7081:
6126:
7076:{\displaystyle \mathbf {H} =\left({\begin{array}{cccccccc}E_{el}&P_{z}&{\sqrt {2}}P_{z}&-{\sqrt {3}}P_{+}&0&{\sqrt {2}}P_{-}&P_{-}&0\\P_{z}^{\dagger }&P+\Delta &{\sqrt {2}}Q^{\dagger }&-S^{\dagger }/{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}P_{+}^{\dagger }&0&-{\sqrt {3/2}}S&-{\sqrt {2}}R\\E_{el}&P_{z}&{\sqrt {2}}P_{z}&-{\sqrt {3}}P_{+}&0&{\sqrt {2}}P_{-}&P_{-}&0\\E_{el}&P_{z}&{\sqrt {2}}P_{z}&-{\sqrt {3}}P_{+}&0&{\sqrt {2}}P_{-}&P_{-}&0\\E_{el}&P_{z}&{\sqrt {2}}P_{z}&-{\sqrt {3}}P_{+}&0&{\sqrt {2}}P_{-}&P_{-}&0\\E_{el}&P_{z}&{\sqrt {2}}P_{z}&-{\sqrt {3}}P_{+}&0&{\sqrt {2}}P_{-}&P_{-}&0\\E_{el}&P_{z}&{\sqrt {2}}P_{z}&-{\sqrt {3}}P_{+}&0&{\sqrt {2}}P_{-}&P_{-}&0\\E_{el}&P_{z}&{\sqrt {2}}P_{z}&-{\sqrt {3}}P_{+}&0&{\sqrt {2}}P_{-}&P_{-}&0\\\end{array}}\right)}
7096:
4471:
1988:
1175:
4224:
4233:
1727:
3631:
3444:
2971:
2793:
906:
2464:
5531:
3792:
5345:
5166:
4466:{\displaystyle H_{j\gamma }^{'}=\left\langle u_{j0}\right|{\frac {\hbar }{m_{0}}}\mathbf {k} \cdot \left(\mathbf {p} +{\frac {\hbar }{4m_{0}c^{2}}}{\bar {\sigma }}\times \nabla V\right)\left|u_{\gamma 0}\right\rangle \approx \sum _{\alpha }{\frac {\hbar k_{\alpha }}{m_{0}}}p_{j\gamma }^{\alpha }.}
3120:
1983:{\displaystyle Hu_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\left(H_{0}+{\frac {\hbar }{m_{0}}}\mathbf {k} \cdot \mathbf {\Pi } +{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{4m_{0}^{2}c^{2}}}\nabla V\times \mathbf {p} \cdot {\bar {\sigma }}\right)u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=E_{n}(\mathbf {k} )u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}
4712:
3935:
3257:
730:
1503:
2618:
3450:
3263:
2799:
2624:
1170:{\displaystyle U_{mn}^{A}=H_{mn}+\sum _{\alpha \neq m}^{B}{\frac {H_{m\alpha }H_{\alpha n}}{E-H_{\alpha \alpha }}}+\sum _{\alpha ,\beta \neq m,n;\alpha \neq \beta }{\frac {H_{m\alpha }H_{\alpha \beta }H_{\beta n}}{(E-H_{\alpha \alpha })(E-H_{\beta \beta })}}+\ldots }
552:
384:
2086:
1678:
3924:
2285:
5353:
3637:
5174:
4995:
897:
5650:
5757:
2977:
2153:
4984:
5845:
1350:
4219:{\displaystyle U_{jj'}^{A}=H_{jj'}+\sum _{\gamma \neq j,j'}^{B}{\frac {H_{j\gamma }H_{\gamma j'}}{E_{0}-E_{\gamma }}}=H_{jj'}+\sum _{\gamma \neq j,j'}^{B}{\frac {H_{j\gamma }^{'}H_{\gamma j'}^{'}}{E_{0}-E_{\gamma }}}}
2278:
respectively. These Bloch functions can be pictured as periodic repetition of atomic orbitals, repeated at intervals corresponding to the lattice spacing. The Bloch function can be expanded in the following manner:
3126:
564:
1361:
2500:
3626:{\displaystyle u_{70}(\mathbf {r} )={\bar {u}}_{lh}(\mathbf {r} )=\left|{\frac {3}{2}},-{\frac {1}{2}}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {6}}}|(X-iY)\uparrow \rangle +{\sqrt {\frac {2}{3}}}|Z\downarrow \rangle }
3439:{\displaystyle u_{60}(\mathbf {r} )={\bar {u}}_{SO}(\mathbf {r} )=\left|{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {3}}}|(X-iY)\uparrow \rangle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}|Z\downarrow \rangle }
4551:
232:
2966:{\displaystyle u_{30}(\mathbf {r} )=u_{lh}(\mathbf {r} )=\left|{\frac {3}{2}},{\frac {1}{2}}\right\rangle =-{\frac {1}{\sqrt {6}}}|(X+iY)\downarrow \rangle +{\sqrt {\frac {2}{3}}}|Z\uparrow \rangle }
2788:{\displaystyle u_{20}(\mathbf {r} )=u_{SO}(\mathbf {r} )=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {3}}}|(X+iY)\downarrow \rangle +{\frac {1}{\sqrt {3}}}|Z\uparrow \rangle }
396:
6073:
6118:
243:
2000:
1581:
4544:
1711:
736:
where the first sum on the right-hand side is over the states in class A only, while the second sum is over the states on class B. Since we are interested in the coefficients
2459:{\displaystyle u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\sum _{j'}^{A}a_{j'}(\mathbf {k} )u_{j'0}(\mathbf {r} )+\sum _{\gamma }^{B}a_{\gamma }(\mathbf {k} )u_{\gamma 0}(\mathbf {r} )}
154:
6013:
5902:
5875:
1561:
116:
5986:
5958:
5930:
2276:
2248:
2220:
2192:
5526:{\displaystyle C_{0}={\frac {\hbar ^{2}}{m_{0}^{2}}}\sum _{\gamma }^{B}{\frac {p_{x\gamma }^{x}p_{\gamma y}^{y}+p_{x\gamma }^{y}p_{\gamma y}^{x}}{E_{0}-E_{\gamma }}},}
3787:{\displaystyle u_{80}(\mathbf {r} )={\bar {u}}_{hh}(\mathbf {r} )=\left|{\frac {3}{2}},-{\frac {3}{2}}\right\rangle =-{\frac {1}{\sqrt {2}}}|(X-iY)\downarrow \rangle }
6033:
2492:
1231:
1534:
1205:
761:
5340:{\displaystyle B_{0}={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}+{\frac {\hbar ^{2}}{m_{0}^{2}}}\sum _{\gamma }^{B}{\frac {p_{x\gamma }^{y}p_{\gamma x}^{y}}{E_{0}-E_{\gamma }}},}
5161:{\displaystyle A_{0}={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}+{\frac {\hbar ^{2}}{m_{0}^{2}}}\sum _{\gamma }^{B}{\frac {p_{x\gamma }^{x}p_{\gamma x}^{x}}{E_{0}-E_{\gamma }}},}
4495:
773:
5548:
5658:
3115:{\displaystyle u_{40}(\mathbf {r} )=u_{hh}(\mathbf {r} )=\left|{\frac {3}{2}},{\frac {3}{2}}\right\rangle =-{\frac {1}{\sqrt {2}}}|(X+iY)\uparrow \rangle }
3804:
5765:
2097:
1239:
4720:
3252:{\displaystyle u_{50}(\mathbf {r} )={\bar {u}}_{el}(\mathbf {r} )=\left|S{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right\rangle =-|S\downarrow \rangle }
725:{\displaystyle a_{m}=\sum _{n\neq m}^{A}{\frac {H_{mn}}{E-H_{mm}}}a_{n}+\sum _{\alpha \neq m}^{B}{\frac {H_{m\alpha }}{E-H_{mm}}}a_{\alpha }}
1498:{\displaystyle a_{\gamma }=\sum _{n}^{A}{\frac {U_{\gamma n}^{A}-H_{\gamma n}\delta _{\gamma n}}{E-H_{\gamma \gamma }}}a_{n}=0,\gamma \in B}
2613:{\displaystyle u_{10}(\mathbf {r} )=u_{el}(\mathbf {r} )=\left|S{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right\rangle =\left|S\uparrow \right\rangle }
6120:
can be written explicitly as a 8X8 matrix (taking into account 8 bands - 2 conduction, 2 heavy-holes, 2 light-holes and 2 split-off)
2166:
exhibits s-like symmetry, while the valence band states are p-like (3-fold degenerate without spin). Let us denote these states as
7167:
2. Luttinger, J. M. Kohn, W., "Motion of
Electrons and Holes in Perturbed Periodic Fields", Phys. Rev. 97,4. pp. 869-883, (1955).
4707:{\displaystyle D_{jj'}\equiv U_{jj'}^{A}=E_{j}(0)\delta _{jj'}+\sum _{\alpha \beta }D_{jj'}^{\alpha \beta }k_{\alpha }k_{\beta },}
162:
7147:
6143:
17:
547:{\displaystyle H_{mn}=\int \phi _{m}^{(0)\dagger }H\phi _{n}^{(0)}d^{3}\mathbf {r} =E_{n}^{(0)}\delta _{mn}+H_{mn}^{'}}
7182:
7106:
71:: six valence bands (heavy hole, light hole, split off band and their spin counterparts) and two conduction bands.
6038:
1572:
379:{\displaystyle (E-H_{mm})a_{m}=\sum _{n\neq m}^{A}H_{mn}a_{n}+\sum _{\alpha \neq m}^{B}H_{m\alpha }a_{\alpha }}
2081:{\displaystyle \mathbf {\Pi } =\mathbf {p} +{\frac {\hbar }{4m_{0}^{2}c^{2}}}{\bar {\sigma }}\times \nabla V}
1673:{\displaystyle H=H_{0}+{\frac {\hbar }{4m_{0}^{2}c^{2}}}{\bar {\sigma }}\cdot \nabla V\times \mathbf {p} }
5850:
These parameters are very closely related to the effective masses of the holes in various valence bands.
6086:
1687:
44:
28:
121:
5991:
5880:
5853:
4509:
1539:
95:
5963:
5935:
5907:
2253:
2225:
2197:
2169:
1718:
7168:
6018:
2477:
1210:
1512:
1183:
739:
4480:
8:
5538:
892:{\displaystyle a_{m}=\sum _{n}^{A}{\frac {U_{mn}^{A}-\delta _{mn}H_{mn}}{E-H_{mm}}}a_{n}}
34:
used for calculating the structure of multiple, degenerate electronic bands in bulk and
5645:{\displaystyle \gamma _{1}=-{\frac {1}{3}}{\frac {2m_{0}}{\hbar ^{2}}}(A_{0}+2B_{0}),}
53:
7153:
7143:
5752:{\displaystyle \gamma _{2}=-{\frac {1}{6}}{\frac {2m_{0}}{\hbar ^{2}}}(A_{0}-B_{0}),}
1714:
767:
in class A, we may eliminate those in class B by an iteration procedure to obtain:
237:
Assuming the unperturbed eigenstates are orthonormalized, the eigenequations are:
3919:{\displaystyle \sum _{j'}^{A}(U_{jj'}^{A}-E\delta _{jj'})a_{j'}(\mathbf {k} )=0,}
3798:
Using Löwdin's method, only the following eigenvalue problem needs to be solved
52:
In this model, the influence of all other bands is taken into account by using
38:
7176:
5840:{\displaystyle \gamma _{3}=-{\frac {1}{6}}{\frac {2m_{0}}{\hbar ^{2}}}C_{0},}
7157:
2148:{\displaystyle H'={\frac {\hbar }{m_{0}}}\mathbf {k} \cdot \mathbf {\Pi } .}
2158:
The unperturbed
Hamiltonian refers to the band-edge spin-orbit system (for
1345:{\displaystyle a_{n}=\sum _{n}^{A}(U_{mn}^{A}-E\delta _{mn})a_{n}=0,m\in A}
35:
4979:{\displaystyle D_{jj'}^{\alpha \beta }={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}\left.}
2163:
7095:
6015:
relates to the anisotropy of the energy band structure around the
7169:
https://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.97.869
1566:
227:{\displaystyle \phi =\sum _{n}^{A,B}a_{n}\phi _{n}^{(0)}}
118:, as a linear combination of the unperturbed eigenstates
1575:
including the spin-orbit interaction can be written as:
2494:
is in Class B. The basis functions can be chosen to be
4506:. Similarly to the single band case, we can write for
7142:(First ed.). New York: Wiley. pp. 124–190.
6129:
6089:
6041:
6021:
5994:
5966:
5938:
5910:
5883:
5856:
5768:
5661:
5551:
5356:
5177:
4998:
4723:
4554:
4512:
4483:
4236:
3938:
3807:
3640:
3453:
3266:
3129:
2980:
2802:
2627:
2503:
2480:
2288:
2256:
2228:
2200:
2172:
2100:
2003:
1730:
1690:
1584:
1542:
1515:
1364:
1242:
1213:
1186:
909:
776:
742:
567:
399:
246:
165:
124:
98:
41:. The method is a generalization of the single band
4498:can be neglected compared to the similar term with
2091:and the perturbation Hamiltonian can be defined as
7075:
6112:
6067:
6027:
6007:
5980:
5952:
5924:
5896:
5869:
5839:
5751:
5644:
5525:
5339:
5160:
4978:
4706:
4538:
4489:
4465:
4218:
3918:
3786:
3625:
3438:
3251:
3114:
2965:
2787:
2612:
2486:
2458:
2270:
2242:
2214:
2186:
2147:
2080:
1982:
1705:
1672:
1555:
1528:
1497:
1344:
1225:
1199:
1169:
891:
755:
724:
546:
378:
226:
148:
110:
7174:
5988:states to the other states. The third parameter
6078:
64:All bands can be subdivided into two classes:
5975:
5947:
5919:
3781:
3620:
3591:
3433:
3404:
3246:
3109:
2960:
2931:
2782:
2753:
2265:
2237:
2209:
2181:
1536:belonging to Class A are determined, so are
27:The Luttinger–Kohn model is a flavor of the
7137:
6068:{\displaystyle \gamma _{2}\neq \gamma _{3}}
2162:=0). At the band edge, the conduction band
5536:and the band structure parameters (or the
1567:Schrödinger equation and basis functions
81:The method concentrates on the bands in
4989:We now define the following parameters
14:
7175:
7131:
92:We can write the perturbed solution,
7090:
558:From this expression, we can write:
24:
6280:
6113:{\displaystyle \mathbf {D_{jj'}} }
6022:
4484:
4368:
2072:
1870:
1656:
25:
7194:
7140:Physics of Optoelectronic Devices
1721:in Bloch approximation we obtain
7094:
6131:
6100:
6096:
6092:
4314:
4301:
3900:
3691:
3655:
3504:
3468:
3317:
3281:
3180:
3144:
3022:
2995:
2844:
2817:
2669:
2642:
2545:
2518:
2449:
2425:
2386:
2357:
2308:
2298:
2138:
2130:
2013:
2005:
1973:
1963:
1947:
1923:
1913:
1880:
1807:
1799:
1753:
1743:
1706:{\displaystyle {\bar {\sigma }}}
1666:
478:
6083:The Luttinger-Kohn Hamiltonian
149:{\displaystyle \phi _{i}^{(0)}}
5968:
5940:
5912:
5743:
5717:
5636:
5607:
4962:
4936:
4618:
4612:
4359:
3904:
3896:
3878:
3828:
3778:
3775:
3760:
3756:
3695:
3687:
3672:
3659:
3651:
3617:
3610:
3588:
3585:
3570:
3566:
3508:
3500:
3485:
3472:
3464:
3430:
3423:
3401:
3398:
3383:
3379:
3321:
3313:
3298:
3285:
3277:
3243:
3236:
3184:
3176:
3161:
3148:
3140:
3106:
3103:
3088:
3084:
3026:
3018:
2999:
2991:
2957:
2950:
2928:
2925:
2910:
2906:
2848:
2840:
2821:
2813:
2779:
2772:
2750:
2747:
2732:
2728:
2673:
2665:
2646:
2638:
2602:
2549:
2541:
2522:
2514:
2453:
2445:
2429:
2421:
2390:
2382:
2361:
2353:
2312:
2304:
2258:
2230:
2202:
2174:
2063:
1977:
1969:
1951:
1943:
1927:
1919:
1893:
1757:
1749:
1717:vector. Substituting into the
1697:
1647:
1311:
1271:
1155:
1133:
1130:
1108:
501:
495:
462:
456:
435:
429:
269:
247:
219:
213:
141:
135:
13:
1:
7125:
5904:describe the coupling of the
59:
7:
6079:Explicit Hamiltonian matrix
6008:{\displaystyle \gamma _{3}}
5897:{\displaystyle \gamma _{2}}
5870:{\displaystyle \gamma _{1}}
4539:{\displaystyle U_{jj'}^{A}}
1556:{\displaystyle a_{\gamma }}
111:{\displaystyle \phi _{}^{}}
10:
7199:
7086:
5981:{\displaystyle |Z\rangle }
5953:{\displaystyle |Y\rangle }
5925:{\displaystyle |X\rangle }
2271:{\displaystyle |Z\rangle }
2243:{\displaystyle |Y\rangle }
2215:{\displaystyle |X\rangle }
2187:{\displaystyle |S\rangle }
85:, and takes into account
7183:Condensed matter physics
56:'s perturbation method.
6028:{\displaystyle \Gamma }
5542:) can be defined to be
2487:{\displaystyle \gamma }
1509:When the coefficients
7103:This section is empty.
7077:
6114:
6069:
6029:
6009:
5982:
5954:
5926:
5898:
5871:
5841:
5753:
5646:
5527:
5413:
5341:
5266:
5162:
5087:
4980:
4835:
4708:
4540:
4491:
4467:
4220:
4135:
4017:
3920:
3827:
3788:
3627:
3440:
3253:
3116:
2967:
2789:
2614:
2488:
2460:
2410:
2337:
2272:
2244:
2216:
2188:
2149:
2082:
1984:
1707:
1674:
1557:
1530:
1499:
1392:
1346:
1270:
1227:
1226:{\displaystyle n\in A}
1201:
1171:
967:
893:
804:
757:
726:
673:
601:
548:
380:
352:
305:
228:
192:
150:
112:
89:bands perturbatively.
7078:
6115:
6070:
6030:
6010:
5983:
5955:
5927:
5899:
5872:
5842:
5754:
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