10804:
10036:
10799:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ \mu \left(1-\sigma \log {\frac {\ X\ }{\sigma }}\right)<x\ \right\}&=\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ \log {\frac {X}{\sigma }}>{\frac {1-x/\mu }{\sigma }}\ \right\}\\{}\\&{\mathsf {\ Since\ the\ logarithm\ is\ always\ increasing:\ }}\\{}\\&=\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ X>\sigma \exp \left\ \right\}\\&=\exp \left(-\left({\cancel {\sigma }}\exp \left\cdot {\cancel {\frac {1}{\sigma }}}\right)^{\mu }\right)\\&=\exp \left(-\left(\exp \left\right)^{\cancel {\mu }}\right)\\&=\exp \left(-\exp \left\right)\\&=\exp \left(-\exp \left\right),\quad s={\frac {x-\mu }{\sigma }}\ ,\end{aligned}}}
8571:
11517:
8073:
10977:
8566:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\mathbb {E} } \left\{\ \max \left\{\ X_{i}\ {\big |}\ 1\leq i\leq n\ \right\}\ \right\}&\approx \mu _{n}+\gamma _{\mathsf {E}}\ \sigma _{n}\\&=(1-\gamma _{\mathsf {E}})\ \Phi ^{-1}\left(1-{\frac {\ 1\ }{n}}\right)+\gamma _{\mathsf {E}}\ \Phi ^{-1}\left(1-{\frac {1}{\ e\ n\ }}\right)\\&={\sqrt {\log \left({\frac {n^{2}}{\ 2\pi \ \log \left({\frac {n^{2}}{2\pi }}\right)\ }}\right)~}}\ \cdot \ \left(1+{\frac {\gamma }{\ \log n\ }}+{\mathcal {o}}\left({\frac {1}{\ \log n\ }}\right)\right)\ ,\end{aligned}}}
4272:
11512:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ \mu -\sigma \log X<x\ \right\}&=\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ \log X>{\frac {\mu -x}{\sigma }}\ \right\}\\{}\\&{\mathsf {\ Since\ the\ logarithm\ is\ always\ increasing:\ }}\\{}\\&=\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ X>\exp \left({\frac {\ \mu -x\ }{\sigma }}\right)\ \right\}\\&=\exp \left\\&=\exp \left\ ,\quad ~{\mathsf {where}}~\quad s\equiv {\frac {x-\mu }{\sigma }}\ ;\end{aligned}}}
2806:
13409:
6105:
36:
6718:
2493:
3579:
13419:
1911:
1639:
7501:
4043:
7988:
5809:
2232:
6405:
3302:
2801:{\displaystyle F(s;\xi )={\begin{cases}\exp(-\mathrm {e} ^{-s})&{\text{for }}\xi =0,\\\exp {\bigl (}\!-(1+\xi s)^{-1/\xi }{\bigr )}&{\text{for }}\xi \neq 0{\text{ and }}\xi s>-1,\\0&{\text{for }}\xi >0{\text{ and }}s\leq -{\tfrac {1}{\xi }},\\1&{\text{for }}\xi <0{\text{ and }}s\geq {\tfrac {1}{|\xi |}},\end{cases}}}
1055:
1652:
3747:
1436:
9887:
1292:
2370:
the GEV distribution is the only possible limit distribution of properly normalized maxima of a sequence of independent and identically distributed random variables. Note that a limit distribution needs to exist, which requires regularity conditions on the tail of the distribution. Despite this, the
816:
6917:
rather than data maxima. The distribution here has an addition parameter compared to the usual form of the
Weibull distribution and, in addition, is reversed so that the distribution has an upper bound rather than a lower bound. Importantly, in applications of the GEV, the upper bound is unknown and
6100:{\displaystyle F(\ x;\ \mu ,\ \sigma ,\ \xi \ )={\begin{cases}0&y\leq 0\quad {\mathsf {~or\ equiv.~}}\quad x\leq \mu -{\tfrac {\sigma }{\ \xi \ }}\\\exp \left(-{\frac {1}{~y^{\alpha }\ }}\right)&y>0\quad {\mathsf {~or\ equiv.~}}\quad x>\mu -{\tfrac {\sigma }{\ \xi \ }}~.\end{cases}}}
7772:
1995:
6713:{\displaystyle F(\ x;\ \mu ,\ \sigma ,\ \xi \ )={\begin{cases}\exp \left(-y^{\alpha }\right)&y>0\quad {\mathsf {~or\ equiv.~}}\quad x<\mu +{\tfrac {\sigma }{\ |\ \xi \ |\ }}\\1&y\leq 0\quad {\mathsf {~or\ equiv.~}}\quad x\geq \mu +{\tfrac {\sigma }{\ |\ \xi \ |\ }}~.\end{cases}}}
1423:
4975:
3574:{\displaystyle f(s;\xi )={\begin{cases}\mathrm {e} ^{-s}\exp(-\mathrm {e} ^{-s})&{\text{for }}\xi =0,\\(1+\xi s)^{-(1+1/\xi )}\exp {\bigl (}\!-(1+\xi s)^{-1/\xi }{\bigr )}&{\text{for }}\xi \neq 0{\text{ and }}\xi s>-1,\\0&{\text{otherwise;}}\end{cases}}}
1906:{\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {sgn}(\xi )\,{\dfrac {g_{3}-3g_{2}g_{1}+2g_{1}^{3}}{(g_{2}-g_{1}^{2})^{3/2}}}&{\text{if }}\xi \neq 0{\text{ and }}\xi <{\tfrac {1}{3}}\\{\dfrac {12{\sqrt {6}}\,\zeta (3)}{\pi ^{3}}}&{\text{if }}\xi =0\end{cases}}}
903:
1634:{\displaystyle {\begin{cases}\sigma ^{2}\,{\dfrac {g_{2}-g_{1}^{2}}{\xi ^{2}}}&{\text{if }}\xi \neq 0{\text{ and }}\xi <{\tfrac {1}{2}}\\\sigma ^{2}\,{\frac {\pi ^{2}}{6}}&{\text{if }}\xi =0\\\infty &{\text{if }}\xi \geq {\tfrac {1}{2}}\end{cases}}}
9752:
5550:
9037:
4734:
4038:{\displaystyle Q(p;\mu ,\sigma ,\xi )={\begin{cases}\mu -\sigma \ln(-\ln p)&{\text{for }}\xi =0{\text{ and }}p\in (0,1),\\\mu +{\dfrac {\sigma }{\xi }}{\big (}(-\ln p)^{-\xi }-1{\big )}&{\text{for }}\xi >0{\text{ and }}p\in ;\end{cases}}}
9190:
4216:
6254:
7765:
5685:
1153:
4483:
4360:
634:
7983:{\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{n}&=\Phi ^{-1}\left(1-{\frac {\ 1\ }{n}}\right)\\\sigma _{n}&=\Phi ^{-1}\left(1-{\frac {1}{\ n\ \mathrm {e} \ }}\right)-\Phi ^{-1}\left(1-{\frac {\ 1\ }{n}}\right)~.\end{aligned}}}
7491:
The GEV distribution is widely used in the treatment of "tail risks" in fields ranging from insurance to finance. In the latter case, it has been considered as a means of assessing various financial risks via metrics such as
2227:{\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {g_{4}-4g_{3}g_{1}+6g_{1}^{2}g_{2}-3g_{1}^{4}}{(g_{2}-g_{1}^{2})^{2}}}&{\text{if }}\xi \neq 0{\text{ and }}\xi <{\tfrac {1}{4}}\\{\tfrac {12}{5}}&{\text{if }}\xi =0\end{cases}}}
6731:
The theory here relates to data maxima and the distribution being discussed is an extreme value distribution for maxima. A generalised extreme value distribution for data minima can be obtained, for example by substituting
9560:
9320:
6399:
10028:
7407:
514:
357:
7169:
1305:
628:
5414:
8764:
6312:
4575:
7620:
5740:
5803:
9736:
8680:
9464:
9393:
9952:
8066:
6912:
which gives a strictly positive support, in contrast to the use in the formulation of extreme value theory here. This arises because the ordinary
Weibull distribution is used for cases that deal with data
9098:
8937:
8883:
4752:
8820:
9657:
10862:
4095:
11572:
3251:
7269:
1050:{\displaystyle {\begin{cases}\mu +{\dfrac {\sigma (g_{1}-1)}{\xi }}&{\text{if }}\xi \neq 0,\xi <1\\\mu +\sigma \gamma &{\text{if }}\xi =0\\\infty &{\text{if }}\xi \geq 1\end{cases}}}
10913:
7049:
9242:
10982:
10041:
8078:
7777:
2293:
180:
7509:
However, the resulting shape parameters have been found to lie in the range leading to undefined means and variances, which underlines the fact that reliable data analysis is often impossible.
9882:{\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {E} } \{\ X+Y\ \}=2\alpha +2\beta \gamma \neq 2\alpha =\operatorname {\mathbb {E} } \left\{\ \operatorname {Logistic} (2\alpha ,\beta )\ \right\}~.}
5041:
2390:. The origin of the common functional form for all 3 distributions dates back to at least Jenkinson, A. F. (1955), though allegedly it could also have been given by von Mises, R. (1936).
2439:
10969:
11627:
Muraleedharan, G; Guedes Soares, C.; Lucas, Cláudia (2011). "Characteristic and moment generating functions of generalised extreme value distribution (GEV)". In Wright, Linda L. (ed.).
5422:
8608:
3684:
3620:
2957:
2893:
8946:
424:
1944:
1107:
865:
280:
216:
6154:
5598:
4590:
3045:
2989:
5343:
9103:
4103:
5274:
5239:
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5093:
6910:
4245:
2485:
247:
7310:
6859:
5205:
4386:
3710:
3646:
3117:
2919:
2855:
1978:
540:
383:
6814:
6159:
5166:
3291:
1136:
7644:
6757:
3736:
3166:
3091:
450:
9593:
7195:
7075:
6978:
6779:
13453:
11823:
Moscadelli, Marco. "The modelling of operational risk: experience with the analysis of the data collected by the Basel
Committee." Available at SSRN 557214 (2004).
11758:
5603:
4265:
3271:
2829:
2459:
1287:{\displaystyle {\begin{cases}\mu +\sigma \,{\dfrac {(\ln 2)^{-\xi }-1}{\xi }}&{\text{if }}\xi \neq 0\\\mu -\sigma \ln \ln 2&{\text{if }}\xi =0\end{cases}}}
3192:
53:
3137:
3065:
3009:
885:
4392:
811:{\displaystyle t(x)={\begin{cases}\left^{-1/\xi }&{\text{if }}\xi \neq 0\\\exp \left(-{\tfrac {x-\mu }{\sigma }}\right)&{\text{if }}\xi =0\end{cases}}}
4288:
7482:
equation. The generalized extreme value distribution is a special case of a max-stable distribution, and is a transformation of a min-stable distribution.
12067:
6918:
so must be estimated, whereas when applying the ordinary
Weibull distribution in reliability applications the lower bound is usually known to be zero.
11822:
9469:
4271:
100:
9251:
11998:
6317:
3093:, the second expression is formally undefined and is replaced with the first expression, which is the result of taking the limit of the second, as
1418:{\displaystyle {\begin{cases}\mu +\sigma \,{\dfrac {(1+\xi )^{-\xi }-1}{\xi }}&{\text{if }}\xi \neq 0\\\mu &{\text{if }}\xi =0\end{cases}}}
72:
9957:
7315:
455:
298:
17:
7080:
553:
5348:
79:
8685:
7516:
the GEV distribution is applied to extreme events such as annual maximum one-day rainfalls and river discharges. The blue picture, made with
6954:
One can link the type I to types II and III in the following way: If the cumulative distribution function of some random variable
6263:
4489:
3741:
Since the cumulative distribution function is invertible, the quantile function for the GEV distribution has an explicit expression, namely
7548:
5694:
2312:
12196:
5745:
2386:
who recognised three different forms outlined below. However usage of this name is sometimes restricted to mean the special case of the
86:
13422:
12679:
9662:
8626:
6871:
The ordinary
Weibull distribution arises in reliability applications and is obtained from the distribution here by using the variable
4970:{\displaystyle \operatorname {kurtosis\ excess} (X)={\frac {g_{4}-4g_{3}g_{1}+6g_{2}g_{1}^{2}-3g_{1}^{4}}{(g_{2}-g_{1}^{2})^{2}}}-3~.}
12587:
9398:
9327:
9902:
7995:
13374:
11604:
9044:
8890:
8829:
68:
11759:"Calculating CVaR and bPOE for common probability distributions with application to portfolio optimization and density estimation"
8771:
7450:, and various extensions of them, and derives from the fact that the difference of two type-I GEV-distributed variables follows a
13240:
12452:
12211:
12060:
11588:
9598:
7638:
2367:
10811:
13135:
11692:
Jenkinson, Arthur F (1955). "The frequency distribution of the annual maximum (or minimum) values of meteorological elements".
4051:
11870:
11524:
3197:
12573:
11636:
7200:
12894:
12838:
12736:
12498:
12136:
10870:
7520:, illustrates an example of fitting the GEV distribution to ranked annually maximum one-day rainfalls showing also the 90%
6983:
11834:
Guégan, D.; Hassani, B.K. (2014), "A mathematical resurgence of risk management: an extreme modeling of expert opinions",
9202:
13180:
12914:
12767:
12442:
12186:
12644:
11799:
2245:
140:
13412:
13084:
13060:
12639:
12053:
2371:
GEV distribution is often used as an approximation to model the maxima of long (finite) sequences of random variables.
13443:
13281:
13158:
13119:
13091:
13065:
12983:
12909:
12332:
12080:
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12015:
11982:
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119:
93:
13458:
13269:
13235:
13101:
13096:
12941:
12749:
12447:
12201:
7475:
5545:{\displaystyle F(\ x;\ \mu ,\ \sigma ,\ 0\ )=\exp \left(-\exp \left(-{\frac {\ x-\mu \ }{\sigma }}\right)\right)~.}
4983:
822:
2401:
13019:
12932:
12904:
12813:
12762:
12634:
12417:
12382:
11593:
10918:
9032:{\displaystyle \ \mu \left(1-\sigma \log {\tfrac {X}{\sigma }}\right)\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)\ }
13033:
12950:
12787:
12711:
12534:
12412:
12387:
12251:
12246:
12241:
8578:
57:
3651:
3587:
2924:
2860:
13349:
13215:
12923:
12772:
12704:
12689:
12582:
12556:
12488:
12327:
12221:
12216:
12158:
12143:
11583:
8611:
7533:
6939:
388:
4729:{\displaystyle \operatorname {skewness} (X)={\frac {g_{3}-3g_{2}g_{1}+2g_{1}^{3}}{(g_{2}-g_{1}^{2})^{3/2}}}}
1917:
1061:
13185:
13175:
12866:
12792:
12493:
12352:
546:
13245:
829:
257:
193:
13448:
13230:
13225:
13170:
13106:
13050:
12871:
12858:
12649:
12594:
12546:
12337:
12266:
12131:
6123:
5567:
3018:
2962:
9185:{\displaystyle \ \sigma \exp(-{\tfrac {X-\mu }{\mu \sigma }})\sim {\textrm {Weibull}}(\sigma ,\,\mu )\ }
4211:{\displaystyle q(p;\sigma ,\xi )={\frac {\sigma }{(-\ln p)^{\xi +1}\,p}}\qquad {\text{for }}p\in (0,1),}
13364:
13140:
12959:
12741:
12694:
12563:
12539:
12519:
12362:
12236:
12116:
2299:
5312:
13369:
13153:
13114:
12988:
12825:
12669:
12614:
12512:
12476:
12347:
12312:
6781:
in the distribution function, and subtracting the cumulative distribution from one: That is, replace
5294:
5169:
6462:
5866:
5244:
5209:
5098:
5045:
3789:
3332:
2523:
2004:
1661:
1445:
1314:
1162:
912:
658:
13055:
12843:
12609:
12568:
12483:
12437:
12377:
12342:
12231:
12126:
12076:
9245:
6874:
2347:
4224:
2464:
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13354:
13296:
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12664:
12619:
12604:
12422:
12372:
12367:
12168:
12148:
11883:
7274:
6820:
6249:{\displaystyle \quad x\in \left(-\infty \ ,\ \mu +{\tfrac {\sigma }{\ |\ \xi \ |\ }}\ \right)\ :}
5175:
46:
12524:
6931:
5558:
5283:
2359:
13220:
13208:
13197:
13079:
12975:
12782:
12226:
12206:
12111:
7760:{\displaystyle \ \max\{\ X_{i}\ {\big |}\ 1\leq i\leq n\ \}\sim GEV(\mu _{n},\sigma _{n},0)\ ,}
4365:
3689:
3625:
3096:
2898:
2834:
1954:
519:
362:
11949:
11847:
11653:
6784:
5145:
13344:
13301:
13145:
12820:
12674:
12654:
12551:
12121:
11884:"Quantifying annual occurrence probability of rainfall-induced landslide at a specific slope"
9563:
7525:
7451:
5680:{\displaystyle \quad x\in \left(\ \mu -{\tfrac {\sigma }{\ \xi \ }}\ ,\ +\infty \ \right)\ :}
3276:
2487:
is the scale parameter; the cumulative distribution function of the GEV distribution is then
1981:
1121:
291:
186:
12026:
7504:
Fitted GEV probability distribution to monthly maximum one-day rainfalls in
October, Surinam
7438:(type I generalized extreme value distributions). This phrasing is common in the theory of
6735:
3715:
3145:
3070:
429:
13394:
13389:
13384:
13379:
13316:
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12808:
12699:
12302:
12261:
12256:
12153:
11895:
11701:
9572:
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8940:
7174:
7054:
6957:
6935:
6762:
6114:
5289:
2363:
2351:
1139:
12599:
6926:
Note the differences in the ranges of interest for the three extreme value distributions:
4250:
3256:
2814:
2444:
8:
13328:
12853:
12833:
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12777:
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12471:
12407:
11598:
8823:
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7479:
7463:
7435:
7423:
6927:
5303:
5277:
4478:{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=(g_{2}-g_{1}^{2}){\frac {\sigma ^{2}}{\xi ^{2}}},}
3171:
2387:
2374:
In some fields of application the generalized extreme value distribution is known as the
2355:
2238:
11899:
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11911:
11791:
11773:
3122:
3050:
2994:
2327:
870:
219:
4355:{\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } (X)=\mu +(g_{1}-1){\frac {\sigma }{\xi }}}
13257:
12684:
12427:
12357:
12322:
12271:
12032:
12011:
11978:
11959:
11915:
11843:
11795:
11632:
7529:
7462:. The type-I GEV distribution thus plays the same role in these logit models as the
7459:
7419:
1298:
12432:
12106:
12045:
11903:
11783:
11709:
2383:
11907:
11953:
7521:
7439:
7427:
1988:
283:
250:
12505:
11787:
9555:{\displaystyle \ X-Y\sim \mathrm {Logistic} (\alpha _{X}-\alpha _{Y},\beta )\ }
7455:
7431:
5131:
1113:
896:
11972:
9315:{\displaystyle \ \mu -\sigma \log X\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)\ }
6942:
describes which of the three is the limiting law according to the initial law
2366:
families also known as type I, II and III extreme value distributions. By the
13437:
13128:
12876:
12163:
7493:
6394:{\displaystyle \quad y\equiv 1-{\tfrac {\ |\ \xi \ |\ }{\sigma }}(x-\mu )\ ;}
2379:
1947:
10023:{\displaystyle \ g(x)=\mu \left(1-\sigma \log {\frac {X}{\sigma }}\right)\ }
11713:
7447:
7402:{\displaystyle \ F(\ x;\ -\ln \sigma ,\ {\tfrac {\ 1\ }{\alpha }},\ 0\ )~.}
509:{\displaystyle x\in {\big (}-\infty ,\mu -{\tfrac {\sigma }{\xi }}{\big ]}}
352:{\displaystyle x\in {\big [}\mu -{\tfrac {\sigma }{\xi }},+\infty {\big )}}
7164:{\displaystyle \ F(\ x;\ \ln \sigma ,\ {\tfrac {1}{\ \alpha \ }},\ 0\ )~.}
623:{\displaystyle {\tfrac {1}{\sigma }}\,t(x)^{\xi +1}\,\mathrm {e} ^{-t(x)}}
7443:
5409:{\displaystyle \quad x\in {\Bigl (}\ -\infty \ ,\ +\infty \ {\Bigr )}\ :}
11860:
11742:
von Mises, R. (1936). "La distribution de la plus grande de n valeurs".
8759:{\displaystyle \ mX+b\sim {\textrm {GEV}}(m\mu +b,\ m\sigma ,\ \xi )\ }
2331:
6866:
6307:{\displaystyle \quad \alpha \equiv -{\tfrac {1}{\ \xi \ }}>0\quad }
4570:{\displaystyle \operatorname {Mode} (X)=\mu +{\frac {\sigma }{\xi }}.}
7615:{\displaystyle \ \left\{\ X_{i}\ {\big |}\ 1\leq i\leq n\ \right\}\ }
7513:
5735:{\displaystyle \quad \alpha \equiv {\tfrac {\ 1\ }{\xi }}>0\quad }
3296:
The probability density function of the standardized distribution is
7197:
is of type III, and with the negative numbers as support, i.e.
35:
11778:
6980:
is of type II, and with the positive numbers as support, i.e.
6723:
The subsections below remark on properties of these distributions.
5798:{\displaystyle \quad y\equiv 1+{\tfrac {\xi }{\sigma }}(x-\mu )\ ;}
4743:
4581:
1645:
1429:
11975:
Extremes and related properties of random sequences and processes
9731:{\displaystyle \ X+Y\nsim \mathrm {Logistic} (2\alpha ,\beta )\ }
7517:
3712:. The density is zero outside of the relevant range. In the case
8675:{\displaystyle \ X\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,\xi )\ }
5137:
11626:
10588:
9459:{\displaystyle \ Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha _{Y},\beta )\ }
9388:{\displaystyle \ X\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha _{X},\beta )\ }
7623:
5297:, whose cumulative distribution functions are displayed below.
1146:
11601:, opposite question of population maximum given sample maximum
10593:
9947:{\displaystyle \ X\sim {\textrm {Weibull}}(\sigma ,\,\mu )\ ,}
8061:{\displaystyle \ \max\{\ X_{i}\ {\big |}\ 1\leq i\leq n\ \}\ }
7500:
11622:
11620:
9093:{\displaystyle \ X\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)\ }
8932:{\displaystyle \ X\sim {\textrm {Weibull}}(\sigma ,\,\mu )\ }
8878:{\displaystyle \ X\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)\ }
7540:
7414:
6726:
8815:{\displaystyle \ X\sim {\textrm {Gumbel}}(\mu ,\ \sigma )\ }
11947:
11757:
Norton, Matthew; Khokhlov, Valentyn; Uryasev, Stan (2019).
9652:{\displaystyle \ Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha ,\beta )\ }
6706:
6093:
4031:
3567:
2794:
2220:
1899:
1627:
1411:
1280:
1043:
804:
11726:
11617:
10857:{\displaystyle \sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)~.}
12028:
11631:. Nova Science Publishers. Chapter-14, pp. 269–276.
11629:
Sea Level Rise, Coastal
Engineering, Shorelines and Tides
7478:
of the generalized extreme value distribution solves the
4090:{\displaystyle q={\tfrac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} p}}}
2831:, the shape parameter, can be any real number. Thus, for
11567:{\displaystyle \ \operatorname {GEV} (\mu ,\sigma ,0)~.}
3246:{\displaystyle F(0;\xi )=\mathrm {e} ^{-1}\approx 0.368}
11973:
Leadbetter, M.R., Lindgren, G. and Rootzén, H. (1983).
5168:
governs the tail behavior of the distribution. The sub-
9126:
8977:
7359:
7264:{\displaystyle \ F(\ x;\ 0,\ \sigma ,\ -\alpha \ )\ ,}
7171:
Similarly, if the cumulative distribution function of
7121:
6662:
6557:
6335:
6278:
6197:
6065:
5935:
5763:
5706:
5629:
4062:
3665:
3601:
3026:
2970:
2938:
2874:
2765:
2716:
2461:, the location parameter, can be any real number, and
2412:
2190:
2174:
1824:
1613:
1533:
761:
681:
558:
488:
322:
12008:
Extreme values, regular variation and point processes
11756:
11694:
Quarterly
Journal of the Royal Meteorological Society
11527:
10980:
10921:
10908:{\displaystyle \ X\sim {\textrm {Exponential}}(1)\ ,}
10873:
10814:
10039:
9960:
9905:
9755:
9665:
9601:
9575:
9472:
9401:
9330:
9254:
9205:
9106:
9047:
8949:
8893:
8832:
8774:
8688:
8629:
8581:
8076:
7998:
7775:
7647:
7551:
7318:
7277:
7203:
7177:
7083:
7057:
7044:{\displaystyle \ F(\ x;\ 0,\ \sigma ,\ \alpha \ )\ ,}
6986:
6960:
6877:
6863:
Doing so yields yet another family of distributions.
6823:
6787:
6765:
6738:
6408:
6320:
6266:
6162:
6126:
5812:
5748:
5697:
5606:
5570:
5425:
5351:
5315:
5247:
5212:
5178:
5148:
5101:
5048:
4986:
4755:
4739:
For Îľ < 0, the sign of the numerator is reversed.
4593:
4492:
4395:
4368:
4291:
4253:
4227:
4106:
4054:
3881:
3750:
3718:
3692:
3654:
3628:
3590:
3305:
3279:
3259:
3200:
3174:
3148:
3125:
3099:
3073:
3053:
3021:
2997:
2965:
2927:
2901:
2863:
2837:
2817:
2496:
2467:
2447:
2404:
2248:
2008:
1998:
1957:
1920:
1840:
1681:
1655:
1460:
1439:
1328:
1308:
1176:
1156:
1124:
1064:
922:
906:
873:
832:
637:
556:
522:
458:
432:
391:
365:
301:
260:
229:
196:
143:
12075:
9237:{\displaystyle \ X\sim {\textrm {Exponential}}(1)\ }
11955:
Modelling extremal events for insurance and finance
11691:
6867:
Alternative convention for the
Weibull distribution
60:. Unsourced material may be challenged and removed.
11871:Kjersti Aas, lecture, NTNU, Trondheim, 23 Jan 2008
11566:
11511:
10963:
10907:
10856:
10798:
10022:
9946:
9881:
9730:
9651:
9587:
9554:
9458:
9387:
9314:
9236:
9184:
9092:
9031:
8931:
8877:
8814:
8758:
8674:
8602:
8565:
8060:
7982:
7759:
7614:
7401:
7304:
7263:
7189:
7163:
7069:
7043:
6972:
6904:
6853:
6808:
6773:
6751:
6712:
6393:
6306:
6248:
6148:
6099:
5797:
5734:
5679:
5592:
5544:
5408:
5337:
5268:
5233:
5199:
5160:
5122:
5087:
5035:
4969:
4728:
4569:
4477:
4380:
4354:
4259:
4239:
4210:
4089:
4037:
3738:, the density is positive on the whole real line.
3730:
3704:
3678:
3640:
3614:
3573:
3285:
3265:
3245:
3186:
3160:
3131:
3111:
3085:
3059:
3039:
3003:
2983:
2951:
2913:
2887:
2849:
2823:
2800:
2479:
2453:
2433:
2288:{\displaystyle \ln(\sigma )+\gamma \xi +\gamma +1}
2287:
2226:
1972:
1938:
1905:
1633:
1417:
1286:
1130:
1101:
1049:
879:
859:
810:
622:
534:
508:
444:
418:
377:
351:
274:
241:
210:
175:{\displaystyle {\textrm {GEV}}(\mu ,\sigma ,\xi )}
174:
5395:
5361:
3464:
2592:
13435:
11929:David, Herbert A.; Nagaraja, Haikady N. (2004).
8099:
8002:
7651:
6949:
4282:Some simple statistics of the distribution are:
13454:Location-scale family probability distributions
10634:
10612:
10516:
10466:
6921:
12061:
12024:
12005:
11928:
11859:CumFreq for probability distribution fitting
11833:
11741:
8125:
8026:
7675:
7578:
7271:then the cumulative distribution function of
7051:then the cumulative distribution function of
5138:Link to Fréchet, Weibull, and Gumbel families
5036:{\displaystyle \ g_{k}=\Gamma (1-k\ \xi )\ ,}
3935:
3894:
3506:
3459:
2634:
2587:
501:
467:
344:
310:
11997:: CS1 maint: multiple names: authors list (
11676:
9787:
9769:
8052:
8005:
7701:
7654:
4048:and therefore the quantile density function
2434:{\displaystyle s={\tfrac {x-\mu }{\sigma }}}
10964:{\displaystyle \ g(X)=\mu -\sigma \log X\ }
7992:This allow us to estimate e.g. the mean of
12068:
12054:
7541:Example for Normally distributed variables
7415:Link to logit models (logistic regression)
6770:
6766:
6748:
6727:Modification for minima rather than maxima
11777:
11260:
11237:
11201:
11180:
11171:
11141:
11129:
11111:
11044:
10987:
10841:
10834:
10362:
10339:
10303:
10282:
10273:
10243:
10231:
10213:
10131:
10046:
9931:
9825:
9761:
9302:
9295:
9172:
9080:
9073:
9019:
9012:
8919:
8865:
8858:
8662:
8655:
8603:{\displaystyle \ \gamma _{\mathsf {E}}\ }
8083:
7466:does in the corresponding probit models.
6946:and in particular depending on its tail.
6622:
6517:
6025:
5895:
4294:
4171:
1853:
1679:
1558:
1458:
1326:
1174:
595:
569:
268:
204:
120:Learn how and when to remove this message
11584:Extreme value theory (univariate theory)
11521:which is the cumulative distribution of
8617:
7499:
6940:Extreme Value Theory (Univariate Theory)
3679:{\displaystyle s<-{\tfrac {1}{\xi }}}
3615:{\displaystyle s>-{\tfrac {1}{\xi }}}
3047:is the positive, upper end-point, where
2991:is the negative, lower end-point, where
2952:{\displaystyle s<-{\tfrac {1}{\xi }}}
2888:{\displaystyle s>-{\tfrac {1}{\xi }}}
2320:Muraleedharan, Soares & Lucas (2011)
2307:Muraleedharan, Soares & Lucas (2011)
69:"Generalized extreme value distribution"
11881:
8068:from the mean of the GEV distribution:
7528:. The rainfall data are represented by
5276:these correspond, respectively, to the
419:{\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )}
14:
13436:
11466:
11463:
11460:
11457:
11454:
11234:
11231:
11228:
11225:
11222:
11219:
11216:
11213:
11210:
11207:
11204:
11198:
11195:
11192:
11189:
11186:
11183:
11177:
11174:
11168:
11165:
11162:
11159:
11156:
11153:
11150:
11147:
11144:
11138:
11135:
11132:
11126:
11123:
11120:
11117:
11114:
10336:
10333:
10330:
10327:
10324:
10321:
10318:
10315:
10312:
10309:
10306:
10300:
10297:
10294:
10291:
10288:
10285:
10279:
10276:
10270:
10267:
10264:
10261:
10258:
10255:
10252:
10249:
10246:
10240:
10237:
10234:
10228:
10225:
10222:
10219:
10216:
8591:
8302:
8234:
8190:
6934:has a lower limit, while the reversed
6640:
6637:
6634:
6631:
6628:
6625:
6619:
6616:
6535:
6532:
6529:
6526:
6523:
6520:
6514:
6511:
6043:
6040:
6037:
6034:
6031:
6028:
6022:
6019:
5913:
5910:
5907:
5904:
5901:
5898:
5892:
5889:
1939:{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}
1102:{\displaystyle g_{k}=\Gamma (1-k\xi )}
12049:
11933:. John Wiley & Sons. p. 299.
11750:
11729:Extreme value theory: an introduction
11727:Haan, Laurens; Ferreira, Ana (2007).
11679:Extreme value theory: an introduction
11677:Haan, Laurens; Ferreira, Ana (2007).
11651:
4277:
13418:
11735:
10915:then the cumulative distribution of
9954:then the cumulative distribution of
6938:has an upper limit. More precisely,
860:{\displaystyle \mathrm {e} ^{-t(x)}}
275:{\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }
211:{\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }
58:adding citations to reliable sources
29:
11720:
7422:models, and certain other types of
6149:{\displaystyle ~\xi <0\ ,\quad }
5593:{\displaystyle ~\xi >0\ ,\quad }
3040:{\displaystyle -{\tfrac {1}{\xi }}}
2984:{\displaystyle -{\tfrac {1}{\xi }}}
27:Family of probability distributions
24:
11941:
11836:Frontiers in Finance and Economics
11744:Rev. Math. Union Interbalcanique 1
9703:
9700:
9697:
9694:
9691:
9688:
9685:
9682:
9627:
9624:
9621:
9618:
9615:
9612:
9510:
9507:
9504:
9501:
9498:
9495:
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