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1287:
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1139:
959:
369:
The first case corresponds to an upward-sloping vertical tangent, and the second case to a downward-sloping vertical tangent. The graph of ƒ has a vertical tangent at
974:
748:{\displaystyle \lim _{h\to 0^{-}}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={+\infty }\quad {\text{and}}\quad \lim _{h\to 0^{+}}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={-\infty }{\text{,}}}
761:
As with vertical tangents, vertical cusps can sometimes be detected for a continuous function by examining the limit of the derivative. For example, if
359:{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={+\infty }\quad {\text{or}}\quad \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={-\infty }.}
32:
90:
474:
394:
62:
69:
888:{\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f'(x)={-\infty }\quad {\text{and}}\quad \lim _{x\to a^{+}}f'(x)={+\infty }{\text{,}}}
76:
1436:
1404:{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}g'(x)\;=\;\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {2}{3{\sqrt{x}}}}\;=\;{+\infty }{\text{.}}}
1271:{\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}g'(x)\;=\;\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {2}{3{\sqrt{x}}}}\;=\;{-\infty }{\text{,}}}
758:
then the graph of ƒ will have a vertical cusp that slopes up on the left side and down on the right side.
47:
58:
1093:
195:
920:
171:
1077:{\displaystyle \lim _{x\to 0}f'(x)\;=\;\lim _{x\to 0}{\frac {1}{3{\sqrt{x^{2}}}}}\;=\;\infty .}
163:
388:, it is often possible to detect a vertical tangent by taking the limit of the derivative. If
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568:
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are both infinite, but one is positive and the other is negative. For example, if
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548:. In these situations, the vertical tangent to ƒ appears as a vertical
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then ƒ must have a downward-sloping vertical tangent at
159:
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that slopes down on the left side and up on the right side.
460:
then ƒ must have an upward-sloping vertical tangent at
530:{\displaystyle \lim _{x\to a}f'(x)={-\infty }{\text{,}}}
450:{\displaystyle \lim _{x\to a}f'(x)={+\infty }{\text{,}}}
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then the graph of ƒ will have a vertical cusp at
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968: = 0, since it is continuous and
182:A function ƒ has a vertical tangent at
48:introducing citations to additional sources
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560:Closely related to vertical tangents are
381:is either positive or negative infinity.
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38:Relevant discussion may be found on the
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1134:{\displaystyle g(x)={\sqrt{x^{2}}}}
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170:has a vertical tangent is not
155:. Because a vertical line has
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1421:Vertical Tangents and Cusps
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964:has a vertical tangent at
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1423:. Retrieved May 12, 2006.
1087:Similarly, the function
1144:has a vertical cusp at
567:. This occurs when the
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