17161:
16379:
17156:{\displaystyle {\begin{aligned}P_{3}({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+{}&{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}({\boldsymbol {a}})v_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}})v_{2}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}})v_{1}v_{2}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{2}^{2}}{2!}}\\&+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}^{3}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{3}}{3!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{2}v_{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}^{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}v_{2}^{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{2}^{3}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{2}^{3}}{3!}}\end{aligned}}}
16084:
12431:
18560:
27261:
15695:
11909:
2025:
26781:
15531:
27248:
17954:
23664:
26456:
15264:
31:
13525:
1210:
16079:{\displaystyle {\begin{aligned}&f({\boldsymbol {x}})=\sum _{|\alpha |\leq k}{\frac {D^{\alpha }f({\boldsymbol {a}})}{\alpha !}}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }+\sum _{|\beta |=k+1}R_{\beta }({\boldsymbol {x}})({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\beta },\\&R_{\beta }({\boldsymbol {x}})={\frac {|\beta |}{\beta !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{|\beta |-1}D^{\beta }f{\big (}{\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}){\big )}\,dt.\end{aligned}}}
24895:
26913:
12426:{\displaystyle {\begin{aligned}T_{f}(z)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(z-c)^{k}}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-c)^{k+1}}}\,dw\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-c}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {z-c}{w-c}}\right)^{k}\,dw\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-c}}\left({\frac {1}{1-{\frac {z-c}{w-c}}}}\right)\,dw\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw=f(z),\end{aligned}}}
25765:
18555:{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-P(x)}{(x-a)^{k}}}&=\lim _{x\to a}{\frac {{\frac {d}{dx}}(f(x)-P(x))}{{\frac {d}{dx}}(x-a)^{k}}}\\&=\cdots \\&=\lim _{x\to a}{\frac {{\frac {d^{k-1}}{dx^{k-1}}}(f(x)-P(x))}{{\frac {d^{k-1}}{dx^{k-1}}}(x-a)^{k}}}\\&={\frac {1}{k!}}\lim _{x\to a}{\frac {f^{(k-1)}(x)-P^{(k-1)}(x)}{x-a}}\\&={\frac {1}{k!}}(f^{(k)}(a)-P^{(k)}(a))=0\end{aligned}}}
23152:
11340:
26776:{\displaystyle {\begin{aligned}g^{(j)}(t)&={\frac {d^{j}}{dt^{j}}}f({\boldsymbol {u}}(t))\\&={\frac {d^{j}}{dt^{j}}}f({\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}))\\&=\sum _{|\alpha |=j}\left({\begin{matrix}j\\\alpha \end{matrix}}\right)(D^{\alpha }f)({\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}))({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }\end{aligned}}}
15526:{\displaystyle {\begin{aligned}&f({\boldsymbol {x}})=\sum _{|\alpha |\leq k}{\frac {D^{\alpha }f({\boldsymbol {a}})}{\alpha !}}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }+\sum _{|\alpha |=k}h_{\alpha }({\boldsymbol {x}})({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha },\\&{\mbox{and}}\quad \lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}h_{\alpha }({\boldsymbol {x}})=0.\end{aligned}}}
14435:
13515:
27243:{\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+\sum _{1\leq |\alpha |\leq k}{\frac {1}{\alpha !}}(D^{\alpha }f)({\boldsymbol {a}})({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }+\sum _{|\alpha |=k+1}{\frac {k+1}{\alpha !}}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }\int _{0}^{1}(1-t)^{k}(D^{\alpha }f)({\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}))\,dt.}
25213:
13127:
16284:
20851:
24456:
11018:
14685:
14287:
14862:
13195:
23659:{\displaystyle {\begin{aligned}F'(t)={}&f'(t)+{\big (}f''(t)(x-t)-f'(t){\big )}+\left({\frac {f^{(3)}(t)}{2!}}(x-t)^{2}-{\frac {f^{(2)}(t)}{1!}}(x-t)\right)+\cdots \\&\cdots +\left({\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}-{\frac {f^{(k)}(t)}{(k-1)!}}(x-t)^{k-1}\right)={\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k},\end{aligned}}}
21647:
10491:
19482:
10310:
12818:
11625:
9574:
19223:
25190:
2781:
15090:
25760:{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{x}{\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}\,dt=&-\left_{a}^{x}+\int _{a}^{x}{\frac {f^{(k+2)}(t)}{(k+1)k!}}(x-t)^{k+1}\,dt\\=&\ {\frac {f^{(k+1)}(a)}{(k+1)!}}(x-a)^{k+1}+\int _{a}^{x}{\frac {f^{(k+2)}(t)}{(k+1)!}}(x-t)^{k+1}\,dt.\end{aligned}}}
16117:
26443:
13976:
3781:
20214:
8217:
6695:
20521:
22340:
22141:
10664:
8471:
19659:
14534:
14697:
7399:
4088:
21242:
22795:
17527:
13854:
to illustrate the fact that some elementary functions cannot be approximated by Taylor polynomials in neighborhoods of the center of expansion which are too large. This kind of behavior is easily understood in the framework of complex analysis. Namely, the function
21398:
24890:{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f(a)+{\Big (}xf'(x)-af'(a){\Big )}-\int _{a}^{x}tf''(t)\,dt\\&=f(a)+x\left(f'(a)+\int _{a}^{x}f''(t)\,dt\right)-af'(a)-\int _{a}^{x}tf''(t)\,dt\\&=f(a)+(x-a)f'(a)+\int _{a}^{x}\,(x-t)f''(t)\,dt,\end{aligned}}}
8794:
13842:
10360:
7922:
21942:
11335:{\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw,\quad f'(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-z)^{2}}}\,dw,\quad \ldots ,\quad f^{(k)}(z)={\frac {k!}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-z)^{k+1}}}\,dw.}
18853:
10128:
8097:
17315:
12691:
9860:
7780:
23835:
15643:
11384:
7013:
14430:{\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+L({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})+h({\boldsymbol {x}})\lVert {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}\rVert ,\qquad \lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}h({\boldsymbol {x}})=0.}
5585:
5200:
9385:
9394:
20617:
13510:{\displaystyle |R_{k}(z)|\leq \sum _{j=k+1}^{\infty }{\frac {M_{r}|z-c|^{j}}{r^{j}}}={\frac {M_{r}}{r^{k+1}}}{\frac {|z-c|^{k+1}}{1-{\frac {|z-c|}{r}}}}\leq {\frac {M_{r}\beta ^{k+1}}{1-\beta }},\qquad {\frac {|z-c|}{r}}\leq \beta <1.}
6335:
26160:
14955:
9207:
6632:
18965:
26222:
13867:
1574:
19232:
22968:
2343:
8106:
17959:
22150:
21951:
11796:
4931:
2575:
5995:
26906:
10512:
8886:
8288:
4277:
24070:
20035:
13122:{\displaystyle R_{k}(z)=\sum _{j=k+1}^{\infty }{\frac {(z-c)^{j}}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-c)^{j+1}}}\,dw={\frac {(z-c)^{k+1}}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)\,dw}{(w-c)^{k+1}(w-z)}},\qquad z\in W.}
3117:. However, there are functions, even infinitely differentiable ones, for which increasing the degree of the approximating polynomial does not increase the accuracy of approximation: we say such a function fails to be
24937:
4715:
20345:
22494:
7221:
3534:
21389:
19488:
16372:
10052:
21046:
18916:
16279:{\displaystyle \left|R_{\beta }({\boldsymbol {x}})\right|\leq {\frac {1}{\beta !}}\max _{|\alpha |=|\beta |}\max _{{\boldsymbol {y}}\in B}|D^{\alpha }f({\boldsymbol {y}})|,\qquad {\boldsymbol {x}}\in B.}
9399:
21055:
8600:
3256:. In that situation one may have to select several Taylor polynomials with different centers of expansion to have reliable Taylor-approximations of the original function (see animation on the right.)
2699:
24443:
13757:
7793:
3881:
21767:
14203:
1907:
170:
22592:
17324:
26461:
25218:
24461:
23157:
22155:
21956:
21403:
20622:
20350:
20040:
19493:
19237:
18970:
18864:
18720:
16384:
15700:
15269:
13872:
13762:
11914:
10365:
10133:
4477:
25920:
16334:
18715:
7943:
23839:
This is the form of the remainder term mentioned after the actual statement of Taylor's theorem with remainder in the mean value form. The
Lagrange form of the remainder is found by choosing
17180:
2138:
12512:
9698:
7655:
9018:
1664:
26215:
14680:{\displaystyle df({\boldsymbol {a}})({\boldsymbol {v}})={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}({\boldsymbol {a}})v_{1}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}({\boldsymbol {a}})v_{n}.}
5042:
9216:
3045:
17589:
14857:{\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n},\quad \alpha !=\alpha _{1}!\cdots \alpha _{n}!,\quad {\boldsymbol {x}}^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}
3839:
6168:
23679:
10721:
4371:
3248:
for the approximation error in a small neighborhood of the center of expansion, but the estimates do not necessarily hold for neighborhoods which are too large, even if the function
2841:
26824:
13583:
12702:
is complex analytic. Methods of complex analysis provide some powerful results regarding Taylor expansions. For example, using Cauchy's integral formula for any positively oriented
6181:
5432:
21760:
17721:
19945:
14477:
6423:
2019:
9064:
6481:
3240:
of the center of expansion, but for this purpose there are explicit formulas for the remainder term (given below) which are valid under some additional regularity assumptions on
20905:
26096:
26074:
26052:
26030:
25988:
21642:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {F(x)}{G(x)}}={\frac {f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}{(x-a)^{n}}}={\frac {F^{(n)}(c)}{G^{(n)}(c)}}\end{aligned}}}
1968:
23897:
20256:
13188:
12752:
8502:
5711:
23110:
13746:
13714:
13662:
20568:
20028:
13630:
7616:
3873:
14149:
7084:
15567:
15257:
11887:
11846:
6905:
20338:
19782:
7648:
6897:
while ensuring that the error in the approximation is no more than 10. In this example we pretend that we only know the following properties of the exponential function:
6080:
It is often useful in practice to be able to estimate the remainder term appearing in the Taylor approximation, rather than having an exact formula for it. Suppose that
2906:
19983:
17651:
10486:{\displaystyle {\begin{aligned}&f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \\&f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}&x>0\\0&x\leq 0.\end{cases}}\end{aligned}}}
6788:
27755:
24220:
21688:
20610:
7152:
3107:
2767:
1418:
1304:
23938:
17783:
8281:
7468:
5752:
24292:
24137:
22375:
21277:
17877:
in a neighborhood of said point (this is true, because differentiability requires a function to be defined in a whole neighborhood of a point), the numerator and its
13155:
12778:
6860:
2068:
1745:
1253:
27822:
15669:
11680:
8252:
6474:
5036:
4801:
2993:
2440:
27964:
27914:
27866:
27787:
24247:
22835:
20967:
20932:
20288:
19900:
19868:
19841:
19718:
19691:
11011:
9644:
6750:
5869:
5227:
4960:
4744:
2728:
26101:
18625:
13682:
12723:
10305:{\displaystyle {\begin{aligned}&T_{f}:(a-r,a+r)\to \mathbb {R} \\&T_{f}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}\left(x-a\right)^{k}\end{aligned}}}
8810:
5814:
65:
25946:
25849:
25823:
24923:
23145:
17809:
10747:
3234:
1784:
7509:
6723:
5313:
4146:
3153:
2868:
26008:
25966:
25869:
25797:
23951:
23004:
14033:
7421:
5607:
3443:
3368:
3305:
2374:
2197:
1695:
1366:
28016:
19814:
19750:
18588:
17947:
17901:
17875:
17747:
14004:
7576:
7544:
6814:
5377:
5339:
4589:
2958:
2932:
2433:
2400:
2164:
1396:
1330:
11620:{\displaystyle |f^{(k)}(z)|\leq {\frac {k!}{2\pi }}\int _{\gamma }{\frac {M_{r}}{|w-z|^{k+1}}}\,dw={\frac {k!M_{r}}{r^{k}}},\quad M_{r}=\max _{|w-c|=r}|f(w)|}
27690:
27670:
27631:
27611:
27576:
27556:
27516:
27496:
24344:
24324:
24181:
24161:
23044:
23024:
22585:
22565:
22545:
22525:
18958:
18938:
18708:
18688:
18668:
18648:
17921:
17849:
17829:
14906:
13603:
7214:
7194:
7173:
7104:
6050:
6030:
5862:
5842:
5647:
5627:
5425:
5405:
5267:
5247:
5000:
4980:
4784:
4764:
4582:
4562:
4135:
3204:
3177:
1124:
1095:
1075:
1047:
22382:
8969:
6895:
2208:
29378:
21284:
9569:{\displaystyle {\begin{aligned}&h_{k}:(a-r,a+r)\to \mathbb {R} \\&h_{k}(x)=(x-a)\sum _{j=0}^{\infty }c_{k+1+j}\left(x-a\right)^{j}\end{aligned}}}
20846:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {F'(c_{1})}{G'(c_{1})}}={\frac {F'(c_{1})-F'(a)}{G'(c_{1})-G'(a)}}={\frac {F''(c_{2})}{G''(c_{2})}}\end{aligned}}}
1139:. There are several versions of Taylor's theorem, some giving explicit estimates of the approximation error of the function by its Taylor polynomial.
29366:
15085:{\displaystyle D^{\alpha }f={\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}},\qquad |\alpha |\leq k}
26833:
20974:
19218:{\displaystyle {\begin{aligned}F(a)&=f(a)-f(a)-f'(a)(a-a)-...-{\frac {f^{(n-1)}(a)(a-a)^{n-1}}{(n-1)!}}=0\\G(a)&=(a-a)^{n}=0\end{aligned}}}
25185:{\displaystyle f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+\int _{a}^{x}{\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}\,dt.}
18859:
26438:{\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=g(1)=g(0)+\sum _{j=1}^{k}{\frac {1}{j!}}g^{(j)}(0)\ +\ \int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{k}}{k!}}g^{(k+1)}(t)\,dt.}
22849:
13971:{\displaystyle {\begin{aligned}&f:\mathbb {C} \cup \{\infty \}\to \mathbb {C} \cup \{\infty \}\\&f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}\end{aligned}}}
19477:{\displaystyle {\begin{aligned}F'(a)=f'(a)-f'(a)-{\frac {2f''(a)(a-a)}{1!}}-...-{\frac {f^{(n-2)}(a)(n-1)(a-a)^{n-2}}{(n-1)!}}=0\end{aligned}}}
2584:
1201:
calculated sines, cosines, logarithms, and other transcendental functions by numerically integrating the first 7 terms of their Taylor series.
8212:{\displaystyle {\frac {4}{(k+1)!}}<10^{-5}\quad \Longleftrightarrow \quad 4\cdot 10^{5}<(k+1)!\quad \Longleftrightarrow \quad k\geq 9.}
29488:
29373:
16339:
1799:
1151:
266:
24358:
9934:
4392:
22335:{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+{\frac {f^{(n)}(c)}{n!}}(x-a)^{n}\end{aligned}},}
22136:{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}={\frac {f^{(n)}(c)}{n!}}(x-a)^{n}\end{aligned}}.}
29356:
29351:
10659:{\displaystyle f^{(k)}(x)={\begin{cases}{\frac {p_{k}(x)}{x^{3k}}}\cdot e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}&x>0\\0&x\leq 0\end{cases}}}
8466:{\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{9}}{9!}}+R_{9}(x),\qquad |R_{9}(x)|<10^{-5},\qquad -1\leq x\leq 1.}
29361:
29346:
28460:
28648:
20209:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {f_{1}(x)-f_{1}(a)}{g_{1}(x)-g_{1}(a)}}={\frac {f_{1}'(c_{1})}{g_{1}'(c_{1})}}\end{aligned}}}
9578:
are also analytic, since their defining power series have the same radius of convergence as the original series. Assuming that ⊂
29341:
20516:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {F(x)}{G(x)}}={\frac {F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)}}={\frac {F'(c_{1})}{G'(c_{1})}}\end{aligned}}}
17536:
7394:{\displaystyle P_{k}(x)=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{k}}{k!}},\qquad R_{k}(x)={\frac {e^{\xi }}{(k+1)!}}x^{k+1},}
3786:
3776:{\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+h_{k}(x)(x-a)^{k},}
19654:{\displaystyle {\begin{aligned}G'(a)&=n(a-a)^{n-1}=0\\&\qquad \vdots \\G^{(n-1)}(a)&=F^{(n-1)}(a)=0\end{aligned}}}
6113:
1583:
28958:
28712:
28378:
28340:
28266:
28244:
27425:
4300:
5757:
The statement for the integral form of the remainder is more advanced than the previous ones, and requires understanding of
28408:
14162:
532:
507:
17:
6364:
25882:
16296:
9211:
of its locally defining power series, and the corresponding remainder terms are locally given by the analytic functions
29519:
28510:
22838:
13190:. Similarly, applying Cauchy's estimates to the series expression for the remainder, one obtains the uniform estimates
5650:
5387:) is continuous on the closed interval and differentiable with a non-vanishing derivative on the open interval between
1008:
571:
2073:
89:
29456:
29315:
28359:
28321:
28298:
28215:
4100:. The Taylor polynomial is the unique "asymptotic best fit" polynomial in the sense that if there exists a function
527:
245:
21237:{\displaystyle {\frac {F(x)}{G(x)}}={\frac {F'(c_{1})}{G'(c_{1})}}=\dots ={\frac {F^{(n)}(c_{n})}{G^{(n)}(c_{n})}}.}
28870:
28786:
8789:{\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}(x-a)^{k}=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+\cdots ,\qquad |x-a|<r.}
512:
26165:
8974:
29451:
29383:
29008:
28863:
28831:
28590:
24350:
24250:
13837:{\displaystyle {\begin{aligned}&f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \\&f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}\end{aligned}}}
6065:
5649:. This version covers the Lagrange and Cauchy forms of the remainder as special cases, and is proved below using
848:
522:
497:
179:
7917:{\displaystyle e^{x}\leq {\frac {1+x}{1-{\frac {x^{2}}{2}}}}=2{\frac {1+x}{2-x^{2}}}\leq 4,\qquad 0\leq x\leq 1}
4083:{\displaystyle P_{k}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}
1157:
Taylor's theorem is taught in introductory-level calculus courses and is one of the central elementary tools in
29084:
29061:
28776:
21937:{\displaystyle {\frac {F^{(n)}(c)}{G^{(n)}(c)}}={\frac {f^{(n)}(c)}{n(n-1)\cdots 1}}={\frac {f^{(n)}(c)}{n!}}.}
14939:
2998:
29514:
29174:
29112:
28907:
28781:
28453:
27450:
22790:{\displaystyle F(t)=f(t)+f'(t)(x-t)+{\frac {f''(t)}{2!}}(x-t)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}.}
17522:{\displaystyle P(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}.}
10682:
630:
577:
458:
26788:
2787:
28660:
28638:
27399:
21693:
17656:
13531:
10901:
10348:
284:
256:
29483:
18848:{\displaystyle {\begin{aligned}F(x)=f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}\end{aligned}}}
8092:{\displaystyle |R_{k}(x)|\leq {\frac {4|x|^{k+1}}{(k+1)!}}\leq {\frac {4}{(k+1)!}},\qquad -1\leq x\leq 1,}
1973:
367:
29468:
29234:
28848:
28670:
27445:
25990:. The strategy of the proof is to apply the one-variable case of Taylor's theorem to the restriction of
24078:
needed for the use of mean value theorem are too strong, if one aims to prove the claim in the case that
17310:{\displaystyle h_{k}(x)={\begin{cases}{\frac {f(x)-P(x)}{(x-a)^{k}}}&x\not =a\\0&x=a\end{cases}}}
15558:
15186:
14442:
13131:
The important feature here is that the quality of the approximation by a Taylor polynomial on the region
8803:
1146:, who stated a version of it in 1715, although an earlier version of the result was already mentioned in
881:
489:
327:
299:
28388:
20858:
28853:
28623:
26079:
26057:
26035:
26013:
25971:
14480:
12686:{\displaystyle f(z)=P_{k}(z)+R_{k}(z),\quad P_{k}(z)=\sum _{j=0}^{k}{\frac {f^{(j)}(c)}{j!}}(z-c)^{j},}
9855:{\displaystyle f(x)\approx \sum _{k=0}^{\infty }c_{k}(x-a)^{k}=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+\cdots }
7775:{\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {e^{\xi }}{2}}x^{2}<1+x+{\frac {e^{x}}{2}}x^{2},\qquad 0<x\leq 1}
3237:
752:
716:
493:
372:
261:
251:
23842:
17949:, therefore all conditions necessary for L'Hôpital's rule are fulfilled, and its use is justified. So
8481:
5656:
29272:
29219:
28414:
19905:
15638:{\displaystyle B=\{\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}:\left\|\mathbf {a} -\mathbf {y} \right\|\leq r\}}
13164:
12728:
7008:{\displaystyle e^{0}=1,\qquad {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x},\qquad e^{x}>0,\qquad x\in \mathbb {R} .}
516:
28680:
28091:
This follows from iterated application of the theorem that if the partial derivatives of a function
27440:
23049:
20528:
19988:
17594:
17211:
13719:
13687:
13635:
10549:
10413:
9674:
will converge in some interval in which all its derivatives are bounded and do not grow too fast as
5195:{\displaystyle R_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi _{S})}{k!}}(x-\xi _{S})^{k+1-p}{\frac {(x-a)^{p}}{p}}}
352:
29388:
29159:
28707:
28446:
27327:
13608:
9380:{\displaystyle R_{k}(x)=\sum _{j=k+1}^{\infty }c_{j}(x-a)^{j}=(x-a)^{k}h_{k}(x),\qquad |x-a|<r.}
7581:
3856:
651:
211:
17923:. Clearly, the denominator also satisfies said condition, and additionally, doesn't vanish unless
15223:
14115:
7034:
1922:
29524:
29154:
28826:
28145:
27881:
27531:
26827:
24299:
20293:
20221:
19755:
11851:
11810:
8799:
4526:
3499:
2402:, this polynomial has the same first and second derivatives, as is evident upon differentiation.
1162:
1050:
965:
757:
646:
28429:
27341:
23830:{\displaystyle R_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi )}{k!}}(x-\xi )^{k}{\frac {G(x)-G(a)}{G'(\xi )}}.}
19950:
7621:
3445:
to within a given error tolerance. (Given the degree and error tolerance, we find the interval.)
2873:
29282:
29164:
28985:
28933:
28739:
28717:
28585:
27869:
27720:
27705:
27306:
24926:
24186:
21654:
20576:
17600:
11372:
11364:
10885:
10865:
10500:
8476:
6755:
6330:{\displaystyle q{\frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}}\leq R_{k}(x)\leq Q{\frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}},}
5580:{\displaystyle R_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi )}{k!}}(x-\xi )^{k}{\frac {G(x)-G(a)}{G'(\xi )}}}
3478:
3073:
2733:
2024:
1337:
1190:
1170:
1001:
930:
891:
775:
711:
635:
23902:
17752:
7109:
5716:
1261:
67:(red) and the corresponding Taylor polynomial of degree four (dashed green) around the origin.
29408:
29267:
29179:
28836:
28771:
28744:
28734:
28655:
28643:
28628:
28600:
26155:{\displaystyle {\boldsymbol {u}}(t)={\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})}
24264:
24109:
24103:
24083:
22347:
21249:
8257:
7440:
6001:
5817:
5004:
4788:
1186:
1158:
975:
641:
412:
357:
318:
224:
27792:
15648:
13134:
12757:
9202:{\displaystyle P_{k}(x)=\sum _{j=0}^{k}c_{j}(x-a)^{j},\qquad c_{j}={\frac {f^{(j)}(a)}{j!}}}
6823:
6627:{\displaystyle |R_{k}(x)|\leq M{\frac {|x-a|^{k+1}}{(k+1)!}}\leq M{\frac {r^{k+1}}{(k+1)!}}}
6453:
5015:
2963:
2031:
1708:
1216:
29224:
28843:
28690:
27937:
27887:
27839:
27760:
27300:
24448:
24254:
24225:
22802:
20940:
20910:
20261:
19873:
19846:
19819:
19696:
19669:
14690:
13860:
10975:
10335:
is by definition always analytic, but it is not necessarily equal to the original function
8228:
6728:
6069:
2706:
2200:
1399:
1256:
1182:
1166:
1132:
980:
960:
886:
555:
474:
448:
362:
18601:
13667:
9678:
goes to infinity. (However, even if the Taylor series converges, it might not converge to
9659:
9613:
5205:
4938:
4722:
1193:
functions. It provided the mathematical basis for some landmark early computing machines:
8:
29244:
29169:
29056:
29013:
28749:
28580:
28568:
28555:
28515:
28495:
27977:
27925:
27833:
27825:
27697:
27642:
27583:
27468:
27274:
25925:
25828:
25802:
24902:
24295:
17788:
16089:
15683:
15095:
14909:
14498:
12708:
12456:
10120:
9020:. Here only the convergence of the power series is considered, and it might well be that
8907:
6660:
5786:
4537:
4376:
3245:
955:
925:
915:
802:
656:
453:
192:
187:
37:
28423:
27285:
23115:
17811:, and the same is true of the denominator. Also, since the condition that the function
10726:
6359:. This is a simple consequence of the Lagrange form of the remainder. In particular, if
5271:
3213:
1754:
29333:
29308:
29139:
29092:
29033:
28998:
28993:
28973:
28968:
28963:
28928:
28875:
28858:
28759:
28633:
28618:
28563:
28530:
28310:
27266:
25993:
25951:
25854:
25782:
16100:
12436:
7473:
6701:
5350:
5346:
5286:
3131:
2846:
1178:
920:
823:
807:
747:
742:
737:
701:
582:
501:
407:
402:
206:
201:
27989:
23946:
Using this method one can also recover the integral form of the remainder by choosing
22989:
19787:
19723:
14009:
7549:
7514:
7406:
5592:
3419:
3344:
3281:
2350:
2173:
1671:
1342:
29473:
29297:
29229:
29051:
29028:
28902:
28895:
28798:
28613:
28505:
28374:
28355:
28336:
28317:
28294:
28262:
28240:
28211:
27421:
27393:
27260:
24091:
18567:
17926:
17880:
17854:
17726:
14252:
13983:
13847:
9687:
8542:
6793:
5758:
5356:
5318:
4384:
3253:
3118:
2937:
2911:
2412:
2379:
2143:
1375:
1309:
1198:
1174:
994:
828:
606:
484:
437:
294:
289:
28254:
18627:
be any real-valued continuous function to be approximated by the Taylor polynomial.
1135:
of the function, and the second-order Taylor polynomial is often referred to as the
29431:
29214:
29127:
29107:
29038:
28948:
28890:
28882:
28816:
28729:
28490:
28485:
27675:
27655:
27616:
27596:
27561:
27541:
27501:
27481:
24329:
24309:
24258:
24166:
24146:
24087:
23029:
23009:
22570:
22550:
22530:
22510:
18943:
18923:
18693:
18673:
18653:
18633:
17906:
17834:
17814:
14891:
13588:
12452:
10881:
9655:
9610:. Naturally, in the case of analytic functions one can estimate the remainder term
8891:
7199:
7179:
7158:
7089:
6035:
6015:
5847:
5827:
5762:
5632:
5612:
5410:
5390:
5252:
5232:
4985:
4965:
4769:
4749:
4567:
4547:
4120:
3459:
The precise statement of the most basic version of Taylor's theorem is as follows:
3189:
3162:
1109:
1080:
1060:
1032:
838:
732:
706:
567:
479:
443:
25874:
24899:
which is exactly Taylor's theorem with remainder in the integral form in the case
8916:
6865:
5279:
1569:{\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+h_{1}(x)(x-a),\quad \lim _{x\to a}h_{1}(x)=0.}
1209:
29493:
29478:
29262:
29117:
29097:
29066:
29043:
29023:
28917:
28573:
28520:
27981:
27646:
27472:
24140:
18564:
where the second-to-last equality follows by the definition of the derivative at
8911:
6009:
5821:
4541:
1194:
1147:
1102:
970:
843:
797:
792:
679:
592:
537:
27288: – 'Best' approximation of a function by a rational function of given order
22547:
and differentiable with a non-vanishing derivative on the open interval between
29403:
29302:
29149:
29102:
29003:
28806:
27877:
27873:
27413:
27386:
27279:
14248:
11791:{\displaystyle T_{f}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(c)}{k!}}(z-c)^{k}}
11670:
4926:{\displaystyle R_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi _{C})}{k!}}(x-\xi _{C})^{k}(x-a)}
2570:{\displaystyle f(x)=P_{2}(x)+h_{2}(x)(x-a)^{2},\quad \lim _{x\to a}h_{2}(x)=0.}
853:
661:
428:
28821:
13850:, that is, locally determined by its Taylor series. This function was plotted
11359:), which justifies differentiation under the integral sign. In particular, if
5990:{\displaystyle R_{k}(x)=\int _{a}^{x}{\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}\,dt.}
29508:
29277:
29132:
29018:
28722:
28697:
28204:
27929:
27587:
27535:
27291:
26901:{\displaystyle {\tfrac {1}{j!}}{\tbinom {j}{\alpha }}={\tfrac {1}{\alpha !}}}
24303:
11673:
10877:
10352:
8881:{\displaystyle {\frac {1}{R}}=\limsup _{k\to \infty }|c_{k}|^{\frac {1}{k}}.}
8526:
4530:
3156:
1128:
833:
597:
347:
304:
27303: – Theory of getting acceptably close inexact mathematical calculations
18593:
3066:
In general, the error in approximating a function by a polynomial of degree
29287:
29257:
29122:
28685:
28418:
28276:
22963:{\displaystyle {\frac {F'(\xi )}{G'(\xi )}}={\frac {F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)}}}
13585:. Modulus is shown by elevation and argument by coloring: cyan =
12703:
8546:
5012:
Both can be thought of as specific cases of the following result: Consider
4272:{\displaystyle f(x)=p(x)+h_{k}(x)(x-a)^{k},\quad \lim _{x\to a}h_{k}(x)=0,}
1748:
1161:. It gives simple arithmetic formulas to accurately compute values of many
1143:
587:
332:
24065:{\displaystyle G(t)=\int _{a}^{t}{\frac {f^{(k+1)}(s)}{k!}}(x-s)^{k}\,ds,}
13524:
3128:
Taylor's theorem is of asymptotic nature: it only tells us that the error
28535:
28477:
28199:
16104:
15562:
15155:
Using notations of the preceding section, one has the following theorem.
10912:
7931:
4710:{\displaystyle R_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi _{L})}{(k+1)!}}(x-a)^{k+1}}
950:
30:
29252:
29184:
28938:
28811:
28675:
28665:
28608:
27967:
27917:
27358:. Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press. pp. 329–332.
26448:
24346:, and this leads to the same result than using the mean value theorem.
22507:
be any real-valued function, continuous on the closed interval between
22498:
17851:
times differentiable at a point requires differentiability up to order
14233:
11896:. Furthermore, using the contour integral formulas for the derivatives
10783:) = 0, which is analytic with all coefficients equal to zero.
10496:
3207:
3056:
1369:
1054:
696:
620:
342:
337:
241:
28433:
26162:
We apply the one-variable version of Taylor's theorem to the function
22489:{\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}.}
6061:
2338:{\displaystyle P_{2}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2}}(x-a)^{2}.}
29446:
29194:
29189:
28500:
21384:{\displaystyle {\frac {F(x)}{G(x)}}={\frac {F^{(n)}(c)}{G^{(n)}(c)}}}
16367:{\displaystyle {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {v}}}
15671:, then one can derive an exact formula for the remainder in terms of
11805:
8222:
7927:
3059:
of higher degree, since then we can match even more derivatives with
625:
615:
28146:"Higher-Order Derivatives and Taylor's Formula in Several Variables"
24097:
16293:
For example, the third-order Taylor polynomial of a smooth function
9665:
4497:
of the Taylor polynomial, the most common ones being the following.
1177:, and is fundamental in various areas of mathematics, as well as in
29441:
28943:
28469:
27309: – Approximating an arbitrary function with a well-behaved one
10047:{\displaystyle |R_{k}(x)|\leq M_{k,r}{\frac {|x-a|^{k+1}}{(k+1)!}}}
6820:
Suppose that we wish to find the approximate value of the function
5349:, whence the name. Additionally, notice that this is precisely the
5345:
These refinements of Taylor's theorem are usually proved using the
3125:: it is not (locally) determined by its derivatives at this point.
1022:
691:
433:
390:
79:
17170:
14035:, and it is analytic elsewhere. Now its Taylor series centered at
10884:. Namely, stronger versions of related results can be deduced for
10880:. However, its usefulness is dwarfed by other general theorems in
2780:
29292:
28545:
12459:
holds also for complex analytic functions with the open interval
10942:. Then Cauchy's integral formula with a positive parametrization
3474:
3386:) . (Given the interval and error tolerance, we find the degree.)
8283:.) As a conclusion, Taylor's theorem leads to the approximation
5761:
for the full generality. However, it holds also in the sense of
3244:. These enhanced versions of Taylor's theorem typically lead to
29461:
28525:
27350:] (in Latin). London. p. 21–23 (Prop. VII, Thm. 3, Cor. 2).
25875:
Derivation for the remainder of multivariate Taylor polynomials
11345:
8512:
6694:
5379:. Also other similar expressions can be found. For example, if
24451:
and use the fundamental theorem of calculus again to see that
15150:
8894:, and the same method shows that if the power series based on
2435:, more accurate than the linear approximation. Specifically,
28540:
27420:(3rd ed.), Houston, TX: Publish or Perish, p. 383,
21041:{\displaystyle a<c_{n}<c_{n-1}<\dots <c_{1}<x}
15098:
is justified in this situation. The same is true if all the (
3843:
3236:. It does not tell us how large the error is in any concrete
18911:{\displaystyle {\begin{aligned}G(x)=(x-a)^{n}\end{aligned}}}
4292:. Taylor's theorem describes the asymptotic behavior of the
28438:
28281:
Mathematical thought from ancient to modern times, Volume 2
17303:
10652:
10475:
7784:
using the second order Taylor expansion. Then we solve for
13980:
on the compactified complex plane. It has simple poles at
4490:
there are several precise formulas for the remainder term
2960:(green). The approximations do not improve at all outside
1402:
near this point. This means that there exists a function
1131:
of the function. The first-order Taylor polynomial is the
18594:
Alternate proof for Taylor's theorem in one real variable
12507:). In particular, the Taylor expansion holds in the form
10790:
is unequal to this Taylor series, and hence non-analytic.
10323:
is not bounded above as long as it grows slowly enough.)
7216:
and its remainder term in the
Lagrange form are given by
2694:{\displaystyle R_{2}(x)=f(x)-P_{2}(x)=h_{2}(x)(x-a)^{2},}
3449:
3259:
There are several ways we might use the remainder term:
27296:
Pages displaying short descriptions of redirect targets
10847:
10812: > 0 satisfying the remainder bound (
3370:
to within a given error tolerance on a given interval (
3051:
Similarly, we might get still better approximations to
1105:, the Taylor polynomial is the truncation at the order
27:
Approximation of a function by a truncated power series
27678:
27658:
27619:
27599:
27564:
27544:
27504:
27484:
27383:
Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale
26882:
26855:
26838:
26793:
26667:
24332:
24312:
24169:
24149:
23118:
23112:
is exactly the remainder of the Taylor polynomial for
23052:
23032:
23012:
22992:
22573:
22553:
22533:
22513:
18946:
18926:
18696:
18676:
18656:
18636:
18570:
17929:
17909:
17883:
17857:
17837:
17817:
17729:
17603:
15465:
14894:
14445:
14208:
14198:{\textstyle \left\vert z-1\right\vert >{\sqrt {2}}}
14165:
14118:
14012:
13986:
13722:
13690:
13638:
13611:
13591:
13534:
13167:
13137:
12760:
12731:
12711:
11854:
11813:
10729:
9616:
8977:
8919:
8260:
8231:
7624:
7584:
7476:
7443:
7409:
7202:
7182:
7161:
7112:
7092:
7037:
6868:
6826:
6796:
6758:
6704:
6038:
6018:
5850:
5830:
5789:
5635:
5615:
5595:
5413:
5393:
5359:
5321:
5289:
5255:
5235:
5208:
4988:
4968:
4941:
4772:
4752:
4725:
4570:
4550:
4481:
4123:
3859:
3422:
3347:
3323:). (Given the interval and degree, we find the error.)
3284:
3216:
3192:
3165:
3134:
3001:
2940:
2914:
2876:
2849:
2790:
2415:
2382:
2353:
2176:
2146:
2034:
1757:
1711:
1674:
1378:
1345:
1312:
1264:
1219:
1112:
1083:
1063:
1035:
40:
27992:
27940:
27890:
27842:
27795:
27763:
27723:
26916:
26836:
26791:
26459:
26225:
26168:
26104:
26082:
26060:
26038:
26016:
25996:
25974:
25954:
25928:
25885:
25857:
25831:
25805:
25785:
25216:
25208:
Integrating the remainder term by parts we arrive at
24940:
24905:
24459:
24361:
24267:
24228:
24189:
24112:
23954:
23905:
23845:
23682:
23155:
22852:
22805:
22595:
22385:
22350:
22153:
21954:
21770:
21696:
21657:
21401:
21287:
21252:
21058:
20977:
20943:
20913:
20861:
20620:
20579:
20531:
20348:
20296:
20264:
20224:
20038:
19991:
19953:
19908:
19876:
19849:
19822:
19790:
19758:
19726:
19699:
19672:
19491:
19235:
18968:
18862:
18718:
18604:
17957:
17791:
17755:
17659:
17539:
17327:
17183:
16382:
16342:
16299:
16120:
15698:
15651:
15570:
15267:
15226:
14958:
14700:
14537:
14290:
13870:
13760:
13670:
13198:
12821:
12791:
as above, and modifying slightly the computation for
12515:
11912:
11683:
11387:
11021:
10978:
10685:
10515:
10363:
10131:
9937:
9701:
9397:
9219:
9067:
9051:
The Taylor polynomials of the real analytic function
8813:
8603:
8484:
8291:
8109:
8101:
so the required precision is certainly reached, when
7946:
7796:
7658:
7552:
7517:
7224:
6908:
6731:
6484:
6456:
6367:
6184:
6116:
5872:
5719:
5659:
5435:
5045:
5018:
4804:
4592:
4395:
4303:
4149:
3884:
3789:
3537:
3076:
2966:
2807:
2736:
2709:
2587:
2443:
2211:
2112:
2076:
1976:
1925:
1902:{\displaystyle R_{1}(x)=f(x)-P_{1}(x)=h_{1}(x)(x-a).}
1802:
1586:
1421:
92:
28153:
27256:
22499:
Derivation for the mean value forms of the remainder
17903:
derivatives are differentiable in a neighborhood of
9864:
of an infinitely many times differentiable function
9658:
also another possibility arises, which is described
3852:
The polynomial appearing in Taylor's theorem is the
25922:has continuous partial derivatives up to the order
24438:{\displaystyle f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}\,f'(t)\,dt.}
17593:The proof here is based on repeated application of
14942:, one can change the order of mixed derivatives at
10343:is infinitely differentiable. In this case, we say
6176:. Then the remainder term satisfies the inequality
4472:{\displaystyle R_{k}(x)=o(|x-a|^{k}),\quad x\to a.}
28309:
28203:
28010:
27958:
27908:
27860:
27816:
27781:
27749:
27684:
27664:
27625:
27605:
27570:
27550:
27510:
27490:
27242:
26900:
26818:
26775:
26437:
26209:
26154:
26090:
26068:
26046:
26024:
26002:
25982:
25960:
25940:
25915:{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
25914:
25863:
25843:
25817:
25791:
25759:
25184:
24917:
24889:
24437:
24338:
24318:
24286:
24241:
24214:
24175:
24155:
24131:
24064:
23932:
23891:
23829:
23658:
23139:
23104:
23038:
23018:
22998:
22962:
22829:
22789:
22579:
22559:
22539:
22519:
22488:
22369:
22334:
22135:
21936:
21754:
21682:
21641:
21383:
21271:
21236:
21040:
20961:
20926:
20899:
20845:
20604:
20562:
20515:
20332:
20282:
20250:
20208:
20022:
19977:
19939:
19894:
19862:
19835:
19808:
19776:
19744:
19712:
19685:
19653:
19476:
19217:
18952:
18932:
18910:
18847:
18702:
18682:
18662:
18642:
18619:
18582:
18554:
17941:
17915:
17895:
17869:
17843:
17823:
17803:
17777:
17741:
17715:
17645:
17583:
17521:
17309:
17155:
16366:
16329:{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }
16328:
16278:
16078:
15663:
15637:
15525:
15251:
15084:
14900:
14856:
14679:
14471:
14429:
14197:
14143:
14027:
13998:
13970:
13836:
13740:
13708:
13676:
13656:
13624:
13597:
13577:
13509:
13182:
13149:
13121:
12772:
12746:
12717:
12685:
12425:
11881:
11840:
11790:
11619:
11334:
11005:
10741:
10715:
10658:
10485:
10304:
10046:
9854:
9638:
9568:
9379:
9201:
9012:
8963:
8880:
8788:
8496:
8465:
8275:
8246:
8211:
8091:
7916:
7774:
7642:
7610:
7570:
7538:
7503:
7462:
7415:
7393:
7208:
7188:
7167:
7146:
7098:
7078:
7007:
6889:
6854:
6808:
6782:
6744:
6717:
6626:
6468:
6417:
6329:
6162:
6092:-times continuously differentiable in an interval
6044:
6024:
5989:
5856:
5836:
5808:
5746:
5705:
5641:
5621:
5601:
5579:
5419:
5399:
5371:
5333:
5307:
5261:
5241:
5221:
5194:
5030:
4994:
4974:
4954:
4925:
4778:
4758:
4738:
4709:
4576:
4556:
4471:
4365:
4271:
4129:
4082:
3867:
3833:
3775:
3437:
3362:
3299:
3228:
3198:
3171:
3147:
3101:
3039:
2987:
2952:
2926:
2900:
2862:
2835:
2761:
2722:
2693:
2569:
2427:
2394:
2368:
2337:
2191:
2158:
2132:
2062:
2013:
1962:
1901:
1778:
1739:
1689:
1658:
1568:
1390:
1360:
1324:
1298:
1247:
1142:Taylor's theorem is named after the mathematician
1118:
1089:
1069:
1041:
164:
59:
24550:
24500:
24098:Derivation for the integral form of the remainder
14213:
9666:Taylor's theorem and convergence of Taylor series
8561: > 0 and a sequence of coefficients
29506:
18361:
18175:
18043:
17963:
17541:
17319:where, as in the statement of Taylor's theorem,
16207:
16171:
16112:, one immediately obtains the uniform estimates
15473:
14388:
11564:
9881:
8828:
7546:. To obtain an upper bound for the remainder on
4226:
3791:
2527:
2133:{\displaystyle P_{2}(x)=1+x+{\dfrac {x^{2}}{2}}}
1526:
165:{\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}
28259:Linear Partial Differential Operators, Volume 1
28235:Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2011),
17171:Proof for Taylor's theorem in one real variable
12455:. All that is said for real analytic functions
9646:by the tail of the sequence of the derivatives
28234:
28018:. So the theorem would not apply in this case.
12780:, one obtains expressions for the derivatives
11344:Here all the integrands are continuous on the
8507:
6075:
28454:
27704:of that interval. Consider, for example, the
27380:
26871:
26858:
26809:
26796:
23265:
23206:
16057:
16020:
14072:|, where the same Taylor series converges at
9876:as its "infinite order Taylor polynomial" at
9013:{\textstyle r_{b}=\left\vert b-a\right\vert }
7511:to estimate the remainder on the subinterval
4387:, the statement in Taylor's theorem reads as
1002:
28291:Calculus: An Intuitive and Physical Approach
27348:Direct and Reverse Methods of Incrementation
26210:{\displaystyle g(t)=f({\boldsymbol {u}}(t))}
16288:
15632:
15577:
14380:
14364:
13916:
13910:
13896:
13890:
11371:, then it is actually infinitely many times
10753:is infinitely many times differentiable and
10723:tends to zero faster than any polynomial as
9654:) at the center of the expansion, but using
8513:Taylor expansions of real analytic functions
8475:For instance, this approximation provides a
2409:is, in a sufficiently small neighborhood of
2166:. Note the improvement in the approximation.
21651:By the Power Rule, repeated derivatives of
15151:Taylor's theorem for multivariate functions
14108:. For the same reason the Taylor series of
13157:is dominated by the values of the function
10764:. The above results all hold in this case:
8802:of a power series can be computed from the
3454:
2347:Instead of just matching one derivative of
1173:. It is the starting point of the study of
28461:
28447:
27381:Genocchi, Angelo; Peano, Giuseppe (1884),
25851:, it must hold for every positive integer
11379:. One also obtains the Cauchy's estimates
10852:Taylor's theorem generalizes to functions
9916: > 0 there exists a constant
8890:This result is based on comparison with a
5713:and the Cauchy form is obtained by taking
5653:. The Lagrange form is obtained by taking
3040:{\textstyle (1-{\sqrt {2}},1+{\sqrt {2}})}
1009:
995:
29489:Regiomontanus' angle maximization problem
28330:
28253:
28182:
28171:
28113:, then the function is differentiable at
27343:Methodus Incrementorum Directa et Inversa
27282: – Power series with negative powers
27230:
26425:
25908:
25894:
25743:
25536:
25303:
25172:
24873:
24840:
24758:
24685:
24593:
24425:
24407:
24052:
17584:{\displaystyle \lim _{x\to a}h_{k}(x)=0.}
16322:
16308:
16062:
15590:
13903:
13883:
13781:
13773:
13048:
12968:
12394:
12320:
12197:
12061:
11504:
11322:
11195:
11094:
10772:converges uniformly to the zero function
10384:
10376:
10181:
9590:, all these series converge uniformly on
9447:
8545:if it is locally defined by a convergent
6998:
5977:
4486:Under stronger regularity assumptions on
3834:{\displaystyle \lim _{x\to a}h_{k}(x)=0.}
2070:(blue) with its quadratic approximation
1919:this error goes to zero much faster than
125:
29332:
26054:. Parametrize the line segment between
24925:. The general statement is proved using
15160:Multivariate version of Taylor's theorem
14088:(0, 1) and it does not converge for any
13523:
6693:
6163:{\displaystyle q\leq f^{(k+1)}(x)\leq Q}
6100:. Suppose that there are real constants
5315:is the Lagrange form, whilst the choice
2779:
2023:
1659:{\displaystyle P_{1}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)}
1208:
29:
28837:Differentiating under the integral sign
28373:(3rd ed.), Hindustan Book Agency,
28333:Introduction to classical real analysis
28307:
28224:
28198:
28122:
28067:
28055:
28043:
28031:
27294: – Discrete analog of a derivative
27220:
27212:
27198:
27124:
27116:
27040:
27032:
27021:
26941:
26924:
26755:
26747:
26733:
26725:
26711:
26616:
26608:
26594:
26532:
26233:
26191:
26145:
26137:
26123:
26106:
26084:
26062:
26040:
26018:
25976:
17115:
17023:
16918:
16825:
16738:
16665:
16577:
16514:
16463:
16418:
16401:
16360:
16352:
16344:
16263:
16246:
16212:
16140:
16048:
16040:
16026:
15915:
15879:
15871:
15860:
15797:
15789:
15767:
15711:
15506:
15486:
15478:
15442:
15434:
15423:
15366:
15358:
15336:
15280:
15140:times differentiable at the point
14794:
14657:
14600:
14559:
14548:
14462:
14414:
14401:
14393:
14376:
14368:
14357:
14340:
14332:
14315:
14298:
14100:| > 1 due to the poles at
10716:{\displaystyle e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}}
5773:is continuous on the closed interval .
5276:of the remainder (sometimes called the
4366:{\displaystyle R_{k}(x)=f(x)-P_{k}(x),}
3861:
2836:{\textstyle f(x)={\dfrac {1}{1+x^{2}}}}
2579:Here the error in the approximation is
1185:. Taylor's theorem also generalizes to
533:Differentiating under the integral sign
14:
29507:
27412:
27356:A Source Book in Mathematics 1200–1800
27353:
27339:
26819:{\displaystyle {\tbinom {j}{\alpha }}}
24094:, the assumptions cannot be weakened.
19663:Step 3: Use Cauchy Mean Value Theorem
13578:{\textstyle f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}}
7031:From these properties it follows that
4383:with its Taylor polynomial. Using the
3186:tends to zero faster than any nonzero
2703:which, given the limiting behavior of
28713:Inverse functions and differentiation
28442:
28415:Taylor Series Approximation to Cosine
28349:
28288:
28275:
28079:
28027:
27368:
25779:shows that if it holds for the value
21755:{\displaystyle G^{(n)}(c)=n(n-1)...1}
17716:{\displaystyle f^{(j)}(a)=P^{(j)}(a)}
9693:One might think of the Taylor series
8504:, correct up to five decimal places.
6663:, because it holds uniformly for all
3450:Taylor's theorem in one real variable
1796:. The error in the approximation is:
28434:Holistic Numerical Methods Institute
27328:"Linear and quadratic approximation"
24931:
22843:
14472:{\textstyle L=df({\boldsymbol {a}})}
10848:Taylor's theorem in complex analysis
10503:, one shows that for any order
9928:
6899:
6418:{\displaystyle |f^{(k+1)}(x)|\leq M}
3263:Estimate the error for a polynomial
2014:{\displaystyle f(x)\approx P_{1}(x)}
28368:
28143:
27868:. Moreover, one can show that this
25769:Substituting this into the formula
23674:) and rearrange terms to find that
14209:Generalizations of Taylor's theorem
12813:, one arrives at the exact formula
10841:, and the error does not go to zero
10314:(One also gets convergence even if
4482:Explicit formulas for the remainder
24:
28511:Free variables and bound variables
28134:Königsberger Analysis 2, p. 64 ff.
26862:
26800:
25799:, it must also hold for the value
24257:. This same proof applies for the
20900:{\displaystyle c_{2}\in (a,c_{1})}
17090:
17076:
16998:
16985:
16971:
16898:
16880:
16866:
16800:
16786:
16713:
16699:
16645:
16632:
16618:
16552:
16538:
16494:
16486:
16443:
16435:
15105:)-th order partial derivatives of
15031:
15003:
14979:
14637:
14629:
14580:
14572:
13913:
13893:
13253:
13168:
12866:
12732:
12151:
11959:
11722:
10228:
9733:
9509:
9264:
9059:are simply the finite truncations
8838:
8635:
6659:The second inequality is called a
6064:by a formal calculation using the
2405:Taylor's theorem ensures that the
74:Part of a series of articles about
25:
29536:
29316:The Method of Mechanical Theorems
28402:
28396:, Chinese University of Hong Kong
26091:{\displaystyle {\boldsymbol {x}}}
26069:{\displaystyle {\boldsymbol {a}}}
26047:{\displaystyle {\boldsymbol {a}}}
26025:{\displaystyle {\boldsymbol {x}}}
25983:{\displaystyle {\boldsymbol {a}}}
25879:We prove the special case, where
19784:so we can work with the interval
11669:. These estimates imply that the
6725:(blue) by its Taylor polynomials
6060:-function, and the result can be
4502:Mean-value forms of the remainder
3070:will go to zero much faster than
2843:(blue) by its Taylor polynomials
28871:Partial fractions in integration
28787:Stochastic differential equation
28426:interactive demonstrative applet
27259:
25825:. Therefore, since it holds for
23899:and the Cauchy form by choosing
23892:{\displaystyle G(t)=(x-t)^{k+1}}
17749:derivatives of the numerator in
15617:
15609:
15581:
13183:{\textstyle \partial W\subset U}
12747:{\textstyle \partial W\subset U}
12725:which parametrizes the boundary
10911: > 0 such that the
8497:{\displaystyle e\approx 2.71828}
7934:. Combining these estimates for
5769: + 1)th derivative of
5706:{\displaystyle G(t)=(x-t)^{k+1}}
3512:. Then there exists a function
29009:Jacobian matrix and determinant
28864:Tangent half-angle substitution
28832:Fundamental theorem of calculus
28176:
28165:
28137:
28128:
28085:
28073:
28061:
28049:
24351:fundamental theorem of calculus
24251:fundamental theorem of calculus
23105:{\textstyle F(x)-F(a)=R_{k}(x)}
23046:. Note that here the numerator
20573:This can also be performed for
19940:{\displaystyle g_{1}'(x)\neq 0}
19564:
16261:
15471:
15062:
14791:
14749:
14386:
13851:
13741:{\textstyle {\frac {5\pi }{3}}}
13709:{\textstyle {\frac {4\pi }{3}}}
13657:{\textstyle {\frac {2\pi }{3}}}
13466:
13106:
12575:
11549:
11212:
11205:
11104:
10805: > 0 there exists
10099:can be chosen in such way that
9348:
9146:
8757:
8444:
8395:
8199:
8195:
8157:
8153:
8067:
7898:
7756:
7315:
7176:-th order Taylor polynomial of
6990:
6970:
6928:
6066:fundamental theorem of calculus
4456:
4224:
2525:
1668:is the linear approximation of
1524:
29085:Arithmetico-geometric sequence
28777:Ordinary differential equation
28424:Trigonometric Taylor Expansion
28037:
28021:
28005:
27993:
27953:
27941:
27903:
27891:
27855:
27843:
27805:
27799:
27776:
27764:
27744:
27730:
27692:, i.e. it does not imply that
27457:
27433:
27406:
27385:, (N. 67, pp. XVII–XIX):
27374:
27362:
27333:
27320:
27227:
27224:
27208:
27194:
27191:
27175:
27166:
27153:
27129:
27112:
27071:
27063:
27045:
27028:
27025:
27017:
27014:
26998:
26971:
26963:
26945:
26937:
26928:
26920:
26760:
26743:
26740:
26737:
26721:
26707:
26704:
26688:
26650:
26642:
26623:
26620:
26604:
26590:
26545:
26542:
26536:
26528:
26486:
26480:
26475:
26469:
26422:
26416:
26411:
26399:
26374:
26361:
26331:
26325:
26320:
26314:
26267:
26261:
26252:
26246:
26237:
26229:
26204:
26201:
26195:
26187:
26178:
26172:
26149:
26133:
26116:
26110:
26010:to the line segment adjoining
25904:
25728:
25715:
25706:
25694:
25689:
25683:
25678:
25666:
25625:
25612:
25603:
25591:
25586:
25580:
25575:
25563:
25521:
25508:
25496:
25484:
25479:
25473:
25468:
25456:
25399:
25386:
25374:
25362:
25357:
25351:
25346:
25334:
25294:
25281:
25267:
25261:
25256:
25244:
25163:
25150:
25136:
25130:
25125:
25113:
25078:
25065:
25051:
25045:
25040:
25034:
25014:
25002:
24988:
24982:
24965:
24959:
24950:
24944:
24870:
24864:
24853:
24841:
24819:
24813:
24802:
24790:
24784:
24778:
24755:
24749:
24717:
24711:
24682:
24676:
24647:
24641:
24619:
24613:
24590:
24584:
24545:
24539:
24522:
24516:
24492:
24486:
24473:
24467:
24422:
24416:
24386:
24380:
24371:
24365:
24279:
24273:
24249:-function, and we can use the
24207:
24195:
24124:
24118:
24043:
24030:
24016:
24010:
24005:
23993:
23964:
23958:
23915:
23909:
23874:
23861:
23855:
23849:
23818:
23812:
23799:
23793:
23784:
23778:
23763:
23750:
23736:
23730:
23725:
23713:
23699:
23693:
23640:
23627:
23613:
23607:
23602:
23590:
23559:
23546:
23537:
23525:
23520:
23514:
23509:
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3034:
3002:
2982:
2967:
2800:
2794:
2750:
2737:
2679:
2666:
2663:
2657:
2641:
2635:
2619:
2613:
2604:
2598:
2558:
2552:
2534:
2513:
2500:
2497:
2491:
2475:
2469:
2453:
2447:
2363:
2357:
2323:
2310:
2301:
2295:
2278:
2266:
2263:
2257:
2243:
2237:
2228:
2222:
2203:instead of a linear function:
2186:
2180:
2170:For a better approximation to
2093:
2087:
2044:
2038:
2008:
2002:
1986:
1980:
1957:
1943:
1940:
1934:
1893:
1881:
1878:
1872:
1856:
1850:
1834:
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1819:
1813:
1773:
1767:
1734:
1728:
1684:
1678:
1653:
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1638:
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1533:
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1506:
1503:
1497:
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1355:
1349:
1281:
1275:
1229:
1223:
159:
153:
144:
138:
122:
116:
13:
1:
28908:Integro-differential equation
28782:Partial differential equation
28354:(3rd ed.), McGraw-Hill,
28237:Introduction to Real Analysis
28192:
25773:
25198:
23670:
23006:on the open interval between
22976:
15201:. Then there exist functions
14144:{\textstyle B(1,{\sqrt {2}})}
7423:is some number between 0 and
7079:{\textstyle f^{(k)}(x)=e^{x}}
1204:
459:Integral of inverse functions
28468:
27313:
26451:for several variables gives
15252:{\displaystyle |\alpha |=k,}
13519:
11882:{\textstyle S(c,r)\subset U}
11841:{\textstyle B(c,r)\subset U}
11641: > 0 such that
10814:
10349:non-analytic smooth function
10116:. Then the Taylor series of
10108:is bounded above, for fixed
10060:
8549:. This means that for every
8529:. By definition, a function
6349:, and a similar estimate if
3179:-th order Taylor polynomial
3063:at the selected base point.
1963:{\displaystyle f'(a)(x{-}a)}
1029:gives an approximation of a
7:
29062:Generalized Stokes' theorem
28849:Integration by substitution
28097:exist in a neighborhood of
27446:Encyclopedia of Mathematics
27352:Translated into English in
27252:
24298:on the closed interval and
22839:Cauchy's mean value theorem
20907:. This can be continued to
20333:{\displaystyle F(a),G(a)=0}
20251:{\displaystyle G'(x)\neq 0}
19777:{\displaystyle a<x<b}
19720:be continuous functions on
17723:. Hence each of the first
15559:continuously differentiable
15187:continuously differentiable
14112:centered at 1 converges on
14084:centered at 0 converges on
12463:replaced by an open subset
11804:converges uniformly on any
10760:for every positive integer
10090:). Sometimes the constants
9882:estimates for the remainder
8508:Relationship to analyticity
7643:{\textstyle 0<\xi <x}
7433:
7021:
6076:Estimates for the remainder
5759:Lebesgue integration theory
5651:Cauchy's mean value theorem
3875:-th order Taylor polynomial
3389:Find the largest interval (
2901:{\textstyle k=1,\ldots ,16}
2730:, goes to zero faster than
882:Calculus on Euclidean space
300:Logarithmic differentiation
10:
29541:
28591:(ε, δ)-definition of limit
28312:A First Course in Analysis
27330:Retrieved December 6, 2018
20937:This gives a partition in
19978:{\displaystyle x\in (a,b)}
17646:{\textstyle j=0,1,...,k-1}
15119:and are differentiable at
14479:is the (uniquely defined)
14439:If this is the case, then
10123:to some analytic function
9040:extends beyond the domain
6783:{\textstyle k=1,\ldots ,7}
6689:
1053:around a given point by a
29520:Theorems in real analysis
29484:Proof that 22/7 exceeds π
29421:
29399:
29325:
29273:Gottfried Wilhelm Leibniz
29243:
29220:e (mathematical constant)
29205:
29077:
28984:
28916:
28797:
28599:
28554:
28476:
28390:Proof of Taylor's Theorem
28352:Real and complex analysis
28283:, Oxford University Press
27750:{\displaystyle \sin(1/x)}
24215:{\displaystyle f^{(k+1)}}
24074:but the requirements for
21683:{\displaystyle (x-a)^{n}}
20605:{\displaystyle (a,c_{1})}
17165:
16289:Example in two dimensions
16088:In this case, due to the
12695:where the remainder term
10902:Cauchy's integral formula
7926:simply by maximizing the
7147:{\textstyle f^{(k)}(0)=1}
3330:for which the polynomial
3326:Find the smallest degree
3102:{\displaystyle (x-a)^{k}}
2762:{\displaystyle (x-a)^{2}}
1299:{\textstyle P_{1}(x)=1+x}
616:Summand limit (term test)
34:The exponential function
29235:Stirling's approximation
28708:Implicit differentiation
28656:Rules of differentiation
28331:Stromberg, Karl (1981),
28308:Pedrick, George (1994),
27398:: CS1 maint: location (
23933:{\displaystyle G(t)=t-a}
22145:By rearranging, we get:
21393:Step 4: Substitute back
17778:{\displaystyle h_{k}(x)}
14515:and the differential of
14497:. Furthermore, then the
10837:grows more quickly than
8276:{\textstyle 10!=3628800}
7463:{\textstyle e^{x}\leq 1}
5747:{\displaystyle G(t)=t-a}
3455:Statement of the theorem
2021:a useful approximation.
1163:transcendental functions
295:Implicit differentiation
285:Differentiation notation
212:Inverse function theorem
29469:Euler–Maclaurin formula
29374:trigonometric functions
28827:Constant of integration
28430:Taylor Series Revisited
28239:(4th ed.), Wiley,
26828:multinomial coefficient
24287:{\displaystyle f^{(k)}}
24132:{\displaystyle f^{(k)}}
24086:. However, if one uses
22370:{\displaystyle c_{n}=a}
21272:{\displaystyle c=c_{n}}
17597:. Note that, for each
13161:itself on the boundary
13150:{\textstyle W\subset U}
12773:{\textstyle W\subset U}
9884:imply that if, for any
9686:is then said to be non-
8804:Cauchy–Hadamard formula
6855:{\textstyle f(x)=e^{x}}
2407:quadratic approximation
2063:{\textstyle f(x)=e^{x}}
1740:{\textstyle y=P_{1}(x)}
1248:{\textstyle f(x)=e^{x}}
1171:trigonometric functions
1137:quadratic approximation
1051:differentiable function
758:Helmholtz decomposition
29438:Differential geometry
29283:Infinitesimal calculus
28986:Multivariable calculus
28934:Directional derivative
28740:Second derivative test
28718:Logarithmic derivative
28691:General Leibniz's rule
28586:Order of approximation
28350:Rudin, Walter (1987),
28289:Kline, Morris (1998),
28121:. See, for instance,
28105:and are continuous at
28012:
27960:
27910:
27862:
27818:
27817:{\displaystyle f(0)=0}
27783:
27751:
27686:
27666:
27627:
27607:
27572:
27552:
27512:
27492:
27354:Struik, D. J. (1969).
27340:Taylor, Brook (1715).
27307:Function approximation
27244:
26902:
26820:
26777:
26439:
26293:
26211:
26156:
26092:
26070:
26048:
26026:
26004:
25984:
25962:
25942:
25916:
25865:
25845:
25819:
25793:
25761:
25186:
24919:
24891:
24439:
24340:
24320:
24288:
24243:
24216:
24177:
24157:
24133:
24066:
23934:
23893:
23831:
23660:
23141:
23106:
23040:
23020:
23000:
22964:
22831:
22791:
22581:
22561:
22541:
22521:
22490:
22421:
22371:
22336:
22199:
22137:
22000:
21938:
21756:
21684:
21643:
21485:
21385:
21273:
21238:
21042:
20963:
20928:
20901:
20847:
20606:
20564:
20517:
20334:
20284:
20252:
20210:
20024:
19979:
19941:
19896:
19864:
19837:
19810:
19778:
19746:
19714:
19687:
19655:
19478:
19219:
18954:
18934:
18920:Step 2: Properties of
18912:
18849:
18779:
18704:
18684:
18664:
18644:
18621:
18584:
18556:
17943:
17917:
17897:
17871:
17845:
17825:
17805:
17779:
17743:
17717:
17647:
17585:
17523:
17311:
17157:
16368:
16330:
16280:
16080:
15665:
15664:{\displaystyle r>0}
15639:
15527:
15253:
15189:function at the point
15086:
14902:
14858:
14681:
14473:
14431:
14199:
14145:
14042:converges on any disc
14029:
14000:
13972:
13838:
13749:
13742:
13710:
13678:
13658:
13626:
13599:
13579:
13511:
13257:
13184:
13151:
13123:
12870:
12774:
12748:
12719:
12687:
12618:
12437:complex differentiable
12427:
12155:
11963:
11883:
11842:
11792:
11726:
11621:
11373:complex differentiable
11365:complex differentiable
11336:
11007:
10886:complex differentiable
10866:complex differentiable
10743:
10717:
10660:
10501:mathematical induction
10487:
10306:
10232:
10048:
9908:), then for any order
9856:
9737:
9682:, as explained below;
9640:
9570:
9513:
9381:
9268:
9203:
9110:
9014:
8965:
8882:
8790:
8639:
8498:
8467:
8277:
8248:
8247:{\textstyle 9!=362880}
8213:
8093:
7918:
7776:
7644:
7612:
7578:, we use the property
7572:
7540:
7505:
7464:
7417:
7395:
7210:
7190:
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7100:
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7009:
6891:
6856:
6817:
6810:
6784:
6746:
6719:
6628:
6470:
6469:{\displaystyle r>0}
6419:
6331:
6164:
6046:
6026:
5991:
5858:
5838:
5810:
5748:
5707:
5643:
5623:
5603:
5581:
5421:
5401:
5373:
5335:
5309:
5263:
5243:
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5196:
5032:
5031:{\displaystyle p>0}
4996:
4976:
4956:
4927:
4780:
4760:
4740:
4711:
4578:
4558:
4473:
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4273:
4131:
4084:
3869:
3835:
3777:
3439:
3364:
3301:
3230:
3200:
3173:
3149:
3103:
3048:
3041:
2989:
2988:{\displaystyle (-1,1)}
2954:
2928:
2902:
2864:
2837:
2763:
2724:
2695:
2571:
2429:
2396:
2370:
2339:
2193:
2167:
2160:
2134:
2064:
2015:
1964:
1903:
1780:
1741:
1691:
1660:
1570:
1392:
1362:
1333:
1326:
1300:
1249:
1120:
1091:
1071:
1043:
892:Limit of distributions
712:Directional derivative
368:Faà di Bruno's formula
166:
68:
61:
29357:logarithmic functions
29352:exponential functions
29268:Generality of algebra
29146:Tests of convergence
28772:Differential equation
28756:Further applications
28745:Extreme value theorem
28735:First derivative test
28629:Differential operator
28601:Differential calculus
28369:Tao, Terence (2014),
28227:Mathematical analysis
28225:Apostol, Tom (1974),
28013:
27961:
27959:{\displaystyle (0,1)}
27911:
27909:{\displaystyle (0,1)}
27863:
27861:{\displaystyle (0,1)}
27819:
27784:
27782:{\displaystyle (0,1]}
27752:
27687:
27667:
27628:
27608:
27573:
27553:
27530: + 1 times
27513:
27493:
27245:
26903:
26821:
26778:
26440:
26273:
26212:
26157:
26093:
26071:
26049:
26027:
26005:
25985:
25963:
25943:
25917:
25866:
25846:
25820:
25794:
25762:
25187:
24920:
24892:
24440:
24341:
24321:
24289:
24244:
24242:{\displaystyle L^{1}}
24217:
24178:
24158:
24134:
24084:absolutely continuous
24067:
23935:
23894:
23832:
23661:
23142:
23107:
23041:
23021:
23001:
22965:
22832:
22830:{\displaystyle t\in }
22792:
22582:
22562:
22542:
22522:
22491:
22401:
22372:
22337:
22173:
22138:
21974:
21939:
21757:
21685:
21644:
21459:
21386:
21274:
21239:
21043:
20964:
20962:{\displaystyle (a,b)}
20929:
20927:{\displaystyle c_{n}}
20902:
20848:
20607:
20565:
20518:
20335:
20285:
20283:{\displaystyle (a,b)}
20253:
20211:
20025:
19980:
19942:
19897:
19895:{\displaystyle (a,x)}
19870:be differentiable on
19865:
19863:{\displaystyle g_{1}}
19838:
19836:{\displaystyle f_{1}}
19811:
19779:
19747:
19715:
19713:{\displaystyle g_{1}}
19688:
19686:{\displaystyle f_{1}}
19656:
19479:
19220:
18955:
18935:
18913:
18850:
18753:
18705:
18685:
18665:
18645:
18622:
18585:
18557:
17944:
17918:
17898:
17872:
17846:
17826:
17806:
17780:
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1183:mathematical physics
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1110:
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1033:
981:Nonstandard analysis
449:Lebesgue integration
319:Rules and identities
90:
60:{\textstyle y=e^{x}}
38:
18:Taylor approximation
29409:List of derivatives
29245:History of calculus
29160:Cauchy condensation
29057:Exterior derivative
29014:Lagrange multiplier
28750:Maximum and minimum
28581:Limit of a sequence
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28516:Graph of a function
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15127:. Then we say that
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10679:− 1). The function
10326:The limit function
10121:converges uniformly
9389:Here the functions
8906:, it must converge
8898:converges for some
7930:and minimizing the
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5781: —
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4379:when approximating
4377:approximation error
3841:This is called the
3467: —
3229:{\textstyle x\to a}
1779:{\textstyle y=f(x)}
652:Cauchy condensation
454:Contour integration
180:Fundamental theorem
107:
29342:rational functions
29309:Method of Fluxions
29155:Alternating series
29052:Differential forms
29034:Partial derivative
28994:Divergence theorem
28876:Quadratic integral
28644:Leibniz's notation
28634:Mean value theorem
28619:Partial derivative
28564:Indeterminate form
28371:Analysis, Volume I
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27508:
27488:
27463:The hypothesis of
27387:Fratelli Bocca ed.
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14950:, so the notation
14940:Clairaut's theorem
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