2591:
2169:
105:
2586:{\displaystyle \operatorname {CM} (A_{0},\cdots ,A_{n})={\begin{vmatrix}0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&\cdots &d_{0n}^{2}&1\\d_{01}^{2}&0&d_{12}^{2}&\cdots &d_{1n}^{2}&1\\d_{02}^{2}&d_{12}^{2}&0&\cdots &d_{2n}^{2}&1\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\d_{0n}^{2}&d_{1n}^{2}&d_{2n}^{2}&\cdots &0&1\\1&1&1&\cdots &1&0\end{vmatrix}}}
4844:
2005:-simplex is nondegenerate. For example, 3 points in the plane, in general, are not collinear, because the triangle they span does not degenerate into a line segment. Similarly, 4 points in space, in general, are not coplanar, because the tetrahedron they span does not degenerate into a flat triangle.
2927:
4623:
441:, and one needs to find out whether they lie within a low-dimensional affine subspace. A low-dimensional representation of data has many advantages, such as saving storage space, computation time, and giving better insight into data.
3492:. Cayley published the Cayley determinant in 1841, which is a special case of the general Cayley–Menger determinant. Menger proved in 1928 a characterization theorem of all semimetric spaces that are isometrically embeddable in the
7124:
6510:
5948:
4980:
6787:
6232:
3210:
439:
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7223:
5366:
5142:
4346:
3451:
3303:
2668:
1759:
1574:
120:
Consider three ground radio stations A, B, C, whose locations are known. A radio receiver is at an unknown location. The times it takes for a radio signal to travel from the stations to the receiver,
2770:
5192:
3121:
1967:
1151:
3008:
5697:
4173:
7382:, the positions of some sensors are known (which are called anchors) and some of the distances between sensors are also known: the problem is to identify the positions for all sensors.
1071:
694:
5425:
5074:
4102:
1416:
513:
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7264:
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2157:
5600:
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3387:
4449:
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1677:
613:
171:
7325:
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7156:
6608:
6101:
5548:
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4272:
3987:
3826:
3658:
3629:
3526:
2731:
2081:
1816:
1500:
895:
1305:
349:
300:
6698:
6143:
5853:
5282:
4885:
4839:{\displaystyle (-1)^{k+1}\operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{k})=(-1)^{k+1}\operatorname {CM} (A_{0},\ldots ,A_{k})=2^{k}(k!)^{k}\operatorname {Vol} _{k}(v_{k})^{2}\geq 0}
4525:
856:
3690:
575:
251:
211:
1842:
1337:
771:
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3886:
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1996:
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956:
6579:
5729:
5632:
4552:
4484:
4243:
4044:
3958:
3861:
3797:
3745:
3580:
3534:'s book gives a general overview for distance geometry at the graduate level, a large part of which is treated in English for the first time when it was published.
2762:
2702:
1895:
1451:
991:
6544:
6072:
5467:
2956:
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5302:
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3765:
3713:
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2052:
1915:
1862:
1787:
1471:
1243:
915:
644:
7393:
can measure distances between pairs of atoms of a given molecule, and the problem is to infer the 3-dimensional shape of the molecule from those distances.
7417:, to determine the structure of molecules based on data from NMR experiments. It solves distance geometry problems with heuristic methods (such as
7027:
6413:
5861:
4893:
6703:
6148:
3126:
369:
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6853:
6326:
6239:
5959:
2097:
Cayley–Menger determinants, named after Arthur Cayley and Karl Menger, are determinants of matrices of distances between sets of points.
5734:
7164:
5307:
7634:
7386:
is one pre-GPS technology that uses distance geometry for locating ships based on the time it takes for signals to reach anchors.
3478:
3392:
3244:
2922:{\displaystyle \operatorname {Vol} _{n}(v_{n})^{2}={\frac {(-1)^{n+1}}{(n!)^{2}2^{n}}}\operatorname {CM} (A_{0},\ldots ,A_{n}).}
4277:
2599:
1690:
1505:
7896:
Bowers, John C.; Bowers, Philip L. (2017-12-13). "A Menger Redux: Embedding Metric Spaces
Isometrically in Euclidean Space".
7599:
Biswas, P.; Lian, T.; Wang, T.; Ye, Y. (2006). "Semidefinite programming based algorithms for sensor network localization".
5147:
7511:
Liberti, Leo; Lavor, Carlile; MacUlan, Nelson; Mucherino, Antonio (2014). "Euclidean
Distance Geometry and Applications".
3074:
1920:
928:
The triangle inequality is omitted in the definition, because we do not want to enforce more constraints on the distances
1076:
2961:
5079:
5637:
4107:
7298:
Thus, Cayley–Menger determinants give a concrete way to calculate whether a semimetric space can be embedded in
996:
649:
5371:
5020:
4049:
3543:
460:
20:
6613:
7228:
2092:
961:
In practice, semimetric spaces naturally arise from inaccurate measurements. For example, given three points
3994:
A proof of this theorem in a slightly weakened form (for metric spaces instead of semimetric spaces) is in.
5553:
5472:
4561:
4351:
3015:
2103:
1579:
6792:
3474:
1342:
3346:
4416:
4178:
1644:
580:
7390:
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7301:
7269:
7132:
6584:
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5524:
4991:
4248:
3963:
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1792:
1476:
871:
7779:
7447:
7422:
7379:
5197:
3465:, from 1st century AD, which gives the area of a triangle from the distances between its 3 vertices.
65:
Distance geometry problems arise whenever one needs to infer the shape of a configuration of points (
7663:
Liberti, Leo; Lavor, Carlile (2016). "Six mathematical gems from the history of distance geometry".
3010:, meaning the "0-dimensional volume" of a 0-simplex is 1, that is, there is 1 point in a 0-simplex.
305:
256:
7937:
7452:
6665:
6110:
5820:
5249:
4852:
4492:
3466:
2671:
1164:
805:
356:
7437:. MATLAB code for locating sensors in a sensor network based on the distances between the sensors.
3663:
544:
216:
176:
3528:. In 1931, Menger used distance relations to give an axiomatic treatment of Euclidean geometry.
1821:
101:
The concepts of distance geometry will first be explained by describing two particular problems.
7463:
1273:
1310:
735:
699:
7942:
7383:
3308:
1975:
863:
518:
114:
7873:
3218:
2011:
931:
6552:
5702:
5605:
4530:
4457:
4216:
4017:
3931:
3834:
3770:
3718:
3553:
3470:
2740:
2680:
2163: + 1 points in a semimetric space, their Cayley–Menger determinant is defined by
1873:
1424:
964:
8:
7418:
7404:
6523:
6051:
5446:
3212:. Thus Cayley–Menger determinants give a computational way to prove affine independence.
2935:
1762:
776:
620:
7909:
7883:
7874:
7434:
3866:
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7913:
7869:
7846:
7803:
7760:
7698:
7672:
7642:
7616:
7538:
7520:
7350:
7330:
5602:, then other than the conditions above, an additional necessary condition is that the
5287:
3911:
3891:
3750:
3698:
3585:
3531:
3462:
2037:
1900:
1847:
1772:
1456:
1228:
900:
629:
51:
449:
Now we formalize some definitions that naturally arise from considering our problems.
7838:
7764:
7752:
7690:
616:
66:
24:
7917:
7702:
7542:
7905:
7830:
7795:
7744:
7682:
7620:
7608:
7530:
7493:
Yemini, Y. (1978). "The positioning problem — a draft of an intermediate summary".
1999:
44:
36:
3497:
918:
541:, we can arbitrarily specify the distances between pairs of points by a list of
922:
74:
7560:
7931:
7842:
7756:
7694:
7473:
7468:
7455:(a statistical technique used when distances are measured with random errors)
3485:
363:
55:
7612:
7458:
7119:{\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+1},P_{n+2})=0.}
6505:{\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+1},P_{n+2})=0.}
7431:. Molecular modeling and design. It can solve distance geometry problems.
5943:{\displaystyle (-1)^{k+1}\operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{k})\geq 0,}
4975:{\displaystyle (-1)^{k+1}\operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{k})\geq 0,}
3489:
86:
59:
6782:{\displaystyle (-1)^{k+1}\operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{k})\geq 0}
6227:{\displaystyle (-1)^{k+1}\operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{k})\geq 0}
104:
54:
in 1st century AD. The modern theory began in 19th century with work by
7850:
7807:
7748:
7686:
3205:{\displaystyle (-1)^{n+1}\operatorname {CM} (A_{0},\ldots ,A_{n})>0}
2034:, they must be affinely dependent. This can be seen by noting that any
82:
7534:
7400:
434:{\displaystyle \mathbf {v} =(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}
78:
43:
between them. In this view, it can be considered as a subject within
7834:
7799:
7735:
Menger, Karl (1928-12-01). "Untersuchungen ĂĽber allgemeine Metrik".
7410:
7716:
Cayley, Arthur (1841). "On a theorem in the geometry of position".
7677:
7016:{\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+2})=0;}
6929:{\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+1})=0;}
6402:{\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+2})=0;}
6315:{\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+1})=0;}
6035:{\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+1})=0,}
1222:
40:
32:
7525:
7428:
5807:{\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+1})=0}
3997:
1867:
90:
70:
58:, followed by more extensive developments in the 20th century by
7414:
4454:
Again, one asks whether such an isometric embedding exists for
7218:{\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n})\neq 0}
5361:{\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n})\neq 0}
7821:
Menger, Karl (1931). "New
Foundation of Euclidean Geometry".
7389:
There are many applications in chemistry. Techniques such as
4005:
35:
between pairs of points. More abstractly, it is the study of
7558:
7510:
7559:
Mucherino, A.; Lavor, C.; Liberti, L.; Maculan, N. (2013).
626:
Explicitly, we define a semimetric space as a nonempty set
366:, one is often given a list of data represented as vectors
253:, are known. From them, one knows the distance differences
4341:{\textstyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}\in \mathbb {R} ^{n}}
3446:{\displaystyle \operatorname {CM} (A_{0},\ldots ,A_{4})=0}
3298:{\displaystyle \operatorname {CM} (A_{0},\ldots ,A_{n})=0}
2663:{\textstyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}\in \mathbb {R} ^{k}}
1754:{\textstyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}\in \mathbb {R} ^{k}}
1569:{\textstyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}\in \mathbb {R} ^{k}}
5017:. That is, given any two isometric embeddings defined by
1766:
7266:. And such embedding is unique up to unique isometry in
351:, from which the position of the receiver can be found.
6103:, the necessary and sufficient conditions are similar:
112:
50:
Historically, the first result in distance geometry is
5187:{\displaystyle T:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}
4564:
4280:
4002:
The following results are proved in
Blumethal's book.
3018:
2602:
2222:
2106:
1693:
1508:
354:
7495:
7353:
7333:
7304:
7272:
7231:
7167:
7135:
7030:
6943:
6856:
6795:
6706:
6668:
6616:
6587:
6555:
6526:
6416:
6329:
6242:
6151:
6113:
6080:
6054:
5962:
5864:
5823:
5737:
5705:
5640:
5608:
5556:
5527:
5475:
5449:
5374:
5310:
5290:
5252:
5200:
5150:
5082:
5023:
4994:
4896:
4855:
4626:
4533:
4495:
4460:
4419:
4354:
4251:
4219:
4181:
4110:
4052:
4020:
3966:
3934:
3914:
3894:
3869:
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3805:
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3721:
3701:
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3637:
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3505:
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2683:
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2040:
2014:
1978:
1923:
1903:
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1824:
1795:
1775:
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1479:
1459:
1427:
1345:
1313:
1276:
1251:
1231:
1167:
1079:
999:
967:
934:
903:
874:
808:
779:
738:
702:
652:
632:
583:
547:
521:
463:
372:
308:
259:
219:
179:
126:
6515:
4988:
Further, such embedding is unique up to isometry in
3116:{\displaystyle \operatorname {Vol} _{n}(v_{n})>0}
1962:{\displaystyle \operatorname {Vol} _{n}(v_{n})>0}
7635:"Simplex Volumes and the Cayley–Menger Determinant"
7562:
Distance
Geometry: Theory, Methods and Applications
5430:
5144:, there exists a (not necessarily unique) isometry
3477:, from 16th century AD, generalized it to give the
3241:, then the points must be affinely dependent, thus
1146:{\displaystyle d_{AB}=0.99,d_{BC}=0.98,d_{AC}=2.00}
7665:International Transactions in Operational Research
7375:There are many applications of distance geometry.
7359:
7339:
7319:
7287:
7258:
7225:, then it cannot be isometrically embedded in any
7217:
7150:
7118:
7015:
6928:
6839:
6781:
6692:
6654:
6602:
6573:
6538:
6504:
6401:
6314:
6226:
6137:
6095:
6066:
6034:
5942:
5847:
5806:
5723:
5691:
5626:
5594:
5542:
5513:
5461:
5419:
5360:
5296:
5276:
5238:
5186:
5136:
5068:
5009:
4974:
4879:
4838:
4609:
4546:
4519:
4478:
4443:
4405:
4340:
4266:
4237:
4205:
4167:
4096:
4038:
3981:
3952:
3920:
3900:
3888:, obtained by adding any two additional points of
3880:
3855:
3820:
3791:
3759:
3739:
3707:
3684:
3652:
3623:
3594:
3574:
3537:
3520:
3484:The modern theory of distance geometry began with
3445:
3381:
3335:
3305:. Cayley's 1841 paper studied the special case of
3297:
3233:
3204:
3115:
3063:
3002:
2950:
2921:
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2662:
2585:
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2075:
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1990:
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1909:
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1781:
1753:
1671:
1633:
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1494:
1465:
1445:
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1262:
1237:
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985:
950:
909:
889:
850:
791:
765:
720:
688:
638:
607:
569:
533:
507:
433:
343:
294:
245:
205:
165:
3003:{\displaystyle \operatorname {Vol} _{0}(v_{0})=1}
958:than the mere requirement that they be positive.
7929:
7777:
7598:
1307:that preserves the semimetric, that is, for all
7129:And such embedding is unique up to isometry in
3998:Characterization via Cayley–Menger determinants
3767:that is isometric with an affinely independent
2670:, then they make up the vertices of a possibly
1421:For example, given the finite semimetric space
96:
4489:A necessary condition is easy to see: for all
69:) from the distances between them, such as in
7864:
7862:
7860:
7403:. Solves large distance geometry problems in
7396:Some software packages for applications are:
5817:The converse also holds. That is, if for all
4849:The converse also holds. That is, if for all
2086:
19:is the branch of mathematics concerned with
7895:
7876:Theory and Applications of Distance Geometry
7662:
7583:Distance Geometry and Molecular Conformation
7580:
6546:case turns out to be sufficient in general.
5137:{\displaystyle A'_{0},A'_{1},\ldots ,A'_{n}}
4091:
4059:
502:
470:
5692:{\displaystyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n+1}}
4168:{\displaystyle d(P_{i},P_{j})=d_{ij}\geq 0}
3481:from the distances between its 4 vertices.
1453:defined above, an isometric embedding from
7868:
7857:
7486:
1066:{\displaystyle d_{AB}=1,d_{BC}=1,d_{AC}=2}
689:{\displaystyle d:R\times R\to [0,\infty )}
7778:Blumenthal, L. M.; Gillam, B. E. (1943).
7676:
7594:
7592:
7576:
7574:
7572:
7554:
7552:
7524:
7307:
7275:
7234:
7138:
6590:
6083:
5530:
5420:{\displaystyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}}
5174:
5159:
5069:{\displaystyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}}
4997:
4328:
4254:
4097:{\displaystyle S=\{P_{0},\ldots ,P_{n}\}}
3969:
3808:
3640:
3611:
3508:
3469:, from 7th century AD, generalizes it to
3461:The first result in distance geometry is
2713:
2650:
2063:
1998:, they are affinely independent, since a
1798:
1741:
1556:
1482:
877:
508:{\displaystyle R=\{P_{0},\ldots ,P_{n}\}}
421:
173:, are unknown, but the time differences,
6655:{\displaystyle P_{0},\ldots ,P_{n}\in R}
103:
7259:{\displaystyle \mathbb {R} ^{m},m<n}
1073:, an inaccurate measurement could give
7930:
7820:
7734:
7715:
7589:
7569:
7549:
7506:
7504:
7492:
7378:In telecommunication networks such as
6581:, it can be isometrically embedded in
4610:{\textstyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{k}}
3064:{\textstyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}}
2152:{\textstyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}}
1682:
1156:
6549:In general, given a semimetric space
5595:{\displaystyle A_{0},\ldots ,A_{n+1}}
5514:{\displaystyle P_{0},\ldots ,P_{n+1}}
4406:{\displaystyle d(A_{i},A_{j})=d_{ij}}
1634:{\displaystyle d(A_{i},A_{j})=d_{ij}}
1153:, violating the triangle inequality.
7421:) and local search methods (such as
6840:{\displaystyle P_{n+1},P_{n+2}\in R}
1411:{\displaystyle d(x,y)=d'(f(x),f(y))}
7910:10.4169/amer.math.monthly.124.7.621
7601:ACM Transactions on Sensor Networks
7581:Crippen, G.M.; Havel, T.F. (1988).
7501:
3582:is isometrically embeddable in the
3382:{\displaystyle A_{0},\ldots ,A_{4}}
2737:-dimensional volume of the simplex
925:metric space in distance geometry.
868:a semimetric space. In particular,
452:
13:
7771:
4444:{\displaystyle 0\leq i<j\leq n}
4206:{\displaystyle 0\leq i<j\leq n}
1672:{\displaystyle 0\leq i<j\leq n}
680:
608:{\displaystyle 0\leq i<j\leq n}
14:
7954:
7898:The American Mathematical Monthly
7788:The American Mathematical Monthly
7347:, and if so, what is the minimal
6516:Embedding arbitrarily many points
3389:in 3-dimensional space must have
166:{\displaystyle t_{A},t_{B},t_{C}}
7320:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
7288:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
7151:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
6603:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
6096:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
5543:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
5010:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
4267:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
3982:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
3821:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
3653:{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
3624:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
3521:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
2726:{\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}
2076:{\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}
1811:{\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}
1789:-dimensional affine subspace of
1769:they cannot fit inside a single
1495:{\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}
890:{\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}
374:
108:Problem of hyperbolic navigation
7889:
7823:American Journal of Mathematics
7814:
7423:conjugate gradient minimization
7370:
6045:then such an embedding exists.
5239:{\displaystyle T(A_{k})=A'_{k}}
4985:then such an embedding exists.
3538:Menger characterization theorem
7728:
7718:Cambridge Mathematical Journal
7709:
7656:
7627:
7206:
7174:
7107:
7037:
7001:
6950:
6914:
6863:
6770:
6738:
6717:
6707:
6568:
6556:
6493:
6423:
6387:
6336:
6300:
6249:
6215:
6183:
6162:
6152:
6020:
5969:
5928:
5896:
5875:
5865:
5795:
5744:
5731:-dimensional volume. That is,
5718:
5706:
5621:
5609:
5349:
5317:
5217:
5204:
5169:
4960:
4928:
4907:
4897:
4821:
4807:
4785:
4775:
4759:
4727:
4706:
4696:
4690:
4658:
4637:
4627:
4473:
4461:
4384:
4358:
4232:
4220:
4140:
4114:
4033:
4021:
4010:+ 1 points in the real numbers
3947:
3935:
3850:
3838:
3786:
3774:
3734:
3722:
3569:
3557:
3434:
3402:
3286:
3254:
3193:
3161:
3140:
3130:
3104:
3091:
2991:
2978:
2913:
2881:
2853:
2843:
2826:
2816:
2801:
2787:
2211:
2179:
1950:
1937:
1612:
1586:
1440:
1428:
1405:
1402:
1396:
1387:
1381:
1375:
1361:
1349:
1286:
1208:
1186:
1180:
1168:
845:
833:
824:
812:
754:
742:
683:
671:
668:
444:
413:
381:
344:{\displaystyle c(t_{A}-t_{C})}
338:
312:
295:{\displaystyle c(t_{A}-t_{B})}
289:
263:
1:
7479:
6693:{\displaystyle k=1,\ldots ,n}
6138:{\displaystyle k=1,\ldots ,n}
5848:{\displaystyle k=1,\ldots ,n}
5277:{\displaystyle k=0,\ldots ,n}
4880:{\displaystyle k=1,\ldots ,n}
4520:{\displaystyle k=1,\ldots ,n}
3602:-dimensional Euclidean space
3071:are affinely independent iff
2054:-simplex that can fit inside
1214:{\displaystyle (R,d),(R',d')}
1161:Given two semimetric spaces,
851:{\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}
6610:if and only if there exists
4213:, an isometric embedding of
3685:{\displaystyle 0\leq m<n}
3542:Menger proved the following
773: if and only if
97:Introduction and definitions
7:
7780:"Distribution of Points in
7441:
3343:, that is, any five points
2932:Note that, for the case of
2733:. It can be shown that the
646:equipped with a semimetric
570:{\displaystyle d_{ij}>0}
246:{\displaystyle t_{A}-t_{C}}
206:{\displaystyle t_{A}-t_{B}}
10:
7959:
7880:. Oxford University Press.
5427:are affinely independent.
3456:
2090:
2087:Cayley–Menger determinants
1837:{\displaystyle \ell <n}
457:Given a list of points on
7448:Euclidean distance matrix
5304:is unique if and only if
4014:Given a semimetric space
2093:Cayley–Menger determinant
1761:, they are defined to be
1300:{\displaystyle f:R\to R'}
619:: a metric space without
41:isometric transformations
7585:. John Wiley & Sons.
7453:Multidimensional scaling
3544:characterization theorem
1332:{\displaystyle x,y\in R}
766:{\displaystyle d(x,y)=0}
721:{\displaystyle x,y\in R}
7613:10.1145/1149283.1149286
7405:macromolecular modeling
3336:{\displaystyle k=3,n=4}
1991:{\displaystyle k\geq n}
534:{\displaystyle n\geq 0}
31:on given values of the
7870:Blumenthal, Leonard M.
7361:
7341:
7321:
7289:
7260:
7219:
7152:
7120:
7017:
6930:
6841:
6783:
6694:
6656:
6604:
6575:
6540:
6506:
6403:
6316:
6228:
6139:
6097:
6068:
6036:
5944:
5849:
5808:
5725:
5693:
5628:
5596:
5544:
5515:
5463:
5421:
5362:
5298:
5278:
5240:
5188:
5138:
5070:
5011:
4976:
4881:
4840:
4611:
4548:
4521:
4480:
4445:
4407:
4342:
4268:
4239:
4207:
4169:
4098:
4040:
3992:
3983:
3954:
3922:
3902:
3882:
3857:
3822:
3793:
3761:
3741:
3709:
3686:
3654:
3625:
3596:
3576:
3522:
3447:
3383:
3337:
3299:
3235:
3234:{\displaystyle k<n}
3206:
3117:
3065:
3004:
2952:
2923:
2758:
2727:
2698:
2664:
2587:
2153:
2077:
2048:
2028:
2027:{\displaystyle n>k}
1992:
1963:
1911:
1891:
1858:
1838:
1812:
1783:
1755:
1673:
1635:
1570:
1496:
1467:
1447:
1412:
1333:
1301:
1264:
1239:
1215:
1147:
1067:
987:
952:
951:{\displaystyle d_{ij}}
911:
891:
852:
793:
767:
722:
690:
640:
609:
571:
535:
509:
435:
345:
296:
247:
207:
167:
109:
7737:Mathematische Annalen
7384:Hyperbolic navigation
7362:
7342:
7322:
7290:
7261:
7220:
7153:
7121:
7018:
6931:
6842:
6784:
6695:
6662:, such that, for all
6657:
6605:
6576:
6574:{\displaystyle (R,d)}
6541:
6507:
6404:
6317:
6229:
6140:
6098:
6069:
6037:
5945:
5850:
5809:
5726:
5724:{\displaystyle (n+1)}
5694:
5629:
5627:{\displaystyle (n+1)}
5597:
5545:
5516:
5464:
5422:
5363:
5299:
5279:
5241:
5189:
5139:
5071:
5012:
4977:
4882:
4841:
4612:
4549:
4547:{\displaystyle v_{k}}
4522:
4481:
4479:{\displaystyle (S,d)}
4446:
4408:
4343:
4269:
4240:
4238:{\displaystyle (S,d)}
4208:
4170:
4099:
4041:
4039:{\displaystyle (S,d)}
3984:
3955:
3953:{\displaystyle (n+3)}
3928:, is congruent to an
3923:
3903:
3883:
3858:
3856:{\displaystyle (n+3)}
3823:
3794:
3792:{\displaystyle (n+1)}
3762:
3742:
3740:{\displaystyle (n+1)}
3710:
3687:
3655:
3626:
3597:
3577:
3575:{\displaystyle (R,d)}
3548:
3546:of semimetric spaces:
3523:
3479:volume of tetrahedron
3471:cyclic quadrilaterals
3467:Brahmagupta's formula
3448:
3384:
3338:
3300:
3236:
3207:
3118:
3066:
3005:
2953:
2924:
2759:
2757:{\displaystyle v_{n}}
2728:
2699:
2697:{\displaystyle v_{n}}
2665:
2588:
2154:
2078:
2049:
2029:
1993:
1964:
1912:
1892:
1890:{\displaystyle v_{n}}
1859:
1839:
1813:
1784:
1756:
1674:
1636:
1571:
1502:is defined by points
1497:
1468:
1448:
1446:{\displaystyle (R,d)}
1413:
1334:
1302:
1265:
1240:
1216:
1148:
1068:
988:
986:{\displaystyle A,B,C}
953:
912:
892:
853:
794:
768:
723:
691:
641:
610:
572:
536:
510:
436:
346:
297:
248:
208:
168:
115:hyperbolic navigation
107:
7351:
7331:
7302:
7270:
7229:
7165:
7133:
7028:
6941:
6854:
6793:
6704:
6666:
6614:
6585:
6553:
6524:
6414:
6327:
6240:
6149:
6111:
6078:
6052:
5960:
5862:
5821:
5735:
5703:
5638:
5634:-simplex formed by
5606:
5554:
5525:
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5372:
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5021:
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4562:
4558:-simplex formed by
4531:
4493:
4458:
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4352:
4278:
4249:
4217:
4179:
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4018:
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3932:
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3867:
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3635:
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3586:
3554:
3503:
3393:
3347:
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3016:
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2936:
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2708:
2681:
2600:
2170:
2104:
2058:
2038:
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1793:
1773:
1763:affinely independent
1691:
1645:
1580:
1506:
1477:
1457:
1425:
1343:
1311:
1274:
1249:
1229:
1165:
1077:
997:
965:
932:
901:
872:
862:Any metric space is
806:
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