4280:
133:
36:
2070:
1853:
1533:
1340:
2298:
655:
887:
1861:
1644:
1405:
1212:
2093:
4946:
512:
744:
3628:
4661:
4779:
4784:
5197:
2531:
2065:{\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)=L~~~\iff ~~~(\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,(0<a-x<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ))}
1848:{\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=R~~~\iff ~~~(\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,(0<x-a<\delta \longrightarrow |f(x)-R|<\varepsilon ))}
1528:{\displaystyle {\text{for all }}\varepsilon >0\;{\text{ there exists some }}\delta >0\;{\text{ such that for all }}x\in I,{\text{ if }}\;0<a-x<\delta {\text{ then }}|f(x)-L|<\varepsilon .}
1335:{\displaystyle {\text{for all }}\varepsilon >0\;{\text{ there exists some }}\delta >0\;{\text{ such that for all }}x\in I,{\text{ if }}\;0<x-a<\delta {\text{ then }}|f(x)-R|<\varepsilon ,}
5028:
5104:
3513:
197:
2293:{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L~~~\iff ~~~\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,0<|x-a|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon .}
4542:
4056:
3693:
5282:, with the domain of the function restricted to one side, by either allowing that the function domain is a subset of the topological space, or by considering a one-sided subspace, including
1610:
4421:
4537:
4479:
4249:
3905:
3404:
3353:
229:
3462:
3042:
2849:
5242:
1003:
4342:
650:{\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\,\downarrow \,a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\searrow a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad f(x+)}
2807:
2743:
1048:
It is possible for exactly one of the two one-sided limits to exist (while the other does not exist). It is also possible for neither of the two one-sided limits to exist.
882:{\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\,\uparrow \,a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\nearrow a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad f(x-)}
3302:
3746:
5446:
4275:
5420:
3951:
3928:
3282:
3188:
2775:
5393:
5369:
4666:
3004:
2711:
4102:
3818:
3772:
2918:
2599:
1636:
4193:
3849:
3508:
3217:
3123:
3094:
918:
378:
331:
2944:
2651:
2625:
285:
259:
5303:
5276:
4162:
4142:
4122:
4076:
3991:
3971:
3792:
3713:
3482:
3237:
3143:
3065:
2984:
2964:
2892:
2872:
2691:
2671:
2573:
2553:
2341:
2321:
1558:
1400:
1380:
1360:
1207:
1187:
1167:
1147:
1127:
1107:
1079:
1043:
1023:
958:
938:
737:
717:
697:
677:
505:
485:
465:
445:
422:
402:
305:
6640:
2348:
6628:
6750:
6635:
5109:
6618:
6613:
6623:
6608:
5722:
5540:
4941:{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}={\frac {1}{1+\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}2^{-1/x}}}={\frac {1}{1+0}}=1}
2084:
at a point, the one-sided limit (as the name would suggest) only deals with input values to one side of the approached input value.
5910:
6603:
4951:
100:
6220:
5974:
5659:
5619:
5516:
72:
5033:
5506:
139:
5279:
963:
5772:
3996:
3633:
79:
6718:
6577:
5695:
1563:
119:
17:
6132:
6048:
4355:
960:
exists then the limits from the left and from the right both exist and are equal. In some cases in which the limit
53:
6786:
6713:
6645:
6270:
6125:
6093:
5852:
5685:
86:
6346:
6323:
6038:
4484:
57:
4426:
4198:
3854:
3623:{\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty \qquad {\text{ and }}\qquad \lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty }
3358:
3307:
202:
6781:
6436:
6374:
6169:
6043:
5715:
5649:
68:
5922:
5900:
3422:
6745:
4656:{\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}2^{-1/x}=\infty \qquad {\text{ and }}\qquad \lim _{x\to 0^{+}}2^{-1/x}=0}
6730:
6496:
6110:
5932:
5306:
3009:
2816:
5202:
6115:
5885:
6534:
6481:
4286:
2303:
To define a one-sided limit, we must modify this inequality. Note that the absolute distance between
5942:
2780:
2716:
6650:
6421:
5969:
5708:
3287:
6416:
6088:
46:
4774:{\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty {\text{ and }}\lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty }
3718:
6776:
6544:
6426:
6247:
6195:
6001:
5979:
5847:
5690:
5425:
4254:
1082:
349:
5402:
3933:
3910:
3242:
3148:
2748:
6670:
6529:
6441:
6098:
6033:
6006:
5996:
5917:
5905:
5890:
5862:
5378:
5354:
5328:
2989:
2696:
93:
4081:
3797:
3751:
2897:
2578:
1615:
6486:
6105:
5952:
2087:
For reference, the formal definition for the limit of a function at a point is as follows:
1086:
4167:
3823:
3487:
3193:
3099:
3070:
894:
354:
310:
8:
6506:
6431:
6318:
6275:
6026:
6011:
5842:
5830:
5817:
5777:
5757:
5253:
2923:
2810:
2630:
2604:
2081:
345:
264:
238:
5285:
1005:
does not exist, the two one-sided limits nonetheless exist. Consequently, the limit as
27:
Limit of a function approaching a value point from values below or above the value point
6595:
6570:
6401:
6354:
6295:
6260:
6255:
6235:
6230:
6225:
6190:
6137:
6120:
6021:
5895:
5880:
5825:
5792:
5625:
5599:
5261:
4147:
4127:
4107:
4061:
3976:
3956:
3777:
3698:
3467:
3222:
3128:
3050:
2969:
2949:
2877:
2857:
2676:
2656:
2558:
2538:
2326:
2306:
1543:
1385:
1365:
1345:
1192:
1172:
1152:
1132:
1112:
1092:
1064:
1028:
1008:
943:
923:
722:
702:
682:
662:
490:
470:
450:
430:
407:
387:
290:
6735:
6559:
6491:
6313:
6290:
6164:
6157:
6060:
5875:
5767:
5655:
5629:
5615:
5606:, Industrial and Applied Mathematics, Singapore: Springer Singapore, pp. 39–53,
5563:
5512:
5332:
5318:
6693:
6476:
6389:
6369:
6300:
6210:
6152:
6144:
6078:
5991:
5752:
5747:
5607:
5555:
6755:
6740:
6524:
6379:
6359:
6328:
6305:
6285:
6179:
5782:
5475:
5611:
4279:
6665:
6564:
6411:
6364:
6265:
6068:
6083:
6770:
6539:
6394:
6280:
5984:
5959:
5567:
5559:
232:
6549:
6519:
6384:
5947:
5324:
5582:
5797:
5739:
381:
6514:
6446:
6200:
6073:
5937:
5927:
5870:
6708:
6456:
6451:
5762:
424:
approaches a specified point either from the left or from the right.
35:
6703:
6205:
5731:
337:
5192:{\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}f(x)\neq \lim _{x\to 0^{+}}f(x),}
132:
6554:
5807:
2526:{\displaystyle |x-a|=|(-1)(-x+a)|=|(-1)(a-x)|=|(-1)||a-x|=|a-x|.}
4352:: One example of a function with different one-sided limits is
6723:
5787:
5598:
Brokate, Martin; Manchanda, Pammy; Siddiqi, Abul Hasan (2019),
5030:
because the denominator diverges to infinity; that is, because
1537:
We can represent the same thing more symbolically, as follows.
5247:
5802:
5700:
5023:{\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}=0}
5323:
A noteworthy theorem treating one-sided limits of certain
3096:
is also within its desired interval. The distance between
2813:
property of inequalities, we have the compound inequality
3067:
is in its desired interval, we expect that the value of
2986:. Again, we want to bound this distance by our value of
5597:
2946:
that is positive and represents the distance between
5428:
5405:
5381:
5357:
5288:
5264:
5205:
5112:
5099:{\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}1+2^{-1/x}=\infty .}
5036:
4954:
4862:
4787:
4669:
4545:
4487:
4429:
4358:
4289:
4257:
4201:
4170:
4150:
4130:
4110:
4084:
4064:
3999:
3979:
3959:
3936:
3913:
3857:
3826:
3800:
3780:
3754:
3721:
3701:
3636:
3516:
3490:
3470:
3425:
3361:
3310:
3290:
3245:
3225:
3196:
3151:
3131:
3102:
3073:
3053:
3012:
2992:
2972:
2952:
2926:
2900:
2880:
2860:
2819:
2783:
2751:
2719:
2699:
2679:
2659:
2633:
2607:
2581:
2561:
2541:
2351:
2329:
2309:
2096:
1864:
1647:
1618:
1566:
1546:
1408:
1388:
1368:
1348:
1215:
1195:
1175:
1155:
1135:
1115:
1095:
1067:
1031:
1011:
966:
946:
926:
897:
747:
725:
705:
685:
665:
515:
493:
473:
453:
433:
410:
390:
357:
313:
293:
267:
241:
205:
142:
192:{\displaystyle f(x)=x^{2}+\operatorname {sign} (x),}
3284:. In both cases, we want to bound this distance by
60:. Unsourced material may be challenged and removed.
5440:
5414:
5387:
5363:
5305:Alternatively, one may consider the domain with a
5297:
5270:
5236:
5191:
5098:
5022:
4940:
4773:
4655:
4531:
4473:
4415:
4336:
4269:
4243:
4187:
4156:
4136:
4116:
4096:
4070:
4050:
3985:
3965:
3945:
3922:
3899:
3843:
3812:
3786:
3766:
3740:
3707:
3687:
3622:
3502:
3476:
3456:
3419:: The limits from the left and from the right of
3398:
3347:
3296:
3276:
3239:, the limiting value of the right sided limit, is
3231:
3211:
3182:
3137:
3117:
3088:
3059:
3036:
2998:
2978:
2958:
2938:
2912:
2886:
2866:
2843:
2801:
2769:
2737:
2705:
2685:
2665:
2645:
2619:
2593:
2567:
2547:
2525:
2335:
2315:
2292:
2064:
1847:
1630:
1604:
1552:
1527:
1394:
1374:
1354:
1334:
1201:
1181:
1161:
1141:
1121:
1101:
1073:
1037:
1017:
997:
952:
932:
912:
881:
731:
711:
691:
671:
649:
507:"from the right" or "from above") can be denoted:
499:
479:
459:
439:
416:
396:
372:
325:
299:
279:
253:
223:
191:
4051:{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty }
3688:{\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty }
3145:, the limiting value of the left sided limit, is
2693:. We want to bound this distance by our value of
739:"from the left" or "from below") can be denoted:
6768:
5541:"Towards Formal Linear Cryptanalysis using HOL4"
5207:
5152:
5114:
5038:
4956:
4864:
4789:
4724:
4671:
4604:
4547:
4489:
4431:
4203:
4001:
3859:
3638:
3573:
3518:
2854:Similarly, for the limit from the left, we want
2098:
1866:
1649:
968:
829:
791:
749:
597:
559:
517:
5476:"One-sided limit - Encyclopedia of Mathematics"
4423:(cf. picture) where the limit from the left is
2080:In comparison to the formal definition for the
1605:{\displaystyle I\subseteq \mathrm {domain} (f)}
5716:
5651:Mathematical Analysis and Its Inherent Nature
5508:Introductory Analysis: The Theory of Calculus
4416:{\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+2^{-1/x}}},}
5584:Phase Phenomena of Proteins in Living Matter
5511:. Gulf Professional Publishing. p. 48.
4539:To calculate these limits, first show that
5648:Giv, Hossein Hosseini (28 September 2016).
5538:
5248:Relation to topological definition of limit
1045:is sometimes called a "two-sided limit".
5723:
5709:
5654:. American Mathematical Soc. p. 130.
5422:The same is true when a limit is equal to
2252:
2248:
2144:
2140:
1919:
1915:
1702:
1698:
1461:
1438:
1423:
1268:
1245:
1230:
6751:Regiomontanus' angle maximization problem
5539:Hasan, Osman; Khayam, Syed (2014-01-02).
4532:{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}f(x)=1.}
2189:
2165:
1967:
1943:
1750:
1726:
844:
808:
802:
798:
612:
576:
570:
566:
120:Learn how and when to remove this message
6594:
4474:{\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}f(x)=0}
4278:
4244:{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}}
3900:{\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}}
3399:{\displaystyle |f(x)-R|<\varepsilon }
3348:{\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }
224:{\displaystyle \operatorname {sign} (x)}
131:
6099:Differentiating under the integral sign
1382:can be rigorously defined as the value
1189:can be rigorously defined as the value
14:
6769:
2535:For the limit from the right, we want
5975:Inverse functions and differentiation
5704:
5604:Calculus for Scientists and Engineers
5580:
5548:Journal of Universal Computer Science
5504:
3457:{\displaystyle g(x):=-{\frac {1}{x}}}
3006:, leading to the compound inequality
5500:
5498:
5496:
5470:
5468:
5466:
5464:
2745:. Putting together the inequalities
1051:
58:adding citations to reliable sources
29:
5647:
4164:from the right, which implies that
3037:{\displaystyle 0<a-x<\delta }
2844:{\displaystyle 0<x-a<\delta }
24:
5773:Free variables and bound variables
5432:
5406:
5382:
5358:
5237:{\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)}
5090:
4768:
4715:
4593:
4261:
4045:
3940:
3917:
3682:
3617:
3562:
3190:. Similarly, the distance between
2202:
2178:
2154:
1980:
1956:
1932:
1763:
1739:
1715:
1589:
1586:
1583:
1580:
1577:
1574:
998:{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)}
25:
6798:
6578:The Method of Mechanical Theorems
5696:Limit superior and limit inferior
5493:
5461:
5312:
6133:Partial fractions in integration
6049:Stochastic differential equation
5505:Fridy, J. A. (24 January 2020).
4481:and the limit from the right is
344:refers to either one of the two
34:
6271:Jacobian matrix and determinant
6126:Tangent half-angle substitution
6094:Fundamental theorem of calculus
5686:Projectively extended real line
5581:Gasic, Andrei G. (2020-12-12).
5258:The one-sided limit to a point
4602:
4596:
4337:{\displaystyle 1/(1+2^{-1/x}).}
3571:
3565:
863:
857:
827:
821:
789:
783:
679:increases in value approaching
631:
625:
595:
589:
557:
551:
447:decreases in value approaching
45:needs additional citations for
6347:Arithmetico-geometric sequence
6039:Ordinary differential equation
5641:
5591:
5574:
5532:
5345:
5231:
5225:
5214:
5183:
5177:
5159:
5145:
5139:
5121:
5045:
4963:
4871:
4796:
4731:
4678:
4611:
4554:
4520:
4514:
4496:
4462:
4456:
4438:
4368:
4362:
4328:
4298:
4210:
4008:
3866:
3758:
3725:
3645:
3580:
3525:
3435:
3429:
3386:
3376:
3370:
3363:
3355:for the left sided limit, and
3335:
3325:
3319:
3312:
3270:
3260:
3254:
3247:
3206:
3200:
3176:
3166:
3160:
3153:
3112:
3106:
3083:
3077:
2802:{\displaystyle x-a<\delta }
2738:{\displaystyle x-a<\delta }
2516:
2502:
2494:
2480:
2475:
2471:
2462:
2458:
2450:
2446:
2434:
2431:
2422:
2418:
2410:
2406:
2391:
2388:
2379:
2375:
2367:
2353:
2277:
2267:
2261:
2254:
2249:
2238:
2224:
2141:
2122:
2116:
2105:
2059:
2056:
2046:
2036:
2030:
2023:
2019:
1995:
1929:
1916:
1897:
1891:
1873:
1842:
1839:
1829:
1819:
1813:
1806:
1802:
1778:
1712:
1699:
1680:
1674:
1656:
1599:
1593:
1512:
1502:
1496:
1489:
1319:
1309:
1303:
1296:
1149:then the right-sided limit as
992:
986:
975:
907:
901:
876:
867:
854:
848:
836:
818:
812:
799:
780:
774:
756:
644:
635:
622:
616:
604:
586:
580:
567:
548:
542:
524:
367:
361:
218:
212:
183:
177:
152:
146:
13:
1:
6170:Integro-differential equation
6044:Partial differential equation
5454:
1560:represent an interval, where
1441: such that for all
1426: there exists some
1248: such that for all
1233: there exists some
1056:
5730:
3297:{\displaystyle \varepsilon }
2075:
1342:and the left-sided limit as
7:
6324:Generalized Stokes' theorem
6111:Integration by substitution
5679:
5612:10.1007/978-981-13-8464-6_2
5327:at the boundaries of their
5307:half-open interval topology
5280:general definition of limit
4195:is always negative so that
3993:from the left. Similarly,
3851:is always positive so that
3409:
3406:for the right sided limit.
3304:, so we get the following:
10:
6803:
5853:(ε, δ)-definition of limit
5316:
5251:
3741:{\displaystyle x\to 0^{-}}
3715:is always negative (since
6746:Proof that 22/7 exceeds π
6683:
6661:
6587:
6535:Gottfried Wilhelm Leibniz
6505:
6482:e (mathematical constant)
6467:
6339:
6246:
6178:
6059:
5861:
5816:
5738:
5441:{\displaystyle -\infty .}
5351:A limit that is equal to
4781:) so that consequently,
4270:{\displaystyle -\infty .}
2627:is positive. From above,
1085:that is contained in the
6497:Stirling's approximation
5970:Implicit differentiation
5918:Rules of differentiation
5560:10.3217/jucs-020-02-0193
5415:{\displaystyle \infty .}
5338:
5329:intervals of convergence
3946:{\displaystyle -\infty }
3923:{\displaystyle +\infty }
3277:{\displaystyle |f(x)-R|}
3183:{\displaystyle |f(x)-L|}
2770:{\displaystyle 0<x-a}
2713:, giving the inequality
2653:is the distance between
287:and a function value of
6731:Euler–Maclaurin formula
6636:trigonometric functions
6089:Constant of integration
5388:{\displaystyle \infty }
5364:{\displaystyle \infty }
4663:(which is true because
4124:is always positive) as
3047:Now, when our value of
2999:{\displaystyle \delta }
2706:{\displaystyle \delta }
6787:Functions and mappings
6700:Differential geometry
6545:Infinitesimal calculus
6248:Multivariable calculus
6196:Directional derivative
6002:Second derivative test
5980:Logarithmic derivative
5953:General Leibniz's rule
5848:Order of approximation
5691:Semi-differentiability
5600:"Limit and Continuity"
5480:encyclopediaofmath.org
5442:
5416:
5389:
5365:
5299:
5272:
5238:
5193:
5100:
5024:
4942:
4775:
4657:
4533:
4475:
4417:
4344:
4338:
4271:
4245:
4189:
4158:
4138:
4118:
4098:
4097:{\displaystyle x>0}
4072:
4052:
3987:
3967:
3947:
3924:
3901:
3845:
3820:), which implies that
3814:
3813:{\displaystyle x<0}
3788:
3768:
3767:{\displaystyle x\to 0}
3742:
3709:
3689:
3624:
3504:
3478:
3458:
3400:
3349:
3298:
3278:
3233:
3213:
3184:
3139:
3119:
3090:
3061:
3038:
3000:
2980:
2960:
2940:
2920:. In this case, it is
2914:
2913:{\displaystyle x<a}
2888:
2868:
2845:
2803:
2771:
2739:
2707:
2687:
2667:
2647:
2621:
2595:
2594:{\displaystyle a<x}
2569:
2555:to be to the right of
2549:
2527:
2337:
2317:
2294:
2066:
1849:
1632:
1631:{\displaystyle a\in I}
1606:
1554:
1529:
1396:
1376:
1356:
1336:
1203:
1183:
1163:
1143:
1123:
1103:
1075:
1039:
1019:
999:
954:
934:
914:
883:
733:
713:
693:
673:
651:
501:
481:
461:
441:
418:
398:
374:
333:
327:
301:
281:
255:
235:, has a left limit of
225:
193:
6619:logarithmic functions
6614:exponential functions
6530:Generality of algebra
6408:Tests of convergence
6034:Differential equation
6018:Further applications
6007:Extreme value theorem
5997:First derivative test
5891:Differential operator
5863:Differential calculus
5443:
5417:
5390:
5366:
5300:
5273:
5239:
5194:
5101:
5025:
4943:
4776:
4658:
4534:
4476:
4418:
4339:
4283:Plot of the function
4282:
4272:
4246:
4190:
4159:
4139:
4119:
4099:
4073:
4053:
3988:
3968:
3948:
3925:
3902:
3846:
3815:
3789:
3769:
3743:
3710:
3690:
3625:
3505:
3479:
3459:
3401:
3350:
3299:
3279:
3234:
3214:
3185:
3140:
3120:
3091:
3062:
3039:
3001:
2981:
2961:
2941:
2915:
2889:
2874:to be to the left of
2869:
2846:
2804:
2772:
2740:
2708:
2688:
2668:
2648:
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2570:
2550:
2528:
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2295:
2067:
1850:
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1607:
1555:
1530:
1397:
1377:
1357:
1337:
1204:
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1164:
1144:
1124:
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1076:
1040:
1020:
1000:
955:
935:
915:
884:
734:
714:
694:
674:
652:
502:
482:
462:
442:
419:
399:
375:
328:
302:
282:
256:
226:
194:
135:
6782:Limits (mathematics)
6684:Miscellaneous topics
6624:hyperbolic functions
6609:irrational functions
6487:Exponential function
6340:Sequences and series
6106:Integration by parts
5426:
5403:
5379:
5355:
5286:
5262:
5203:
5110:
5034:
4952:
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4667:
4543:
4485:
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4356:
4287:
4255:
4199:
4188:{\displaystyle -1/x}
4168:
4148:
4128:
4108:
4082:
4062:
4058:since all values of
3997:
3977:
3957:
3934:
3911:
3855:
3844:{\displaystyle -1/x}
3824:
3798:
3778:
3752:
3719:
3699:
3634:
3514:
3503:{\displaystyle a:=0}
3488:
3468:
3423:
3359:
3308:
3288:
3243:
3223:
3212:{\displaystyle f(x)}
3194:
3149:
3129:
3118:{\displaystyle f(x)}
3100:
3089:{\displaystyle f(x)}
3071:
3051:
3010:
2990:
2970:
2950:
2924:
2898:
2878:
2858:
2817:
2781:
2749:
2717:
2697:
2677:
2657:
2631:
2605:
2579:
2559:
2539:
2349:
2327:
2307:
2094:
1862:
1645:
1616:
1564:
1544:
1406:
1386:
1366:
1346:
1213:
1193:
1173:
1153:
1133:
1113:
1093:
1065:
1029:
1009:
964:
944:
924:
913:{\displaystyle f(x)}
895:
745:
723:
703:
683:
663:
513:
491:
471:
451:
431:
408:
388:
373:{\displaystyle f(x)}
355:
326:{\displaystyle x=0.}
311:
291:
265:
239:
203:
140:
54:improve this article
6671:List of derivatives
6507:History of calculus
6422:Cauchy condensation
6319:Exterior derivative
6276:Lagrange multiplier
6012:Maximum and minimum
5843:Limit of a sequence
5831:Limit of a function
5778:Graph of a function
5758:Continuous function
5278:corresponds to the
5254:Filters in topology
4104:(said differently,
3774:with all values of
2939:{\displaystyle a-x}
2894:, which means that
2646:{\displaystyle x-a}
2620:{\displaystyle x-a}
2575:, which means that
2082:limit of a function
280:{\displaystyle +1,}
254:{\displaystyle -1,}
6604:rational functions
6571:Method of Fluxions
6417:Alternating series
6314:Differential forms
6296:Partial derivative
6256:Divergence theorem
6138:Quadratic integral
5906:Leibniz's notation
5896:Mean value theorem
5881:Partial derivative
5826:Indeterminate form
5438:
5412:
5385:
5361:
5298:{\displaystyle p.}
5295:
5268:
5234:
5221:
5189:
5173:
5135:
5096:
5059:
5020:
4977:
4938:
4907:
4885:
4810:
4771:
4745:
4692:
4653:
4625:
4568:
4529:
4510:
4471:
4452:
4413:
4345:
4334:
4267:
4241:
4224:
4185:
4154:
4134:
4114:
4094:
4068:
4048:
4022:
3983:
3963:
3943:
3920:
3897:
3880:
3841:
3810:
3784:
3764:
3738:
3705:
3685:
3659:
3620:
3594:
3539:
3500:
3474:
3454:
3396:
3345:
3294:
3274:
3229:
3209:
3180:
3135:
3115:
3086:
3057:
3034:
2996:
2976:
2956:
2936:
2910:
2884:
2864:
2841:
2799:
2767:
2735:
2703:
2683:
2663:
2643:
2617:
2591:
2565:
2545:
2523:
2333:
2313:
2290:
2112:
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