform distribution
1376:
548:If a symmetric distribution is
42:needs additional citations for
4447:
4412:
4391:
4357:
4279:
4273:
4260:Wigner semicircle distribution
4239:
4233:
4211:
4199:
4177:
4159:
4113:
4090:
4084:
4067:
4040:
4022:
3988:
3976:
3926:
3901:
3894:
3797:
3784:
3765:
3744:
3732:
3726:
3570:
3552:
3413:
3407:
3365:
3351:
3289:
3276:
3256:
3232:
3159:
3153:
3055:
3009:
2981:
2958:
2932:
2914:
2879:
2867:
2846:
2833:
2802:
2792:
2762:
2750:
2735:
2723:
2512:
2498:
2459:
2441:
2364:
2358:
2345:Hyperbolic secant distribution
2255:
2243:
2226:
2213:
2180:
2171:
2047:
2040:
1990:
1984:
1935:
1929:
1891:
1888:
1876:
1856:
1843:
1840:
1825:
1819:
1741:
1723:
1608:
1602:
1432:
1426:
1361:
1358:
1339:
1333:
1315:
1284:
1224:
1204:
1092:
1067:
1036:
1021:
1000:
984:
953:
943:
913:
901:
886:
874:
829:
817:
797:
791:
744:
729:
680:
674:
488:
428:
419:
374:
357:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
277:
258:
249:
230:
13:
1:
4351:
1710:Discrete uniform distribution
504:
2313:e^{-(|x-\mu|/\alpha)^\beta}}
2290:{\displaystyle K_{\lambda }}
159:probability density function
7:
10:
5889:
5670:Wrapped asymmetric Laplace
4641:Extended negative binomial
3539:Raised cosine distribution
632:
332:Multivariate distributions
5832:
5766:
5724:
5625:
5461:
5439:
5430:
5329:Generalized extreme value
5314:
5149:
5109:Relativistic Breit–Wigner
4825:
4722:
4713:
4606:
4526:
4517:
4506:Probability distributions
1271:Champernowne distribution
163:probability mass function
3881:U-quadratic distribution
640:Partial list of examples
306:{\displaystyle \delta ,}
155:probability distribution
5324:Generalized chi-squared
5268:Normal-inverse Gaussian
3394:Rademacher distribution
2703:Irwin-Hall distribution
2328:{\displaystyle \Gamma }
2135:Hyperbolic distribution
1909:Gaussian q-distribution
1806:Elliptical distribution
1575:Degenerate distribution
5636:Univariate (circular)
5197:Generalized hyperbolic
4626:Conway–Maxwell–Poisson
4616:Beta negative binomial
4364:Petitjean, M. (2002).
4340:
4249:
4146:von Mises distribution
4135:
3998:
3870:
3713:Student's distribution
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