6430:
996:
5696:
515:
6425:{\displaystyle {\mathbf {A} }_{}:={\begin{bmatrix}a_{1,1,\ldots ,1,1,1,\ldots ,1}&a_{2,1,\ldots ,1,1,1,\ldots ,1}&\cdots &a_{I_{1},I_{2},\ldots ,I_{m-1},1,I_{m+1},\ldots ,I_{M}}\\a_{1,1,\ldots ,1,2,1,\ldots ,1}&a_{2,1,\ldots ,1,2,1,\ldots ,1}&\cdots &a_{I_{1},I_{2},\ldots ,I_{m-1},2,I_{m+1},\ldots ,I_{M}}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{1,1,\ldots ,1,I_{m},1,\ldots ,1}&a_{2,1,\ldots ,1,I_{m},1,\ldots ,1}&\cdots &a_{I_{1},I_{2},\ldots ,I_{m-1},I_{m},I_{m+1},\ldots ,I_{M}}\end{bmatrix}}}
991:{\displaystyle {\begin{aligned}V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{M}&\simeq F^{I_{1}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}\\&\simeq F^{I_{\pi _{1}}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{\pi _{M}}}\\&\simeq F^{I_{\pi _{1}}I_{\pi _{2}}}\otimes F^{I_{\pi _{3}}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{\pi _{M}}}\\&\simeq F^{I_{\pi _{1}}I_{\pi _{3}}}\otimes F^{I_{\pi _{2}}}\otimes F^{I_{\pi _{4}}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{\pi _{M}}}\\&\,\,\,\vdots \\&\simeq F^{I_{1}I_{2}\ldots I_{M}},\end{aligned}}}
22:
208:. The use of indices presupposes tensors in coordinate representation with respect to a basis. The coordinate representation of a tensor can be regarded as a multi-dimensional array, and a bijection from one set of indices to another therefore amounts to a rearrangement of the array elements into an array of a different shape. Such a rearrangement constitutes a particular kind of
4865:
2675:
3511:
1947:
1611:
4375:
4613:
6694:
2436:
1726:
3235:
1386:
6444:
4210:
1240:
5334:
4860:{\displaystyle \operatorname {vec} ({\mathcal {A}})={\begin{bmatrix}a_{1,1,\ldots ,1}&a_{2,1,\ldots ,1}&\cdots &a_{n_{1},1,\ldots ,1}&a_{1,2,1,\ldots ,1}&\cdots &a_{I_{1},I_{2},\ldots ,I_{M}}\end{bmatrix}}^{T},}
6891:
2309:
2966:
2670:{\displaystyle (V_{\pi (1)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (r_{1})})\otimes (V_{\pi (r_{1}+1)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (r_{2})})\otimes \cdots \otimes (V_{\pi (r_{L-1}+1)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (r_{L})}),}
3971:
3506:{\displaystyle (V_{\pi (r_{l-1}+1)}\otimes V_{\pi (r_{l-1}+2)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (r_{l})})\simeq (F^{I_{\pi (r_{l-1}+1)}}\otimes F^{I_{\pi (r_{l-1}+2)}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{\pi (r_{l})}})}
3870:
2223:
1381:
3183:
6767:
1942:{\displaystyle \sum _{i_{1}=1}^{I_{1}}\ldots \sum _{i_{M}=1}^{I_{M}}a_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{M}}\mathbf {e} _{i_{1}}^{1}\otimes \mathbf {e} _{i_{2}}^{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{i_{M}}^{M},}
4155:
3726:
5542:
5624:
520:
2431:
2372:
4095:
4447:
2115:
1677:
3083:
2160:
1035:
4989:
1606:{\displaystyle {\mathcal {A}}=\sum _{i_{1}=1}^{I_{1}}\ldots \sum _{i_{M}=1}^{I_{M}}a_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{M}}v_{i_{1}}^{1}\otimes v_{i_{2}}^{2}\otimes \cdots \otimes v_{i_{M}}^{M},}
4370:{\displaystyle \mathbf {e} _{i_{1}}^{1}\otimes \cdots \mathbf {e} _{i_{m}}^{m}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{i_{M}}^{M}\mapsto \mathbf {e} _{\mu (i_{1},i_{2},\ldots ,i_{M})},}
5195:
4578:
4527:
4202:
1981:
5685:
5055:
1070:
6689:{\displaystyle }]_{jk}=a_{i_{1}\dots i_{m}\dots i_{M}},\;\;{\text{ where }}j=i_{m}{\text{ and }}k=1+\sum _{n=0 \atop n\neq m}^{M}(i_{n}-1)\prod _{l=0 \atop l\neq m}^{n-1}I_{l}.}
5092:
5228:
4476:
5370:
5016:
4899:
3107:
1721:
345:
3897:
3767:
3230:
3018:
2768:
2741:
2008:
404:
5455:
2045:
1153:
2834:
2801:
1140:
206:
3538:
1291:
478:
451:
4606:
5249:
6772:
4395:
3991:
3203:
2986:
2695:
1697:
1264:
1114:
1094:
508:
424:
372:
278:
250:
230:
180:
160:
6897:
column vectors are arranged by sweeping all the other mode indices through their ranges, with smaller mode indexes varying more rapidly than larger ones; thus
5416:
5138:
304:
127:
2228:
2842:
5549:
3902:
6915:
3772:
2169:
1299:
3112:
6703:
4100:
3543:
86:
58:
5460:
65:
2377:
2318:
105:
39:
4004:
1096:
elements. Via these (and other) vector space isomorphisms, a tensor can be interpreted in several ways as an order-
5688:
4400:
2054:
1616:
72:
3023:
2128:
1003:
4904:
43:
54:
6947:
5143:
4536:
4485:
4160:
3899:
group of factors. The result of applying these isomorphisms within each group of factors is an element of
1952:
5647:
5021:
4585:
1044:
5060:
2433:, but may, of course, be reintroduced to emphasize a particular grouping of factors. In the grouping,
6916:"Multilinear (Tensor) Algebraic Framework for Computer Graphics, Computer Vision and Machine Learning"
5200:
4452:
5351:
4997:
4880:
3088:
1702:
312:
3875:
3731:
3208:
2991:
2746:
2700:
1986:
481:
377:
2312:
1235:{\displaystyle V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{M}\simeq F^{I_{1}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}
32:
5421:
4205:
2016:
1294:
79:
2806:
2773:
2163:
1119:
5329:{\displaystyle {\mathcal {A}}\in F^{I_{1}}\otimes F^{I_{2}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}
185:
6886:{\displaystyle {\mathbf {A} }_{}\in F^{I_{m}\times (I_{1}\dots I_{m-1}I_{m+1}\dots I_{M})}}
3516:
1269:
456:
429:
4591:
8:
488:
119:
4380:
3976:
3188:
2971:
2680:
1682:
1249:
1099:
1079:
493:
409:
357:
263:
235:
215:
165:
145:
5375:
5097:
283:
1243:
307:
6942:
1073:
5336:
be the coordinate representation of an abstract tensor with respect to a basis.
4877:
reshapes a higher-order tensor into a vector. In general, the vectorization of
2304:{\displaystyle V_{\pi (1)}\otimes V_{\pi (2)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (M)}}
2010:
135:
6936:
4530:
2961:{\displaystyle S_{l}=(\pi (r_{l-1}+1),\pi (r_{l-1}+2),\ldots ,\pi (r_{l}))}
484:
139:
1038:
4874:
209:
1383:. The expression of a tensor with respect to this basis has the form
3185:, is obtained by applying the two processes above within each of the
131:
21:
3205:
groups of factors. That is, the coordinate representation of the
3966:{\displaystyle F^{I_{S_{1}}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{S_{L}}}}
2311:. Parentheses are usually omitted from such products due to the
4869:
which is consistent with the way in which the colon operator in
4870:
3865:{\textstyle I_{S_{l}}:=\prod _{i=r_{l-1}+1}^{r_{l}}I_{\pi (i)}}
3513:, which requires specifying bases for all of the vector spaces
4529:. In such a reshaping, the tensor is simply interpreted as a
2218:{\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}\otimes \cdots \otimes V_{M}}
1376:{\displaystyle \{v_{1}^{m},v_{2}^{m},\ldots ,v_{I_{m}}^{m}\}}
3872:, the product of the dimensions of the vector spaces in the
3178:{\displaystyle {\mathcal {A}}_{(S_{1},S_{2},\ldots ,S_{L})}}
6762:{\displaystyle {\mathcal {A}}\in F^{I_{1}\times ...I_{M}},}
5233:
4150:{\displaystyle F^{I_{1}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}
3721:{\displaystyle \mu _{l}:\times \times \cdots \times \to }
510:. Then there are vector space isomorphisms (linear maps)
5644:
in the literature. A standard choice for the bijections
5728:
4645:
3775:
1150:
The first vector space isomorphism on the list above,
6775:
6706:
6447:
5699:
5650:
5552:
5537:{\displaystyle S_{2}=(1,2,\ldots ,m-1,m+1,\ldots ,M)}
5463:
5424:
5378:
5354:
5252:
5203:
5146:
5100:
5063:
5024:
5000:
4907:
4883:
4616:
4594:
4539:
4488:
4455:
4403:
4383:
4213:
4163:
4103:
4007:
3979:
3905:
3878:
3734:
3546:
3519:
3238:
3211:
3191:
3115:
3091:
3026:
2994:
2974:
2845:
2809:
2776:
2749:
2703:
2683:
2439:
2380:
2321:
2231:
2172:
2131:
2057:
2019:
1989:
1955:
1729:
1705:
1685:
1619:
1389:
1302:
1272:
1252:
1156:
1122:
1102:
1082:
1047:
1006:
518:
496:
459:
432:
412:
380:
360:
315:
286:
266:
238:
218:
188:
168:
148:
6893:. As the parenthetical ordering indicates, the mode-
5619:{\displaystyle {\mathbf {A} }_{}={\mathcal {A}}_{}}
3540:. The result is then vectorized using a bijection
3232:group of factors is obtained using the isomorphism
46:. Unsourced material may be challenged and removed.
6885:
6761:
6688:
6424:
5679:
5618:
5536:
5449:
5410:
5364:
5328:
5222:
5189:
5132:
5086:
5049:
5010:
4983:
4893:
4859:
4600:
4572:
4521:
4470:
4441:
4389:
4369:
4196:
4149:
4089:
3985:
3965:
3891:
3864:
3761:
3720:
3532:
3505:
3224:
3197:
3177:
3101:
3077:
3012:
2980:
2960:
2828:
2795:
2762:
2735:
2689:
2669:
2425:
2366:
2303:
2217:
2154:
2109:
2039:
2002:
1975:
1941:
1715:
1691:
1671:
1605:
1375:
1285:
1258:
1234:
1134:
1108:
1088:
1064:
1029:
990:
502:
472:
445:
418:
398:
366:
339:
298:
272:
244:
224:
200:
174:
154:
2426:{\displaystyle (V_{i}\otimes V_{j})\otimes V_{k}}
2367:{\displaystyle V_{i}\otimes (V_{j}\otimes V_{k})}
2166:between the two tensor products of vector spaces
6934:
5544:. Usually, a standard matrixizing is denoted by
1246:of an abstract tensor. Assume that each of the
5687:is the one that is consistent with the reshape
2051:-way array whose elements are the coefficients
4090:{\displaystyle \mu :\times \cdots \times \to }
4442:{\displaystyle 1\leq i\leq I_{1}\cdots I_{M}}
2110:{\displaystyle a_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{M}}}
1672:{\displaystyle a_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{M}}}
6907:
1370:
1303:
1145:
334:
316:
3078:{\displaystyle (S_{1},S_{2},\ldots ,S_{L})}
2155:{\displaystyle \pi \in {\mathfrak {S}}_{M}}
1030:{\displaystyle \pi \in {\mathfrak {S}}_{M}}
6534:
6533:
4984:{\displaystyle _{i=1}^{I_{1}\cdots I_{M}}}
162:tensor and the set of indices of an order-
6913:
927:
926:
925:
106:Learn how and when to remove this message
6935:
2120:
232:tensors and the vector space of order-
5190:{\displaystyle S_{1}=(1,2,\ldots ,M)}
4573:{\displaystyle F^{I_{1}\cdots I_{M}}}
4522:{\displaystyle F^{i_{1}\cdots i_{M}}}
4197:{\displaystyle F^{I_{1}\cdots I_{M}}}
4097:, a vector space isomorphism between
1976:{\displaystyle \mathbf {e} _{i}^{m}}
44:adding citations to reliable sources
15:
5680:{\displaystyle \mu _{1},\ \mu _{2}}
5628:This reshaping is sometimes called
5050:{\displaystyle vec({\mathcal {A}})}
2141:
1699:. The coordinate representation of
1065:{\displaystyle {\mathfrak {S}}_{M}}
1051:
1016:
13:
6709:
6636:
6578:
5579:
5357:
5255:
5217:
5067:
5039:
5003:
4886:
4628:
4588:. A standard choice of bijection
3119:
3094:
1708:
1392:
212:between the vector space of order-
14:
6959:
5691:in Matlab and GNU Octave, namely
5087:{\displaystyle {\mathcal {A}}_{}}
6779:
6454:
5703:
5556:
5223:{\displaystyle S_{2}=\emptyset }
4471:{\displaystyle \mathbf {e} _{i}}
4458:
4306:
4279:
4246:
4216:
3996:
1958:
1914:
1881:
1854:
20:
4377:where for every natural number
31:needs additional citations for
6914:Vasilescu, M. Alex O. (2009),
6878:
6817:
6791:
6785:
6628:
6609:
6472:
6466:
6460:
6448:
5715:
5709:
5611:
5585:
5568:
5562:
5531:
5477:
5444:
5438:
5405:
5379:
5365:{\displaystyle {\mathcal {A}}}
5184:
5160:
5127:
5101:
5079:
5073:
5044:
5034:
5011:{\displaystyle {\mathcal {A}}}
4941:
4935:
4929:
4908:
4894:{\displaystyle {\mathcal {A}}}
4633:
4623:
4359:
4314:
4301:
4084:
4058:
4055:
4052:
4039:
4027:
4014:
3857:
3851:
3715:
3695:
3692:
3689:
3684:
3671:
3660:
3648:
3643:
3618:
3607:
3601:
3596:
3571:
3560:
3500:
3493:
3480:
3451:
3426:
3403:
3378:
3362:
3356:
3351:
3338:
3316:
3291:
3275:
3250:
3239:
3170:
3125:
3102:{\displaystyle {\mathcal {A}}}
3072:
3027:
2955:
2952:
2939:
2924:
2899:
2890:
2865:
2859:
2661:
2656:
2643:
2621:
2596:
2585:
2573:
2568:
2555:
2533:
2514:
2503:
2497:
2492:
2479:
2457:
2451:
2440:
2407:
2381:
2361:
2335:
2296:
2290:
2268:
2262:
2246:
2240:
1716:{\displaystyle {\mathcal {A}}}
340:{\displaystyle \{1,\dots ,M\}}
293:
287:
1:
6900:
3973:, which is a tensor of order
3892:{\displaystyle l^{\text{th}}}
3762:{\displaystyle F^{I_{S_{l}}}}
3225:{\displaystyle l^{\text{th}}}
3013:{\displaystyle 1\leq l\leq L}
2763:{\displaystyle l^{\text{th}}}
2736:{\displaystyle r_{l}-r_{l-1}}
2047:. This can be regarded as a
2003:{\displaystyle i^{\text{th}}}
399:{\displaystyle 1\leq m\leq M}
255:
4482:th standard basis vector of
4001:By means of a bijective map
7:
10:
6964:
6769:is defined as the matrix
5450:{\displaystyle S_{1}=(m)}
4586:vectorization of matrices
2040:{\displaystyle F^{I_{m}}}
1244:coordinate representation
1146:Coordinate representation
260:Given a positive integer
6700:matrixizing of a tensor
3728:to obtain an element of
3085:-flattening of a tensor
4204:is constructed via the
2829:{\displaystyle r_{L}=M}
2796:{\displaystyle r_{0}=0}
1613:where the coefficients
1135:{\displaystyle L\leq M}
406:for a positive integer
6887:
6763:
6690:
6672:
6608:
6426:
5681:
5620:
5538:
5451:
5412:
5366:
5330:
5224:
5191:
5134:
5088:
5051:
5012:
4985:
4895:
4861:
4602:
4584:, and is analogous to
4574:
4523:
4472:
4443:
4391:
4371:
4198:
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