4777:
4756:
7554:
6695:
7549:{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=0}^{N^{(n)}-1}f(t_{i})(x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})&\leq &\sum _{i=0}^{N^{(n)}-1}\left(\inf _{x\in \left}f(x)+\epsilon \right)(x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})&\ \ \ \\&=&\sum _{i=0}^{N^{(n)}-1}\inf _{x\in \left}f(x)(x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})+\sum _{i=0}^{N-1}\epsilon (x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})\\&=&\sum _{i=0}^{N^{(n)}-1}\inf _{x\in \left}f(x)(x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})+\epsilon (b-a).\end{aligned}}}
5339:
2663:
25:
2312:
260:
8009:
4014:
4317:
2331:
8297:
3121:
2892:
2022:
145:, meaning that a function is Darboux-integrable if and only if it is Riemann-integrable, and the values of the two integrals, if they exist, are equal. The definition of the Darboux integral has the advantage of being easier to apply in computations or proofs than that of the Riemann integral. Consequently, introductory textbooks on
1467:
7614:
5325:
4952:
3696:
6242:
From the previous fact, Riemann integrals are at least as strong as
Darboux integrals: if the Darboux integral exists, then the upper and lower Darboux sums corresponding to a sufficiently fine partition will be close to the value of the integral, so any Riemann sum over the same partition will also
4025:
2658:{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\leq {\underline {\int _{a}^{b}}}(f(x)+g(x))\,dx\\{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\geq {\overline {\int _{a}^{b}}}(f(x)+g(x))\,dx\end{aligned}}}
8020:
2907:
2678:
2307:{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\underline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\\{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\overline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}}
6243:
be close to the value of the integral. There is (see below) a tagged partition that comes arbitrarily close to the value of the upper
Darboux integral or lower Darboux integral, and consequently, if the Riemann integral exists, then the Darboux integral must exist as well.
246:
which over- and underestimate, respectively, the "area under the curve." In particular, for a given partition of the interval of integration, the upper and lower sums add together the areas of rectangular slices whose heights are the supremum and infimum, respectively, of
3250:
4740:
8534:
1319:
8004:{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=0}^{N^{(n)}-1}f(t_{i})(x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})&\leq &\sum _{i=0}^{N^{(n)}-1}\inf _{x\in \left}f(x)(x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})+{\frac {1}{n}}\\&=&L_{f,P^{(n)}}+{\frac {1}{n}}\end{aligned}}}
789:
5029:
4858:
1999:
4009:{\displaystyle {\begin{aligned}L_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k-1})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k-1}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left\end{aligned}}}
8389:
1891:
4312:{\displaystyle {\begin{aligned}U_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}k\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left\end{aligned}}}
6134:
8292:{\displaystyle {\begin{aligned}R_{f}=\sum _{i=0}^{N^{(n)}-1}f(t_{i})(x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})\leq \lim _{n\to \infty }L_{f,P^{(n)}}+\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=\lim _{n\to \infty }L_{f,P^{(n)}}.\end{aligned}}}
1308:
1210:
1688:
6687:
1104:
947:
3116:{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\\{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}}
2887:{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\\{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}}
2912:
2683:
2336:
2027:
4566:
404:
4402:
1596:
8313:
8025:
7619:
6700:
5034:
4863:
4030:
3701:
3137:
1324:
618:
3132:
4491:
5583:
5859:
4597:
6237:
5770:
5704:
1699:
For any given partition, the upper
Darboux sum is always greater than or equal to the lower Darboux sum. Furthermore, the lower Darboux sum is bounded below by the rectangle of width (
5644:
6027:
5969:
570:
6340:
6296:
3548:, the infimum on any particular subinterval is given by its starting point. Likewise the supremum on any particular subinterval is given by its end point. The starting point of the
1462:{\displaystyle {\begin{aligned}&{}L_{f}\equiv {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} x,\\&{}U_{f}\equiv {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} x,\end{aligned}}}
6542:
8400:
5440:
5394:
7606:
4850:
509:
149:
and real analysis often develop
Riemann integration using the Darboux integral, rather than the true Riemann integral. Moreover, the definition is readily extended to defining
4431:
5908:
5514:
6440:
6411:
4981:
5320:{\displaystyle {\begin{aligned}L_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\inf _{x\in }f=0\\U_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\sup _{x\in }f=1\end{aligned}}}
4947:{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\begin{cases}0&{\text{if }}x{\text{ is rational}}\\1&{\text{if }}x{\text{ is irrational}}\end{cases}}\end{aligned}}}
3633:
613:
3514:
3317:
8564:
4458:
3688:
3593:
3476:
327:
3661:
3429:
1902:
8308:
6161:
5021:
5001:
4589:
3566:
3449:
3401:
994:
974:
837:
817:
232:
194:
6372:
3546:
3381:
3349:
1728:
605:
459:
300:
6035:
9195:
1229:
1131:
1618:
6547:
1002:
845:
1313:
In some literature, an integral symbol with an underline and overline represent the lower and upper
Darboux integrals respectively:
9090:
8995:
89:
8622:
4499:
335:
61:
4328:
9000:
8975:
3245:{\displaystyle {\begin{aligned}&{}F:\to \mathbb {R} \\&{}F(x)={\underline {\int _{a}^{x}}}f(t)\,dt,\end{aligned}}}
1519:
9073:
8825:
68:
8905:
8785:
9068:
8990:
8655:
150:
108:
42:
5519:
In other words, to make a refinement, cut the subintervals into smaller pieces and do not remove any existing cuts.
4735:{\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)\,dx=\lim _{n\to \infty }U_{f,P_{n}}=\lim _{n\to \infty }L_{f,P_{n}}={\frac {1}{2}}}
4463:
9005:
8970:
5795:
75:
8985:
6181:
8920:
8880:
8688:
46:
5588:
5525:
238:
exists if and only if the upper and lower integrals are equal. The upper and lower integrals are in turn the
8980:
8764:
5974:
5916:
517:
57:
8529:{\displaystyle R_{f}\leq \lim _{n\to \infty }L_{f,P^{(n)}}\leq \lim _{n\to \infty }U_{f,P^{(n)}}\leq R_{f},}
6304:
6260:
5715:
9159:
6445:
5652:
9144:
8943:
8759:
5399:
5353:
7562:
4809:
468:
9113:
9080:
8948:
8591:
4410:
5870:
5467:
6419:
6377:
4890:
8958:
8680:
2326:
is also a bounded function, then the upper and lower integrals satisfy the following inequalities:
268:
4964:
8818:
8754:
35:
784:{\displaystyle {\begin{aligned}M_{i}=\sup _{x\in }f(x),\\m_{i}=\inf _{x\in }f(x).\end{aligned}}}
8745:
197:
138:
5913:
Riemann sums always lie between the corresponding lower and upper
Darboux sums. Formally, if
82:
9118:
9020:
4776:
4755:
3598:
8672:
8639:
5003:
takes on the value of 0 and 1 on every subinterval of any partition. Thus for any partition
3484:
3287:
1994:{\displaystyle {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\leq {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx}
8965:
8855:
8647:
8586:
8542:
4436:
3666:
3571:
3454:
3263:
305:
239:
8384:{\displaystyle {\begin{aligned}R_{f}\geq \lim _{n\to \infty }U_{f,P^{(n)}}.\end{aligned}}}
5789:
are two partitions of the same interval (one need not be a refinement of the other), then
8:
9100:
9015:
9010:
8900:
8673:
3638:
3406:
1886:{\displaystyle (b-a)\inf _{x\in }f(x)\leq L_{f,P}\leq U_{f,P}\leq (b-a)\sup _{x\in }f(x)}
9123:
9060:
8953:
8925:
8890:
8811:
8581:
6146:
5006:
4986:
4804:
4574:
3551:
3434:
3386:
979:
959:
822:
802:
202:
179:
6345:
3519:
3354:
3322:
578:
412:
273:
9172:
9149:
9085:
9055:
9047:
9025:
8895:
8781:
8774:
8731:
8684:
8651:
8618:
6129:{\displaystyle x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}}
8726:
9167:
9030:
8915:
8870:
8865:
8860:
8850:
6140:
1711:) taken over . Likewise, the upper sum is bounded above by the rectangle of width (
170:
142:
5342:
When passing to a refinement, the lower sum increases and the upper sum decreases.
9154:
9037:
8910:
8640:
8612:
9108:
5333:
263:
Lower (green) and upper (green plus lavender) Darboux sums for four subintervals
2318:
The lower and upper
Darboux integrals are not necessarily linear. Suppose that
154:
8794:
5330:
from which we can see that the lower and upper
Darboux integrals are unequal.
9189:
9139:
122:
1109:
The lower and upper
Darboux sums are often called the lower and upper sums.
8885:
4958:
251:
in each subinterval of the partition. These ideas are made precise below:
1303:{\displaystyle L_{f}=\sup\{L_{f,P}\colon P{\text{ is a partition of }}\}.}
1205:{\displaystyle U_{f}=\inf\{U_{f,P}\colon P{\text{ is a partition of }}\}.}
173:
1683:{\displaystyle U_{f,P_{\epsilon }}-L_{f,P_{\epsilon }}<\varepsilon .}
1601:
An equivalent and sometimes useful criterion for the integrability of
5338:
6682:{\displaystyle \inf _{x\in \left}f(x)\geq f(t_{i}^{(n)})-\epsilon .}
24:
8834:
4591:
is
Darboux integrable. To find the value of the integral note that
146:
134:
5451:
1099:{\displaystyle L_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})m_{i}.\,\!}
942:{\displaystyle U_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})M_{i}.\,\!}
8610:
5334:
Refinement of a partition and relation to Riemann integration
8803:
1605:
is to show that for every Īµ > 0 there exists a partition
4936:
1472:
and like Darboux sums they are sometimes simply called the
259:
8539:
which means that the Darboux integral exists and equals
4561:{\displaystyle U_{f,P_{n}}-L_{f,P_{n}}<\varepsilon }
399:{\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b.}
4397:{\displaystyle U_{f,P_{n}}-L_{f,P_{n}}={\frac {1}{n}}}
8545:
8403:
8311:
8023:
7617:
7565:
6698:
6550:
6448:
6422:
6380:
6348:
6307:
6263:
6184:
6149:
6038:
5977:
5919:
5873:
5798:
5718:
5655:
5591:
5528:
5470:
5402:
5356:
5032:
5009:
4989:
4967:
4861:
4812:
4600:
4577:
4502:
4466:
4439:
4413:
4331:
4028:
3699:
3669:
3641:
3601:
3574:
3554:
3522:
3487:
3457:
3437:
3409:
3389:
3357:
3325:
3290:
3135:
2910:
2681:
2334:
2025:
1905:
1731:
1621:
1522:
1322:
1232:
1134:
1005:
982:
962:
848:
825:
805:
616:
581:
520:
471:
415:
338:
308:
276:
205:
182:
153:. Darboux integrals are named after their inventor,
1591:{\displaystyle \int _{a}^{b}{f(t)\,dt}=U_{f}=L_{f}.}
6257:For this proof, we shall use superscripts to index
4957:Since the rational and irrational numbers are both
49:. Unsourced material may be challenged and removed.
8773:
8675:Principles of Mathematical Analysis (3rd. edition)
8558:
8528:
8383:
8291:
8003:
7600:
7548:
6681:
6536:
6434:
6405:
6366:
6334:
6290:
6231:
6155:
6128:
6021:
5963:
5902:
5853:
5764:
5698:
5638:
5577:
5508:
5434:
5388:
5319:
5015:
4995:
4975:
4946:
4844:
4734:
4583:
4560:
4485:
4452:
4425:
4396:
4311:
4008:
3682:
3655:
3627:
3587:
3560:
3540:
3508:
3470:
3443:
3423:
3395:
3375:
3343:
3311:
3244:
3115:
2886:
2657:
2306:
1993:
1885:
1682:
1590:
1461:
1302:
1204:
1098:
988:
968:
941:
831:
811:
783:
599:
564:
503:
453:
398:
321:
294:
226:
188:
3351:and determine its value. To do this we partition
1095:
938:
165:The definition of the Darboux integral considers
9187:
8646:. Houston, TX: Publish Or Perish, Inc. pp.
8466:
8418:
8330:
8302:Similarly, (with a different sequences of tags)
8238:
8209:
8161:
7788:
7376:
7091:
6874:
6552:
5257:
5117:
4681:
4639:
3279:
1844:
1748:
1246:
1148:
715:
635:
4486:{\displaystyle n>{\frac {1}{\varepsilon }}}
1897:The lower and upper Darboux integrals satisfy
8819:
8795:"Equivalence of Darboux and Riemann integral"
4019:similarly, the upper Darboux sum is given by
6394:
6381:
5854:{\displaystyle L_{f,P_{1}}\leq U_{f,P_{2}},}
3663:. Thus the lower Darboux sum on a partition
1294:
1249:
1196:
1151:
4798:
3270:is defined using an upper Darboux integral.
8826:
8812:
8617:. Dellen Publishing Company. p. 396.
8611:David J. Foulis; Mustafa A. Munem (1989).
6232:{\displaystyle L_{f,P}\leq R\leq U_{f,P}.}
3403:equally sized subintervals each of length
3284:Suppose we want to show that the function
6342:be a sequence of arbitrary partitions of
4969:
4838:
4628:
3228:
3168:
3102:
3051:
3003:
2952:
2873:
2822:
2774:
2723:
2644:
2575:
2531:
2486:
2417:
2373:
2293:
2249:
2201:
2156:
2112:
2064:
1984:
1940:
1551:
1443:
1377:
1094:
937:
497:
109:Learn how and when to remove this message
9091:Common integrals in quantum field theory
5639:{\displaystyle P=(x_{0},\ldots ,x_{n}),}
5578:{\displaystyle P'=(y_{0},\ldots ,y_{m})}
5337:
258:
9196:Definitions of mathematical integration
9001:Differentiation under the integral sign
6022:{\displaystyle T=(t_{1},\ldots ,t_{n})}
5964:{\displaystyle P=(x_{0},\ldots ,x_{n})}
565:{\displaystyle P=(x_{0},\ldots ,x_{n})}
16:Integral constructed using Darboux sums
9188:
8771:
8637:
6416:By the definition of infimum, for any
6335:{\displaystyle \left\{P^{(n)}\right\}}
6291:{\displaystyle \left\{P^{(n)}\right\}}
3319:is Darboux-integrable on the interval
141:. Darboux integrals are equivalent to
133:and is one possible definition of the
8807:
8670:
5765:{\displaystyle L_{f,P}\leq L_{f,P'}.}
6537:{\displaystyle t_{i}^{(n)}\in \left}
6413:, whose tags are to be determined.
5699:{\displaystyle U_{f,P}\geq U_{f,P'}}
1497:, then we call the common value the
1112:
47:adding citations to reliable sources
18:
5435:{\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}
5389:{\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}
4782:Darboux lower sums of the function
4761:Darboux upper sums of the function
167:upper and lower (Darboux) integrals
13:
8679:. New York: McGraw-Hill. pp.
8476:
8428:
8340:
8248:
8219:
8171:
7601:{\displaystyle \epsilon =1/n(b-a)}
4845:{\displaystyle f:\to \mathbb {R} }
4691:
4649:
1445:
1379:
504:{\displaystyle f:\to \mathbb {R} }
14:
9207:
8780:(4 ed.), Publish or Perish,
6029:together make a tagged partition
4426:{\displaystyle \varepsilon >0}
5903:{\displaystyle L_{f}\leq U_{f}.}
4775:
4754:
23:
8749:at Encyclopaedia of Mathematics
5509:{\displaystyle x_{i}=y_{r(i)}.}
3266:. An identical result holds if
511:be a bounded function, and let
302:is a finite sequence of values
254:
34:needs additional citations for
8706:
8697:
8664:
8631:
8604:
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8062:
8014:Taking limits of both sides,
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7971:
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6435:{\displaystyle \epsilon >0}
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3491:
3451:equally sized subintervals as
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490:
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416:
289:
277:
244:upper and lower (Darboux) sums
218:
206:
1:
8833:
8719:
6298:and variables related to it.
6143:), and if the Riemann sum of
6139:(as in the definition of the
4433:, we have that any partition
3280:A Darboux-integrable function
1693:
1276: is a partition of
1178: is a partition of
160:
151:RiemannāStieltjes integration
6251:Details of finding the tags
6247:
4976:{\displaystyle \mathbb {R} }
3031:
2986:
2856:
2802:
2606:
2558:
2514:
2276:
2232:
2184:
1967:
1426:
7:
8906:LebesgueāStieltjes integral
8760:Encyclopedia of Mathematics
8575:
3431:. We denote a partition of
3274:
10:
9212:
8921:RiemannāStieltjes integral
8881:HenstockāKurzweil integral
8592:Minimum bounding rectangle
3516:is strictly increasing on
9160:Proof that 22/7 exceeds Ļ
9132:
9099:
9046:
8934:
8841:
1474:lower and upper integrals
8772:Spivak, Michael (2008),
8712:Spivak 2008, chapter 13.
8614:After Calculus: Analysis
8597:
4799:A nonintegrable function
269:partition of an interval
9145:EulerāMaclaurin formula
8642:Calculus (3rd. edition)
6442:, we can always find a
3628:{\displaystyle (k-1)/n}
9114:RussoāVallois integral
9081:BoseāEinstein integral
8996:Parametric derivatives
8560:
8530:
8385:
8293:
8080:
8005:
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7661:
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7089:
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3542:
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3509:{\displaystyle f(x)=x}
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3397:
3377:
3345:
3313:
3312:{\displaystyle f(x)=x}
3246:
3127:Consider the function
3117:
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2659:
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601:
566:
505:
465:of the partition. Let
455:
400:
323:
296:
264:
228:
190:
169:, which exist for any
9119:Stratonovich integral
9065:FermiāDirac integral
9021:Numerical integration
8561:
8559:{\displaystyle R_{f}}
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6703:
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4978:
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4455:
4453:{\displaystyle P_{n}}
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4011:
3904:
3825:
3734:
3685:
3683:{\displaystyle P_{n}}
3658:
3635:and the end point is
3630:
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3563:
3543:
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3473:
3471:{\displaystyle P_{n}}
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3378:
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401:
324:
322:{\displaystyle x_{i}}
297:
262:
229:
191:
129:is constructed using
9101:Stochastic integrals
8587:Lebesgue integration
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7563:
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6305:
6261:
6182:
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6036:
5975:
5917:
5871:
5864:and it follows that
5796:
5716:
5653:
5589:
5526:
5468:
5400:
5354:
5030:
5007:
4987:
4965:
4859:
4810:
4803:Suppose we have the
4598:
4575:
4500:
4464:
4437:
4411:
4329:
4026:
3697:
3667:
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3552:
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3485:
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3435:
3407:
3387:
3355:
3323:
3288:
3264:Lipschitz continuous
3133:
2908:
2679:
2332:
2023:
1903:
1729:
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1520:
1320:
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1132:
1003:
980:
960:
846:
823:
803:
614:
579:
518:
469:
413:
336:
306:
274:
240:infimum and supremum
203:
180:
43:improve this article
9011:Contour integration
8901:Kolmogorov integral
8638:Spivak, M. (1994).
8153:
8129:
7926:
7902:
7853:
7823:
7734:
7710:
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7490:
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7411:
7319:
7295:
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7205:
7156:
7126:
7023:
6999:
6939:
6909:
6815:
6791:
6666:
6617:
6587:
6528:
6498:
6469:
5585:is a refinement of
4930: is irrational
4615:
4407:Thus for given any
3656:{\displaystyle k/n}
3568:-th subinterval in
3424:{\displaystyle 1/n}
3210:
3084:
3030:
2985:
2931:
2855:
2801:
2756:
2702:
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2513:
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2355:
2275:
2231:
2183:
2138:
2094:
2046:
1966:
1922:
1537:
1501:. We also say that
1425:
1359:
242:, respectively, of
9124:Skorokhod integral
9061:Dirichlet integral
9048:Improper integrals
8991:Reduction formulas
8926:Regulated integral
8891:Hellinger integral
8727:"Darboux Integral"
8671:Rudin, W. (1976).
8582:Regulated integral
8556:
8526:
8480:
8432:
8381:
8379:
8344:
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8287:
8252:
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8175:
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7003:
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5442:such that for all
5432:
5386:
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5317:
5315:
5303:
5163:
5013:
4993:
4983:, it follows that
4973:
4944:
4942:
4935:
4842:
4805:Dirichlet function
4732:
4695:
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2706:
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2653:
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2433:
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2341:
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2302:
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2217:
2169:
2142:
2124:
2098:
2080:
2050:
2032:
1991:
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