112:, on each iteration using the result from the previous iteration to compute a digit sum. The process continues until a single-digit number is reached. For example, in base 10, the digital root of the number 12345 is 6 because the sum of the digits in the number is 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, then the addition process is repeated again for the resulting number 15, so that the sum of 1 + 5 equals 6, which is the digital root of that number. In base 10, this is equivalent to taking the remainder upon division by 9 (except when the digital root is 9, where the remainder upon division by 9 will be 0), which allows it to be used as a
25:
8138:
2827:
1799:
1616:
1433:
1250:
2319:
2136:
3644:
5506:
The next number in the sequence (the smallest number of additive persistence 5) is 2 Ă 10 â 1 (that is, 1 followed by 2 222 222 222 222 222 222 222 nines). For any fixed base, the sum of the digits of a number is proportional to its
2997:
5377:
2587:
4577:
4892:
1622:
1439:
1256:
4309:
3777:, where higher digits except for the unit digit vanish (since 2 and 5 divide powers of 10), which corresponds to the familiar fact that the divisibility of a decimal number with respect to 2, 5, and 10 can be checked by the last digit.
5028:
1076:
2142:
5240:
4437:
1962:
4737:
3405:
860:
2551:
2838:
2822:{\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(n)={\begin{cases}0&{\mbox{if}}\ n=0,\\b-1&{\mbox{if}}\ n\neq 0,\ n\ \equiv 0{\pmod {(b-1)}},\\n{\bmod {(b-1)}}&{\mbox{if}}\ n\not \equiv 0{\pmod {(b-1)}}\end{cases}}}
469:
1906:
3956:
216:
3183:
2414:
3308:
3397:
351:
295:
722:
1794:{\displaystyle d_{3}={\frac {3110{\bmod {12^{3+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{3}}{12^{3}}}={\frac {3110{\bmod {20736}}-3110{\bmod {1}}728}{1728}}={\frac {3110-1382}{1728}}={\frac {1728}{1728}}=1}
3870:
3106:
3775:
1611:{\displaystyle d_{2}={\frac {3110{\bmod {12^{2+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{2}}{12^{2}}}={\frac {3110{\bmod {1728}}-3110{\bmod {1}}44}{144}}={\frac {1382-86}{144}}={\frac {1296}{144}}=9}
4944:
4206:
5161:
5072:
3728:
1955:
4102:
1027:
995:
4626:
4358:
2470:
1428:{\displaystyle d_{1}={\frac {3110{\bmod {12^{1+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{1}}{12^{1}}}={\frac {3110{\bmod {144}}-3110{\bmod {1}}2}{12}}={\frac {86-2}{12}}={\frac {84}{12}}=7}
960:
569:
4214:
649:
2509:
1069:
915:
889:
168:
5235:
5208:
4732:
4700:
4673:
4432:
4405:
4062:
3992:
3810:
3230:
3049:
623:
527:
6086:
1245:{\displaystyle d_{0}={\frac {3110{\bmod {12^{0+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{0}}{12^{0}}}={\frac {3110{\bmod {12}}-3110{\bmod {1}}}{1}}={\frac {2-0}{1}}={\frac {2}{1}}=2}
4154:
4128:
4026:
2314:{\displaystyle d_{1}={\frac {19{\bmod {12^{1+1}}}-19{\bmod {1}}2^{1}}{12^{1}}}={\frac {19{\bmod {144}}-19{\bmod {1}}2}{12}}={\frac {19-7}{12}}={\frac {12}{12}}=1}
4919:
5486:
5466:
5446:
5426:
5181:
5116:
5092:
4939:
4646:
4378:
4177:
3691:
3667:
3203:
2579:
592:
492:
371:
142:
6240:
2131:{\displaystyle d_{0}={\frac {19{\bmod {12^{0+1}}}-19{\bmod {1}}2^{0}}{12^{0}}}={\frac {19{\bmod {12}}-19{\bmod {1}}}{1}}={\frac {7-0}{1}}={\frac {7}{1}}=7}
3639:{\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(n)\equiv d_{2}b^{2}+d_{1}b^{1}+d_{0}b^{0}\equiv d_{2}(1)+d_{1}(1)+d_{0}(1)\equiv d_{2}+d_{1}+d_{0}{\pmod {(b-1)}}.}
6118:
733:
2992:{\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(n)={\begin{cases}0&{\mbox{if}}\ n=0,\\1\ +\ ((n-1){\bmod {(b-1)}})&{\mbox{if}}\ n\neq 0.\end{cases}}}
6006:
5931:
2513:
6040:
5372:{\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(a_{1}a_{2})=\operatorname {dr} _{b}(\operatorname {dr} _{b}(a_{1})\cdot \operatorname {dr} _{b}(a_{2})).}
379:
54:
4572:{\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(a_{1}+a_{2})=\operatorname {dr} _{b}(\operatorname {dr} _{b}(a_{1})+\operatorname {dr} _{b}(a_{2})).}
6002:
4887:{\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(a_{1}-a_{2})\equiv (\operatorname {dr} _{b}(a_{1})-\operatorname {dr} _{b}(a_{2})){\pmod {(b-1)}}.}
5523:
The example below implements the digit sum described in the definition above to search for digital roots and additive persistences in
8172:
5499:
3013:
5405:
is 2: first we find that 2 + 7 + 1 + 8 = 18, then that 1 + 8 = 9.
1805:
6233:
5912:, but certain numbers deemed to have occult significance (such as 11 and 22) are not always completely reduced to a single digit.
3875:
178:
3111:
6168:
6098:
6054:
2325:
5917:
3235:
7040:
6226:
4002:
It helps to see the digital root of a positive integer as the position it holds with respect to the largest multiple of
3313:
7035:
303:
7050:
6020:
224:
76:
7030:
47:
7743:
7323:
657:
6044:
3815:
7045:
6156:
3054:
7829:
5524:
3737:
8167:
7495:
7145:
6814:
6607:
7671:
7530:
7361:
7175:
7165:
6819:
6799:
5961:
7500:
5492:
0, 10, 19, 199, 19 999 999 999 999 999 999 999, ... (sequence
7620:
7243:
7085:
7000:
6809:
6791:
6685:
6675:
6665:
6501:
4185:
7525:
5126:
5037:
3696:
7748:
7293:
6914:
6700:
6695:
6690:
6680:
6657:
6152:
6011:, Dover Books on Mathematics (reprinted ed.), Mineola, NY: Courier Dover Publications, pp.
1918:
499:
37:
7505:
2872:
2621:
7170:
7080:
6733:
4067:
41:
33:
1000:
968:
7859:
7824:
7610:
7520:
7394:
7369:
7278:
7268:
6990:
6880:
6862:
6782:
5390:
4591:
4323:
2433:
595:
6194:
4304:{\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(n)=n-(b-1)\left\lfloor {\frac {n-1}{b-1}}\right\rfloor .}
923:
532:
8177:
8119:
7389:
7263:
6894:
6670:
6450:
6377:
58:
6106:
6028:
8083:
7723:
7374:
7228:
7155:
6310:
6140:
6074:
628:
3310:, which explains why digits can be meaningfully added. Concretely, for a three-digit number
2488:
1048:
894:
868:
147:
8016:
7910:
7874:
7615:
7338:
7318:
7135:
6804:
6592:
5213:
5186:
5023:{\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(-n)\equiv -\operatorname {dr} _{b}(n){\bmod {b-1}}.}
4705:
4678:
4651:
4410:
4383:
4035:
3965:
3783:
3208:
3022:
601:
505:
7095:
6564:
6012:
8:
7738:
7602:
7597:
7565:
7328:
7303:
7298:
7273:
7203:
7199:
7130:
7020:
6852:
6648:
6617:
4133:
4107:
4005:
4901:
8141:
7895:
7890:
7804:
7778:
7676:
7655:
7427:
7308:
7258:
7180:
7150:
7090:
6857:
6837:
6768:
6481:
5512:
5471:
5451:
5431:
5411:
5166:
5101:
5077:
4924:
4631:
4363:
4162:
3676:
3652:
3188:
2564:
577:
477:
356:
127:
7025:
8137:
8035:
7980:
7834:
7809:
7783:
7238:
7233:
7160:
7140:
7125:
6847:
6829:
6748:
6738:
6723:
6486:
6201:
6164:
6130:
6094:
6050:
6016:
5951:
5941:
113:
7560:
8162:
8071:
7864:
7450:
7422:
7412:
7404:
7288:
7253:
7248:
7215:
6909:
6872:
6763:
6758:
6753:
6743:
6715:
6602:
6549:
6506:
6445:
6554:
8047:
7936:
7869:
7795:
7718:
7692:
7510:
7223:
7015:
6985:
6975:
6970:
6636:
6544:
6491:
6335:
6275:
6204:
6176:
5998:
855:{\displaystyle F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}<\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}=n}
8052:
7920:
7905:
7769:
7733:
7708:
7584:
7555:
7540:
7417:
7313:
7283:
7010:
6965:
6842:
6440:
6435:
6430:
6402:
6387:
6300:
6285:
6263:
6250:
5956:
4180:
98:
8156:
7975:
7959:
7900:
7854:
7550:
7535:
7445:
6728:
6597:
6559:
6516:
6397:
6382:
6372:
6330:
6320:
6295:
6218:
6134:
5915:
Digital roots form an important mechanic in the visual novel adventure game
4032:
the digital root of 11 is 2, which means that 11 is the second number after
2546:{\displaystyle \operatorname {dr} _{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }
8011:
8000:
7915:
7753:
7728:
7545:
7515:
7490:
7474:
7379:
7346:
7069:
6980:
6919:
6496:
6392:
6325:
6305:
6280:
6181:
6145:
6111:
6079:
6033:
5408:
There is no limit to the additive persistence of a number in a number base
5095:
3670:
6163:, Dover Recreational Mathematics (13th ed.), NY: Dover Publications,
464:{\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}
7970:
7845:
7650:
7114:
7005:
6960:
6955:
6705:
6612:
6511:
6340:
6315:
6290:
6093:, vol. 1 (2nd ed.), Cambridge, U.K.: CUP Archive, p. 101,
5488:. The smallest numbers of additive persistence 0, 1, ... in base 10 are:
8107:
8088:
7384:
6995:
5909:
4064:. Likewise, in base 10 the digital root of 2035 is 1, which means that
6060:
7713:
7640:
7632:
7437:
7351:
6469:
6209:
5946:
5508:
5395:
172:
106:
5983:
7814:
4580:
965:
Therefore, the only possible digital roots are the natural numbers
7819:
7478:
7472:
5402:
3731:
3003:
2424:
2420:
1912:
1042:
1038:
5034:
The digital root of the product of nonzero single digit numbers
105:
is the (single digit) value obtained by an iterative process of
5936:
4029:
6534:
1901:{\displaystyle F_{12}(3110)=\sum _{i=0}^{4-1}d_{i}=2+7+9+1=19}
5511:; therefore, the additive persistence is proportional to the
5002:
3711:
2937:
2742:
2253:
2237:
2195:
2166:
2073:
2057:
2015:
1986:
1733:
1717:
1675:
1646:
1550:
1534:
1492:
1463:
1367:
1351:
1309:
1280:
1187:
1171:
1129:
1100:
433:
403:
102:
3951:{\displaystyle b^{2}\equiv (-1)^{2}\equiv 1{\pmod {(b+1)}},}
6046:
The
Mystery of Numbers: Revealed Through Their Digital Root
5494:
3008:
2985:
2815:
474:
is the value of each digit of the number. A natural number
5183:
is the digital root of the product of the digital root of
3649:
To obtain the modular value with respect to other numbers
211:{\displaystyle F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }
4159:
With this in mind the digital root of a positive integer
3178:{\displaystyle b^{i}\equiv 1^{i}\equiv 1{\pmod {(b-1)}}.}
997:, and there are no cycles other than the fixed points of
2409:{\displaystyle F_{12}(19)=\sum _{i=0}^{2-1}d_{i}=1+7=8}
4648:
is congruent to the difference of the digital root of
4380:
is the digital root of the sum of the digital root of
2964:
2881:
2766:
2667:
2630:
7198:
6199:
5474:
5454:
5434:
5414:
5243:
5216:
5189:
5169:
5129:
5104:
5080:
5040:
4947:
4927:
4904:
4740:
4708:
4681:
4654:
4634:
4594:
4440:
4413:
4386:
4366:
4326:
4217:
4188:
4165:
4136:
4110:
4070:
4038:
4008:
3968:
3878:
3818:
3786:
3740:
3699:
3679:
3655:
3408:
3316:
3303:{\displaystyle d_{i}b^{i}\equiv d_{i}{\pmod {(b-1)}}}
3238:
3211:
3191:
3114:
3057:
3025:
2841:
2590:
2567:
2516:
2491:
2436:
2328:
2145:
1965:
1921:
1808:
1625:
1442:
1259:
1079:
1051:
1003:
971:
926:
897:
871:
736:
660:
631:
604:
580:
535:
508:
480:
382:
359:
306:
227:
181:
150:
130:
7583:
5468:
repetitions of the digit 1 is 1 higher than that of
4583:, to check that a sum has been performed correctly.
5480:
5460:
5440:
5420:
5371:
5229:
5202:
5175:
5155:
5110:
5086:
5066:
5022:
4933:
4913:
4886:
4726:
4694:
4667:
4640:
4620:
4571:
4426:
4399:
4372:
4352:
4303:
4200:
4171:
4148:
4122:
4096:
4056:
4020:
3986:
3950:
3864:
3804:
3769:
3722:
3685:
3661:
3638:
3392:{\displaystyle n=d_{2}b^{2}+d_{1}b^{1}+d_{0}b^{0}}
3391:
3302:
3224:
3197:
3177:
3100:
3043:
2991:
2821:
2573:
2545:
2503:
2464:
2408:
2313:
2130:
1949:
1900:
1793:
1610:
1427:
1244:
1063:
1021:
989:
954:
909:
883:
854:
716:
643:
617:
586:
563:
521:
486:
463:
365:
345:
289:
210:
162:
136:
6582:
6151:
5985:On the additive persistence of a number in base p
5401:For example, the additive persistence of 2718 in
4104:. If a number produces a digital root of exactly
8154:
6008:Problem Solving Through Recreational Mathematics
346:{\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}
46:but its sources remain unclear because it lacks
6468:
290:{\displaystyle F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}}
6262:
6248:
5448:, the persistence of the number consisting of
353:is the number of digits in the number in base
6234:
5997:
4028:less than the number itself. For example, in
717:{\displaystyle n=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}}
625:, regardless of the base. This is because if
8070:
6420:
6117:
6049:, CreateSpace Publications, pp. 68â73,
4195:
4189:
334:
313:
3997:
6535:Possessing a specific set of other numbers
6358:
6241:
6227:
6121:(13 March 1961), "Puzzles and Paradoxes",
3865:{\displaystyle b\equiv -1{\pmod {(b+1)}},}
3006:, the corresponding sequence is (sequence
7998:
6945:
6129:(230), Reed Business Information: 53â54,
3101:{\displaystyle b\equiv 1{\pmod {(b-1)}},}
2539:
2531:
204:
196:
77:Learn how and when to remove this message
6195:Patterns of digital roots using MS Excel
5981:
1911:This process shows that 3110 is 1972 in
1041:, 8 is the additive digital root of the
6039:
5975:
5382:
4579:This property can be used as a sort of
8155:
8106:
5518:
3962:sum of digits yields the value modulo
3770:{\displaystyle m=2,5,{\text{ and }}10}
3693:-th digit corresponds to the value of
8105:
8069:
8033:
7997:
7957:
7582:
7471:
7197:
7112:
7067:
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6581:
6533:
6467:
6419:
6357:
6261:
6222:
6200:
6091:An Introduction into Abstract Algebra
5903:
3019:The digital root is the value modulo
2556:
6635:
6085:
5918:Nine Hours, Nine Persons, Nine Doors
119:
18:
8034:
6161:Mathematical Recreations and Essays
4861:
4130:, then the number is a multiple of
3925:
3839:
3613:
3280:
3152:
3075:
2792:
2785:
2711:
2704:
13:
7958:
5908:Digital roots are used in Western
2476:
2423:. And as 8 is a 1-digit number in
14:
8189:
6188:
4201:{\displaystyle \lfloor x\rfloor }
16:Repeated sum of a number's digits
8173:Base-dependent integer sequences
8136:
7744:Perfect digit-to-digit invariant
7113:
5398:to arrive at its digital root.
5156:{\displaystyle a_{1}\cdot a_{2}}
5067:{\displaystyle a_{1}\cdot a_{2}}
3723:{\displaystyle b^{i}{\bmod {m}}}
23:
4854:
3918:
3832:
3606:
3273:
3145:
3068:
1950:{\displaystyle F_{12}(3110)=19}
5394:counts how many times we must
5363:
5360:
5347:
5328:
5315:
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5280:
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4754:
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3513:
3428:
3422:
3296:
3293:
3281:
3274:
3185:So regardless of the position
3168:
3165:
3153:
3146:
3091:
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937:
753:
747:
552:
546:
244:
238:
200:
144:be a natural number. For base
1:
6583:Expressible via specific sums
5968:
4314:
4097:{\displaystyle 2035-1=2034|9}
5428:. Proof: For a given number
3780:Also of note is the modulus
1022:{\displaystyle 0\leq n<b}
990:{\displaystyle 0\leq n<b}
7:
7672:Multiplicative digital root
5982:Meimaris, Antonios (2015),
5962:Multiplicative digital root
5924:
4621:{\displaystyle a_{1}-a_{2}}
4353:{\displaystyle a_{1}+a_{2}}
2465:{\displaystyle F_{12}(8)=8}
10:
8194:
7068:
3673:, where the weight on the
1032:
955:{\displaystyle F_{b}(n)=n}
564:{\displaystyle F_{b}(n)=n}
8132:
8115:
8101:
8079:
8065:
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8007:
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7883:
7843:
7794:
7768:
7749:Perfect digital invariant
7701:
7685:
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7360:
7337:
7324:Superior highly composite
7214:
7210:
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7121:
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7076:
7063:
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6781:
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6477:
6463:
6426:
6415:
6368:
6353:
6271:
6257:
7362:Euler's totient function
7146:EulerâJacobi pseudoprime
6421:Other polynomial numbers
5529:
5210:and the digital root of
4675:and the digital root of
4407:and the digital root of
4179:may be defined by using
3998:Using the floor function
32:This article includes a
7176:SomerâLucas pseudoprime
7166:LucasâCarmichael number
7001:Lazy caterer's sequence
3734:, this is simplest for
2553:in the following ways:
2419:shows that 19 is 17 in
644:{\displaystyle n\geq b}
61:more precise citations.
7051:WedderburnâEtherington
6451:Lucky numbers of Euler
5482:
5462:
5442:
5422:
5373:
5231:
5204:
5177:
5157:
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5068:
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3640:
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1064:{\displaystyle n=3110}
1023:
991:
956:
911:
910:{\displaystyle n<b}
885:
884:{\displaystyle b>1}
856:
825:
785:
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588:
565:
523:
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465:
367:
347:
291:
276:
212:
164:
163:{\displaystyle b>1}
138:
7339:Prime omega functions
7156:Frobenius pseudoprime
6946:Combinatorial numbers
6815:Centered dodecahedral
6608:Primary pseudoperfect
5483:
5463:
5443:
5423:
5374:
5232:
5230:{\displaystyle a_{2}}
5205:
5203:{\displaystyle a_{1}}
5178:
5158:
5113:
5089:
5069:
5025:
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4916:
4889:
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4727:{\displaystyle (b-1)}
4697:
4695:{\displaystyle a_{2}}
4670:
4668:{\displaystyle a_{1}}
4643:
4623:
4574:
4429:
4427:{\displaystyle a_{2}}
4402:
4400:{\displaystyle a_{1}}
4375:
4355:
4306:
4203:
4174:
4151:
4125:
4099:
4059:
4057:{\displaystyle 6-1=5}
4023:
3989:
3987:{\displaystyle (b+1)}
3953:
3867:
3807:
3805:{\displaystyle m=b+1}
3772:
3725:
3688:
3664:
3641:
3394:
3305:
3227:
3225:{\displaystyle d_{i}}
3200:
3180:
3103:
3046:
3044:{\displaystyle (b-1)}
2994:
2824:
2576:
2548:
2506:
2467:
2411:
2351:
2316:
2133:
1952:
1903:
1831:
1796:
1613:
1430:
1247:
1066:
1024:
992:
957:
912:
886:
857:
799:
759:
719:
667:
646:
620:
618:{\displaystyle F_{b}}
589:
566:
524:
522:{\displaystyle F_{b}}
489:
466:
368:
348:
292:
250:
218:to be the following:
213:
165:
139:
7798:-composition related
7598:Arithmetic functions
7200:Arithmetic functions
7136:Elliptic pseudoprime
6820:Centered icosahedral
6800:Centered tetrahedral
5769:additive_persistence
5472:
5452:
5432:
5412:
5383:Additive persistence
5241:
5214:
5187:
5167:
5127:
5123:The digital root of
5102:
5078:
5038:
4945:
4925:
4902:
4898:The digital root of
4738:
4706:
4679:
4652:
4632:
4592:
4588:The digital root of
4438:
4411:
4384:
4364:
4324:
4320:The digital root of
4215:
4186:
4163:
4134:
4108:
4068:
4036:
4006:
3966:
3876:
3816:
3784:
3738:
3697:
3677:
3653:
3406:
3314:
3236:
3209:
3189:
3112:
3055:
3023:
2839:
2588:
2565:
2561:The formula in base
2514:
2489:
2434:
2326:
2143:
1963:
1919:
1806:
1623:
1440:
1257:
1077:
1049:
1045:number 3110, as for
1001:
969:
924:
895:
869:
734:
658:
629:
602:
578:
574:All natural numbers
533:
506:
478:
380:
357:
304:
225:
179:
148:
128:
95:repeated digital sum
8168:Arithmetic dynamics
7724:Kaprekar's constant
7244:Colossally abundant
7131:Catalan pseudoprime
7031:SchröderâHipparchus
6810:Centered octahedral
6686:Centered heptagonal
6676:Centered pentagonal
6666:Centered triangular
6266:and related numbers
5932:Arithmetic dynamics
5519:Programming example
4149:{\displaystyle b-1}
4123:{\displaystyle b-1}
4021:{\displaystyle b-1}
8142:Mathematics portal
8084:Aronson's sequence
7830:SmarandacheâWellin
7587:-dependent numbers
7294:Primitive abundant
7181:Strong pseudoprime
7171:Perrin pseudoprime
7151:Fermat pseudoprime
7091:Wolstenholme prime
6915:Squared triangular
6701:Centered decagonal
6696:Centered nonagonal
6691:Centered octagonal
6681:Centered hexagonal
6202:Weisstein, Eric W.
6043:(4 January 2011),
5904:In popular culture
5513:iterated logarithm
5478:
5458:
5438:
5418:
5369:
5227:
5200:
5173:
5153:
5108:
5084:
5064:
5020:
4931:
4914:{\displaystyle -n}
4911:
4884:
4724:
4692:
4665:
4638:
4618:
4569:
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4370:
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4301:
4198:
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4018:
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2770:
2671:
2634:
2571:
2557:Congruence formula
2543:
2501:
2485:directly for base
2481:We can define the
2462:
2406:
2311:
2128:
1947:
1898:
1791:
1608:
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1019:
987:
952:
917:, then trivially
907:
881:
852:
714:
641:
615:
596:preperiodic points
584:
561:
529:, which occurs if
519:
484:
461:
363:
343:
287:
208:
160:
134:
34:list of references
8150:
8149:
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8127:
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8096:
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7459:
7458:
7405:Aliquot sequences
7216:Divisor functions
7189:
7188:
7161:Lucas pseudoprime
7141:Euler pseudoprime
7126:Carmichael number
7104:
7103:
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7058:
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6776:
6734:Square triangular
6626:
6625:
6573:
6572:
6525:
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6458:
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6349:
6348:
6170:978-0-486-25357-2
6157:Coxeter, H. S. M.
6153:Rouse Ball, W. W.
6100:978-0-521-29861-2
6056:978-1-4776-7841-1
5952:Divisibility rule
5942:Casting out nines
5481:{\displaystyle n}
5461:{\displaystyle n}
5441:{\displaystyle n}
5421:{\displaystyle b}
5176:{\displaystyle b}
5111:{\displaystyle b}
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