515:
4715:
4560:
4710:{\displaystyle \varphi (\gamma )=\left\{{\begin{array}{lcr}n\quad {\text{if}}\quad \gamma =1\\\varphi (\gamma -1)\cdot n\quad {\text{if}}\quad \gamma \quad {\text{is a successor ordinal}}\\\varphi (\gamma )\quad {\text{if}}\quad \gamma \quad {\text{is a limit ordinal}}\\\end{array}}\right.}
5782:=(1@ω) denotes the transfinite sequence with value 1 at ω and 0 everywhere else, then φ(1@ω) is the smallest fixed point of all the functions ξ↦φ(ξ,0,...,0) with finitely many final zeroes (it is also the limit of the φ(1,0,...,0) with finitely many zeroes, the small Veblen ordinal).
1092:
746:
4553:
2030:
5647:
5202:
4916:
1455:
852:
2313:
1353:
247:
4116:
1674:
4003:
5065:
1904:
5462:
5342:
311:
1228:
923:
2678:
918:
4234:
6076:
617:
2161:
3279:
4376:
2515:
1148:
3016:
1762:
3439:
2582:
499:
431:
2781:
3216:
4328:
5890:
4779:
3771:
2081:
1813:
3582:
3354:
3131:
2205:
2864:
3683:
2719:
2828:
1503:
3084:
1560:
3724:
3650:
3509:
1710:
173:
5941:
3882:
4273:
457:
389:
3825:
3609:
3465:
363:
3049:
6023:
1266:
337:
4368:
2431:
5982:
3541:
3386:
3307:
1909:
5515:
5488:
4942:
2931:
2335:
5667:
5362:
5222:
5070:
4784:
3909:
1358:
755:
5687:
5508:
5242:
4962:
2210:
4144:
1274:
4028:
3171:
3151:
2951:
2887:
178:
4035:
1565:
3916:
5702:, provided that all but a finite number of them are zero. Notice that if such a sequence of ordinals is chosen from those less than an uncountable
4969:
1818:
1087:{\displaystyle \alpha =\varphi _{\beta _{1}}(\gamma _{1})+\cdots +\varphi _{\beta _{k-1}}(\gamma _{k-1})+(\varphi _{\beta _{k}}(\gamma _{k}))\,.}
5825:(1@(1,0)) are valid (representing the large Veblen ordinal), visualised as multi-dimensional arrays. It was proven that all ordinals below the
5369:
5249:
258:
1153:
5706:κ, then the sequence may be encoded as a single ordinal less than κ (ordinal exponentiation). So one is defining a function φ from κ into κ.
2587:
857:
741:{\displaystyle \alpha =\varphi _{\beta _{1}}(\gamma _{1})+\varphi _{\beta _{2}}(\gamma _{2})+\cdots +\varphi _{\beta _{k}}(\gamma _{k})}
4149:
6035:
2086:
4548:{\displaystyle (\varphi (s_{1})+\varphi (s_{2})+\cdots +\varphi (s_{k}))=\varphi (s_{1})+\varphi (s_{2})+\cdots +\varphi (s_{k})}
6173:, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, vol. 81 (Second ed.), Amsterdam: North-Holland Publishing Co.,
5801:(i.e., that cannot be reached "from below" using the Veblen function of transfinitely many variables) is sometimes known as the
3222:
2436:
1107:
6178:
6149:
6123:
2956:
1715:
3391:
579:ω is a distinguished strictly increasing ω-sequence that has the ordinal as its limit. If one has fundamental sequences for
2526:
462:
394:
2724:
3179:
4278:
920:
If a fundamental sequence can be provided for the last term, then that term can be replaced by such a sequence to get
6300:
562:
6144:, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 225, Berlin-New York: Springer-Verlag, pp. xii+299,
5847:
4722:
3729:
2044:
1770:
544:
536:
32:
3911:
less than the small Veblen ordinal (SVO) can be uniquely written in normal form for the finitary Veblen function:
3546:
3312:
3089:
2168:
6488:
2833:
2795:
To build the Veblen function of a finite number of arguments (finitary Veblen function), let the binary function
5955:
3655:
2691:
2364:
5944:
5896:
2798:
1462:
540:
3054:
1508:
125:
3777:
variable (i.e., if one variable is made to vary and all later variables are kept constantly equal to zero).
5948:
3688:
3614:
3473:
35:
1679:
607:
148:
5911:
5826:
3834:
6341:
4239:
436:
368:
6431:
3783:
3587:
3444:
342:
3021:
5987:
1235:
583:
and all smaller limit ordinals, then one can create an explicit constructive bijection between ω and
316:
74:
4341:
752:>0 is a natural number and each term after the first is less than or equal to the previous term,
6478:
2394:
2025:{\displaystyle \varphi _{\beta +1}(\gamma +1)=\varphi _{\beta }(\varphi _{\beta +1}(\gamma +1))\,.}
525:
5642:{\displaystyle \varphi (s,\beta ,z,\gamma )=\varphi (s,\beta ,\varphi (s,\beta ,z,\gamma -1)+1,z)}
591:). Here we will describe fundamental sequences for the Veblen hierarchy of ordinals. The image of
5960:
5893:
5698:
More generally, Veblen showed that φ can be defined even for a transfinite sequence of ordinals α
3514:
3359:
3286:
529:
5737:
ranges over all sequences that are obtained by decreasing the smallest-indexed nonzero value of
5197:{\displaystyle \varphi (s,\beta ,z,\gamma )=\varphi (s,\beta -1,\varphi (s,\beta ,z,\gamma ),z)}
4911:{\displaystyle \varphi (s,\beta ,z,\gamma )=\varphi (s,\beta -1,\varphi (s,\beta ,z,\gamma ),z)}
1450:{\displaystyle \varphi _{0}(\gamma +1)=\varphi _{0}(\gamma )\cdot n=\omega ^{\gamma }\cdot n\,.}
847:{\displaystyle \varphi _{\beta _{m}}(\gamma _{m})\geq \varphi _{\beta _{m+1}}(\gamma _{m+1})\,,}
6384:
5467:
4921:
2892:
2308:{\displaystyle \varphi _{\beta }(\gamma +1)=\varphi _{\beta }(\varphi _{\beta }(\gamma )+1)\,.}
38:
6367:
2320:
6483:
6216:
Veblen, Oswald (1908), "Continuous
Increasing Functions of Finite and Transfinite Ordinals",
5829:
could be represented in this system, and that the representations for all ordinals below the
5652:
5347:
5207:
3894:
1348:{\displaystyle \varphi _{0}(\gamma +1)=\omega ^{\gamma +1}=\omega ^{\gamma }\cdot \omega \,,}
5672:
5493:
5227:
4947:
6188:
6159:
6133:
6029:
5830:
5802:
4122:
3885:
8:
242:{\displaystyle \varphi _{\alpha }(\varphi _{\beta }(\gamma ))=\varphi _{\beta }(\gamma )}
6357:" (2006), appearing in Proceedings of the International Congress of Mathematicians 2006.
6454:
6321:
6281:
6263:
6235:
6104:
5903:
4333:
4013:
3156:
3136:
2936:
2872:
5729:) is defined as the function enumerating the common fixed points of all functions ξ↦φ(
5713:
be a transfinite sequence of ordinals (i.e., an ordinal function with finite support)
4593:
6458:
6354:
6294:
6174:
6145:
6119:
3828:
6417:
6446:
6399:
6385:"An ordinal analysis of admissible set theory using recursion on ordinal notations"
6255:
6225:
6204:
6111:
5817:, the Veblen function was extended further to a somewhat technical system known as
5703:
4111:{\displaystyle \varphi (s_{1})\geq \varphi (s_{2})\geq \cdots \geq \varphi (s_{k})}
1669:{\displaystyle \varphi _{\beta +1}(0)=\varphi _{\beta }(\varphi _{\beta +1}(0))\,,}
2953:
be an empty string or a string consisting of one or more comma-separated ordinals
6184:
6155:
6129:
5821:. In this, one may take fixed points or row numbers, meaning expressions such as
588:
28:
6246:
Miller, Larry W. (1976), "Normal
Functions and Constructive Ordinal Notations",
6450:
3998:{\displaystyle \alpha =\varphi (s_{1})+\varphi (s_{2})+\cdots +\varphi (s_{k})}
2889:
be an empty string or a string consisting of one or more comma-separated zeros
42:
6403:
6115:
2317:
Otherwise, the ordinal cannot be described in terms of smaller ordinals using
610:
used in connection with the Veblen hierarchy is: every nonzero ordinal number
6472:
6380:
6166:
5725:
denote the same function where the final 0 has been replaced by γ. Then γ↦φ(
5060:{\displaystyle \varphi (s,\beta ,z,\gamma )=\varphi (s,\beta ,z,\gamma -1)+1}
1899:{\displaystyle \varphi _{\beta +1}(\gamma +1)=\varphi _{\beta +1}(\gamma )+1}
46:
5947:
with finitely many function symbols, and the smallest ordinal closed under
5899:
3773:. Each instance of the generalized Veblen functions is continuous in the
6110:, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1407, Berlin: Springer-Verlag,
5741:
and replacing some smaller-indexed value with the indeterminate ξ (i.e.,
5457:{\displaystyle \varphi (s,\beta ,z,\gamma )=\varphi (s,\beta ,z,\gamma )}
5337:{\displaystyle \varphi (s,\beta ,z,\gamma )=\varphi (s,\beta ,z,\gamma )}
3173:
are empty strings. The finitary Veblen functions are defined as follows:
306:{\displaystyle \varphi _{\alpha }(\beta )<\varphi _{\gamma }(\delta )}
20:
6090:
1223:{\displaystyle \varphi _{\beta }(\gamma )=\varphi _{\beta }(\gamma )\,.}
6267:
6239:
6208:
6095:
576:
2673:{\displaystyle \Gamma _{\beta +1}=\varphi _{\Gamma _{\beta +1}}(0)\,.}
6259:
6230:
4334:
Fundamental sequences for limit ordinals of finitary Veblen function
3884:
where the number of zeroes ranges over ω, is sometimes known as the
514:
6286:
6275:
913:{\displaystyle \gamma _{m}<\varphi _{\beta _{m}}(\gamma _{m}).}
4229:{\displaystyle \alpha _{m,1},\alpha _{m,2},...,\alpha _{m,n_{m}}}
504:
6071:{\displaystyle \varphi {\begin{pmatrix}1\\\omega \end{pmatrix}}}
4146:
is a string consisting of one or more comma-separated ordinals
6274:
Massmann, Jayde Sylvie; Kwon, Adrian Wang (October 20, 2023),
6195:
Smorynski, C. (1982), "The varieties of arboreal experience",
5902:
and the limit of what ordinals can be represented in terms of
6091:
Transfinite
Ordinals and Their Notations: For The Uninitiated
5760:
is nonzero the latter has been replaced by some value ζ<α
2156:{\displaystyle \varphi _{\beta }(0)=\varphi _{\beta }(0)\,.}
4704:
4370:, written in normal form for the finitary Veblen function:
3652:
enumerates the fixed points of that function, i.e., of the
6212:
contains an informal description of the Veblen hierarchy.
3274:{\displaystyle \varphi (z,s,\gamma )=\varphi (s,\gamma )}
2510:{\displaystyle \Gamma _{0}=\varphi _{\Gamma _{0}}(0)\,.}
1143:{\displaystyle \gamma <\varphi _{\beta }(\gamma )\,,}
5833:
were aesthetically the same as in the original system.
3011:{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}}
1757:{\displaystyle \varphi _{\beta }(\varphi _{\beta }(0))}
6047:
3434:{\displaystyle \xi \mapsto \varphi (s,\delta ,\xi ,z)}
60:
is any normal function, then for any non-zero ordinal
6432:"A flexible type system for the small Veblen ordinal"
6038:
5990:
5963:
5914:
5850:
5675:
5655:
5518:
5496:
5470:
5372:
5350:
5252:
5230:
5210:
5073:
4972:
4950:
4924:
4787:
4725:
4563:
4379:
4344:
4281:
4242:
4152:
4125:
4038:
4016:
3919:
3897:
3837:
3786:
3732:
3691:
3658:
3617:
3590:
3549:
3517:
3476:
3447:
3394:
3362:
3315:
3289:
3225:
3182:
3159:
3139:
3092:
3057:
3024:
2959:
2939:
2895:
2875:
2836:
2801:
2727:
2694:
2590:
2577:{\displaystyle \Gamma _{\beta +1}=\Gamma _{\beta }+1}
2529:
2439:
2397:
2323:
2213:
2171:
2089:
2047:
1912:
1821:
1773:
1718:
1682:
1568:
1511:
1465:
1361:
1277:
1238:
1156:
1110:
926:
860:
758:
620:
494:{\displaystyle \varphi _{\alpha }(\beta )<\delta }
465:
439:
426:{\displaystyle \beta <\varphi _{\gamma }(\delta )}
397:
371:
345:
319:
261:
181:
151:
6368:
Proof
Theoretic Techniques for Term Rewriting Theory
2776:{\displaystyle \Gamma _{\beta }=\Gamma _{\beta }\,.}
3211:{\displaystyle \varphi (\gamma )=\omega ^{\gamma }}
6342:Ordinal notations based on a weakly Mahlo cardinal
6103:
6070:
6017:
5976:
5935:
5884:
5681:
5661:
5641:
5502:
5482:
5456:
5356:
5336:
5236:
5216:
5196:
5059:
4956:
4936:
4910:
4773:
4709:
4547:
4362:
4322:
4267:
4228:
4138:
4110:
4022:
3997:
3903:
3876:
3819:
3765:
3718:
3677:
3644:
3603:
3576:
3535:
3503:
3459:
3433:
3380:
3348:
3301:
3273:
3210:
3165:
3145:
3125:
3078:
3043:
3010:
2945:
2925:
2881:
2858:
2822:
2775:
2713:
2672:
2576:
2509:
2425:
2329:
2307:
2199:
2155:
2075:
2024:
1898:
1807:
1756:
1704:
1668:
1554:
1497:
1449:
1347:
1260:
1222:
1142:
1086:
912:
846:
740:
493:
451:
425:
383:
357:
331:
305:
241:
167:
6218:Transactions of the American Mathematical Society
6470:
5841:The function takes on several prominent values:
4323:{\displaystyle \alpha _{m,i}<\varphi (s_{m})}
5693:
2391:, a fundamental sequence could be chosen to be
1268:= ω = 1 because it does not have cofinality ω.
5885:{\displaystyle \varphi (1,0)=\varepsilon _{0}}
4774:{\displaystyle \varphi (s,\beta ,z,\gamma )=0}
3766:{\displaystyle \xi \mapsto \varphi (1,\xi ,0)}
2076:{\displaystyle \beta <\varphi _{\beta }(0)}
1808:{\displaystyle \varphi _{\beta +1}(\gamma +1)}
505:Fundamental sequences for the Veblen hierarchy
575:The fundamental sequence for an ordinal with
113:)=ω this family of functions is known as the
6273:
5814:
5709:The definition can be given as follows: let
3577:{\displaystyle \xi \mapsto \varphi (\xi ,0)}
3349:{\displaystyle \varphi (s,\beta ,z,\gamma )}
3126:{\displaystyle \varphi (s,\beta ,z,\gamma )}
2200:{\displaystyle \varphi _{\beta }(\gamma +1)}
255:is strictly increasing we get the ordering:
6429:
6336:
6334:
2859:{\displaystyle \varphi _{\alpha }(\gamma )}
543:. Unsourced material may be challenged and
3678:{\displaystyle \xi \mapsto \Gamma _{\xi }}
2790:
2714:{\displaystyle \beta <\Gamma _{\beta }}
6344:, (1990, p.251). Accessed 16 August 2022.
6285:
6229:
6194:
2823:{\displaystyle \varphi (\alpha ,\gamma )}
2769:
2666:
2503:
2301:
2149:
2018:
1662:
1498:{\displaystyle \varphi _{\beta +1}(0)\,,}
1491:
1443:
1341:
1216:
1136:
1080:
840:
563:Learn how and when to remove this message
161:
6331:
5797:applied to any function with support in
3388:-th common fixed point of the functions
3079:{\displaystyle \varphi (\beta ,\gamma )}
1555:{\displaystyle \varphi _{\beta +1}(0)=0}
6430:Ranzi, Florian; Strahm, Thomas (2019).
6165:
6139:
6101:
3726:enumerates the fixed points of all the
2345:The function Γ enumerates the ordinals
73:is the function enumerating the common
6471:
6379:
6245:
6215:
5767:and that for some smaller index ι<ι
2337:and this scheme does not apply to it.
50:
6326:Subsystems of Second-order Arithmetic
5808:
5749:meaning that for the smallest index ι
3719:{\displaystyle \varphi (2,0,\gamma )}
3645:{\displaystyle \varphi (1,1,\gamma )}
3504:{\displaystyle \varphi (1,0,\gamma )}
1232:No such sequence can be provided for
6420:" (2017). Accessed 02 November 2022.
5943:, a bound on the order types of the
1705:{\displaystyle \varphi _{\beta }(0)}
541:adding citations to reliable sources
508:
168:{\displaystyle \alpha <\beta \,,}
5936:{\displaystyle \varphi (\omega ,0)}
3877:{\displaystyle \varphi (1,0,...,0)}
595:under the fundamental sequence for
97:
13:
6094:, expository article (8 pages, in
5965:
4268:{\displaystyle \alpha _{m,1}>0}
3666:
3592:
2785:
2751:
2729:
2702:
2631:
2592:
2559:
2531:
2474:
2441:
2399:
452:{\displaystyle \alpha >\gamma }
384:{\displaystyle \alpha <\gamma }
94:. These functions are all normal.
14:
6500:
3820:{\displaystyle \varphi (1,0,0,0)}
3604:{\displaystyle \Gamma _{\gamma }}
3543:-th fixed point of the functions
3460:{\displaystyle \delta <\beta }
2340:
358:{\displaystyle \beta <\delta }
16:Mathematical function on ordinals
3044:{\displaystyle \alpha _{1}>0}
513:
6018:{\displaystyle \varphi (1,0,0)}
4694:
4690:
4684:
4653:
4649:
4643:
4605:
4599:
1261:{\displaystyle \varphi _{0}(0)}
332:{\displaystyle \alpha =\gamma }
249:. From this and the fact that φ
6439:Archive for Mathematical Logic
6423:
6410:
6373:
6360:
6347:
6315:
6012:
5994:
5930:
5918:
5866:
5854:
5775:=0 has been replaced with ξ).
5636:
5621:
5591:
5582:
5576:
5564:
5555:
5549:
5546:
5522:
5451:
5436:
5430:
5418:
5409:
5403:
5400:
5376:
5331:
5328:
5322:
5298:
5289:
5283:
5280:
5256:
5191:
5182:
5176:
5173:
5149:
5125:
5116:
5104:
5101:
5077:
5048:
5018:
5009:
5003:
5000:
4976:
4905:
4896:
4890:
4887:
4863:
4839:
4830:
4818:
4815:
4791:
4762:
4756:
4753:
4729:
4681:
4678:
4672:
4666:
4634:
4622:
4582:
4576:
4573:
4567:
4542:
4536:
4533:
4520:
4505:
4492:
4483:
4470:
4461:
4455:
4452:
4449:
4436:
4421:
4408:
4399:
4386:
4380:
4363:{\displaystyle \alpha <SVO}
4317:
4304:
4105:
4092:
4077:
4064:
4055:
4042:
3992:
3979:
3964:
3951:
3942:
3929:
3871:
3841:
3814:
3790:
3760:
3742:
3736:
3713:
3695:
3662:
3639:
3621:
3571:
3559:
3553:
3530:
3518:
3498:
3480:
3428:
3404:
3398:
3375:
3363:
3343:
3319:
3268:
3256:
3247:
3229:
3192:
3186:
3120:
3096:
3073:
3061:
2853:
2847:
2817:
2805:
2764:
2758:
2744:
2738:
2663:
2657:
2652:
2646:
2619:
2607:
2552:
2546:
2500:
2494:
2489:
2483:
2462:
2450:
2414:
2408:
2298:
2289:
2283:
2270:
2265:
2259:
2245:
2239:
2236:
2224:
2194:
2182:
2146:
2140:
2135:
2129:
2115:
2109:
2106:
2100:
2070:
2064:
2015:
2012:
2006:
2003:
1991:
1972:
1956:
1944:
1941:
1929:
1887:
1881:
1859:
1853:
1850:
1838:
1802:
1790:
1751:
1748:
1742:
1729:
1699:
1693:
1659:
1656:
1650:
1647:
1641:
1622:
1606:
1594:
1591:
1585:
1543:
1537:
1534:
1528:
1488:
1482:
1415:
1409:
1393:
1387:
1384:
1372:
1300:
1288:
1255:
1249:
1213:
1210:
1204:
1198:
1182:
1176:
1173:
1167:
1133:
1127:
1077:
1074:
1068:
1065:
1052:
1032:
1026:
1007:
972:
959:
936:
930:
904:
891:
837:
818:
789:
776:
735:
722:
693:
680:
657:
644:
482:
476:
420:
414:
300:
294:
278:
272:
236:
230:
214:
211:
205:
192:
1:
6392:Journal of Mathematical Logic
6299:: CS1 maint: date and year (
6277:Extending the Veblen Function
6248:The Journal of Symbolic Logic
6082:
2426:{\displaystyle \Gamma _{0}=0}
6308:
5805:, or "great" Veblen number.
5694:Transfinitely many variables
45:to ordinals), introduced by
7:
6355:The Art of Ordinal Analysis
5977:{\displaystyle \Gamma _{0}}
5669:is a successor ordinal and
3536:{\displaystyle (1+\gamma )}
3381:{\displaystyle (1+\gamma )}
3302:{\displaystyle \beta >0}
614:can be uniquely written as
10:
6505:
6451:10.1007/s00153-019-00658-x
5815:Massmann & Kwon (2023)
3827:is sometimes known as the
2367:, i.e. it is the smallest
587:, (i.e. one not using the
102:In the special case when
6404:10.1142/s0219061302000126
6366:N. Dershowitz, M. Okada,
6116:10.1007/978-3-540-46825-7
6102:Pohlers, Wolfram (1989),
5836:
5483:{\displaystyle \gamma =0}
4937:{\displaystyle \gamma =0}
2926:{\displaystyle 0,0,...,0}
5956:Feferman–Schütte ordinal
5945:recursive path orderings
2365:Feferman–Schütte ordinal
2330:{\displaystyle \varphi }
5894:proof-theoretic ordinal
5827:Bachmann–Howard ordinal
5662:{\displaystyle \gamma }
5357:{\displaystyle \gamma }
5244:are successor ordinals,
5217:{\displaystyle \gamma }
4964:is a successor ordinal,
3904:{\displaystyle \alpha }
3891:Every non-zero ordinal
2791:Finitely many variables
313:if and only if either (
6489:Hierarchy of functions
6140:Schütte, Kurt (1977),
6072:
6019:
5978:
5937:
5886:
5803:"large" Veblen ordinal
5683:
5682:{\displaystyle \beta }
5663:
5643:
5504:
5503:{\displaystyle \beta }
5484:
5458:
5358:
5338:
5238:
5237:{\displaystyle \beta }
5218:
5198:
5061:
4958:
4957:{\displaystyle \beta }
4938:
4912:
4775:
4711:
4656:is a successor ordinal
4549:
4364:
4324:
4269:
4230:
4140:
4112:
4024:
3999:
3905:
3886:"small" Veblen ordinal
3878:
3821:
3767:
3720:
3679:
3646:
3605:
3578:
3537:
3505:
3461:
3435:
3382:
3350:
3303:
3275:
3212:
3167:
3147:
3127:
3080:
3051:. The binary function
3045:
3012:
2947:
2927:
2883:
2860:
2824:
2777:
2715:
2674:
2578:
2511:
2427:
2331:
2309:
2201:
2157:
2077:
2026:
1900:
1809:
1758:
1706:
1670:
1556:
1499:
1451:
1349:
1262:
1224:
1144:
1088:
914:
848:
742:
495:
453:
427:
385:
359:
333:
307:
243:
169:
6073:
6020:
5979:
5938:
5906:and smaller ordinals.
5887:
5785:The smallest ordinal
5684:
5664:
5644:
5505:
5485:
5459:
5359:
5339:
5239:
5219:
5199:
5062:
4959:
4939:
4913:
4776:
4712:
4550:
4365:
4325:
4270:
4231:
4141:
4139:{\displaystyle s_{m}}
4113:
4030:is a positive integer
4025:
4000:
3906:
3879:
3822:
3768:
3721:
3680:
3647:
3606:
3579:
3538:
3506:
3462:
3436:
3383:
3351:
3304:
3276:
3213:
3168:
3148:
3128:
3081:
3046:
3013:
2948:
2928:
2884:
2861:
2825:
2778:
2716:
2675:
2579:
2512:
2428:
2332:
2310:
2202:
2158:
2078:
2027:
1901:
1810:
1759:
1707:
1671:
1557:
1500:
1452:
1350:
1263:
1225:
1145:
1089:
915:
849:
743:
599:will be indicated by
496:
454:
428:
386:
360:
334:
308:
244:
170:
6036:
6030:small Veblen ordinal
5988:
5961:
5912:
5848:
5831:large Veblen ordinal
5673:
5653:
5516:
5494:
5468:
5370:
5348:
5250:
5228:
5208:
5071:
4970:
4948:
4922:
4785:
4723:
4561:
4377:
4342:
4279:
4240:
4150:
4123:
4036:
4014:
3917:
3895:
3835:
3831:. The limit of the
3784:
3730:
3689:
3656:
3615:
3588:
3547:
3515:
3474:
3445:
3392:
3360:
3313:
3287:
3223:
3180:
3157:
3137:
3090:
3055:
3022:
2957:
2937:
2893:
2873:
2834:
2799:
2725:
2692:
2588:
2527:
2437:
2395:
2321:
2211:
2169:
2087:
2045:
1910:
1819:
1771:
1716:
1680:
1566:
1509:
1463:
1359:
1275:
1236:
1154:
1108:
924:
858:
756:
618:
537:improve this section
463:
437:
395:
369:
343:
317:
259:
179:
149:
6197:Math. Intelligencer
5949:primitive recursive
5689:is a limit ordinal.
5510:is a limit ordinal,
5364:is a limit ordinal,
4338:For limit ordinals
2341:The Γ function
124:is the same as the
36:strictly increasing
27:are a hierarchy of
6322:Stephen G. Simpson
6209:10.1007/BF03023553
6068:
6062:
6015:
5974:
5951:ordinal functions.
5933:
5904:Cantor normal form
5882:
5819:dimensional Veblen
5809:Further extensions
5717:(i.e., such that α
5679:
5659:
5639:
5500:
5480:
5454:
5354:
5334:
5234:
5214:
5194:
5057:
4954:
4934:
4908:
4771:
4707:
4702:
4697:is a limit ordinal
4545:
4360:
4320:
4265:
4226:
4136:
4108:
4020:
3995:
3901:
3874:
3817:
3763:
3716:
3675:
3642:
3601:
3574:
3533:
3501:
3457:
3431:
3378:
3346:
3299:
3271:
3208:
3163:
3143:
3123:
3086:can be written as
3076:
3041:
3008:
2943:
2923:
2879:
2866:as defined above.
2856:
2820:
2773:
2711:
2670:
2574:
2507:
2423:
2327:
2305:
2197:
2153:
2073:
2022:
1896:
1805:
1754:
1702:
1666:
1552:
1495:
1447:
1345:
1258:
1220:
1140:
1084:
910:
844:
738:
608:Cantor normal form
491:
449:
423:
381:
355:
329:
303:
239:
165:
6418:A Zoo of Ordinals
6180:978-0-444-87943-1
6151:978-3-540-07911-8
6125:978-3-540-51842-6
5715:that ends in zero
4698:
4688:
4657:
4647:
4603:
4023:{\displaystyle k}
3829:Ackermann ordinal
3166:{\displaystyle z}
3146:{\displaystyle s}
2946:{\displaystyle s}
2882:{\displaystyle z}
2034:Now suppose that
573:
572:
565:
6496:
6463:
6462:
6445:(5–6): 711–751.
6436:
6427:
6421:
6414:
6408:
6407:
6389:
6383:(May 23, 2001).
6377:
6371:
6364:
6358:
6351:
6345:
6338:
6329:
6319:
6304:
6298:
6290:
6289:
6270:
6242:
6233:
6211:
6191:
6162:
6136:
6109:
6088:Hilbert Levitz,
6077:
6075:
6074:
6069:
6067:
6066:
6024:
6022:
6021:
6016:
5983:
5981:
5980:
5975:
5973:
5972:
5942:
5940:
5939:
5934:
5900:Peano arithmetic
5891:
5889:
5888:
5883:
5881:
5880:
5793:is greater than
5778:For example, if
5704:regular cardinal
5688:
5686:
5685:
5680:
5668:
5666:
5665:
5660:
5648:
5646:
5645:
5640:
5509:
5507:
5506:
5501:
5489:
5487:
5486:
5481:
5463:
5461:
5460:
5455:
5363:
5361:
5360:
5355:
5343:
5341:
5340:
5335:
5243:
5241:
5240:
5235:
5223:
5221:
5220:
5215:
5203:
5201:
5200:
5195:
5066:
5064:
5063:
5058:
4963:
4961:
4960:
4955:
4943:
4941:
4940:
4935:
4917:
4915:
4914:
4909:
4780:
4778:
4777:
4772:
4716:
4714:
4713:
4708:
4706:
4703:
4699:
4696:
4689:
4686:
4658:
4655:
4648:
4645:
4604:
4601:
4554:
4552:
4551:
4546:
4532:
4531:
4504:
4503:
4482:
4481:
4448:
4447:
4420:
4419:
4398:
4397:
4369:
4367:
4366:
4361:
4329:
4327:
4326:
4321:
4316:
4315:
4297:
4296:
4274:
4272:
4271:
4266:
4258:
4257:
4235:
4233:
4232:
4227:
4225:
4224:
4223:
4222:
4187:
4186:
4168:
4167:
4145:
4143:
4142:
4137:
4135:
4134:
4117:
4115:
4114:
4109:
4104:
4103:
4076:
4075:
4054:
4053:
4029:
4027:
4026:
4021:
4004:
4002:
4001:
3996:
3991:
3990:
3963:
3962:
3941:
3940:
3910:
3908:
3907:
3902:
3883:
3881:
3880:
3875:
3826:
3824:
3823:
3818:
3772:
3770:
3769:
3764:
3725:
3723:
3722:
3717:
3684:
3682:
3681:
3676:
3674:
3673:
3651:
3649:
3648:
3643:
3610:
3608:
3607:
3602:
3600:
3599:
3583:
3581:
3580:
3575:
3542:
3540:
3539:
3534:
3510:
3508:
3507:
3502:
3466:
3464:
3463:
3458:
3440:
3438:
3437:
3432:
3387:
3385:
3384:
3379:
3355:
3353:
3352:
3347:
3308:
3306:
3305:
3300:
3280:
3278:
3277:
3272:
3217:
3215:
3214:
3209:
3207:
3206:
3172:
3170:
3169:
3164:
3152:
3150:
3149:
3144:
3132:
3130:
3129:
3124:
3085:
3083:
3082:
3077:
3050:
3048:
3047:
3042:
3034:
3033:
3017:
3015:
3014:
3009:
3007:
3006:
2982:
2981:
2969:
2968:
2952:
2950:
2949:
2944:
2932:
2930:
2929:
2924:
2888:
2886:
2885:
2880:
2865:
2863:
2862:
2857:
2846:
2845:
2829:
2827:
2826:
2821:
2782:
2780:
2779:
2774:
2768:
2767:
2737:
2736:
2721:is a limit, let
2720:
2718:
2717:
2712:
2710:
2709:
2679:
2677:
2676:
2671:
2656:
2655:
2645:
2644:
2606:
2605:
2583:
2581:
2580:
2575:
2567:
2566:
2545:
2544:
2516:
2514:
2513:
2508:
2493:
2492:
2482:
2481:
2449:
2448:
2432:
2430:
2429:
2424:
2407:
2406:
2336:
2334:
2333:
2328:
2314:
2312:
2311:
2306:
2282:
2281:
2269:
2268:
2223:
2222:
2206:
2204:
2203:
2198:
2181:
2180:
2162:
2160:
2159:
2154:
2139:
2138:
2099:
2098:
2082:
2080:
2079:
2074:
2063:
2062:
2031:
2029:
2028:
2023:
1990:
1989:
1971:
1970:
1928:
1927:
1905:
1903:
1902:
1897:
1880:
1879:
1837:
1836:
1814:
1812:
1811:
1806:
1789:
1788:
1763:
1761:
1760:
1755:
1741:
1740:
1728:
1727:
1711:
1709:
1708:
1703:
1692:
1691:
1675:
1673:
1672:
1667:
1640:
1639:
1621:
1620:
1584:
1583:
1561:
1559:
1558:
1553:
1527:
1526:
1504:
1502:
1501:
1496:
1481:
1480:
1456:
1454:
1453:
1448:
1436:
1435:
1408:
1407:
1371:
1370:
1354:
1352:
1351:
1346:
1334:
1333:
1321:
1320:
1287:
1286:
1267:
1265:
1264:
1259:
1248:
1247:
1229:
1227:
1226:
1221:
1197:
1196:
1166:
1165:
1149:
1147:
1146:
1141:
1126:
1125:
1104:is a limit with
1093:
1091:
1090:
1085:
1064:
1063:
1051:
1050:
1049:
1048:
1025:
1024:
1006:
1005:
1004:
1003:
971:
970:
958:
957:
956:
955:
919:
917:
916:
911:
903:
902:
890:
889:
888:
887:
870:
869:
853:
851:
850:
845:
836:
835:
817:
816:
815:
814:
788:
787:
775:
774:
773:
772:
747:
745:
744:
739:
734:
733:
721:
720:
719:
718:
692:
691:
679:
678:
677:
676:
656:
655:
643:
642:
641:
640:
568:
561:
557:
554:
548:
517:
509:
500:
498:
497:
492:
475:
474:
458:
456:
455:
450:
432:
430:
429:
424:
413:
412:
390:
388:
387:
382:
364:
362:
361:
356:
338:
336:
335:
330:
312:
310:
309:
304:
293:
292:
271:
270:
248:
246:
245:
240:
229:
228:
204:
203:
191:
190:
174:
172:
171:
166:
117:. The function
115:Veblen hierarchy
98:Veblen hierarchy
29:normal functions
25:Veblen functions
6504:
6503:
6499:
6498:
6497:
6495:
6494:
6493:
6479:Ordinal numbers
6469:
6468:
6467:
6466:
6434:
6428:
6424:
6415:
6411:
6387:
6378:
6374:
6365:
6361:
6352:
6348:
6339:
6332:
6320:
6316:
6311:
6292:
6291:
6260:10.2307/2272243
6231:10.2307/1988605
6181:
6152:
6126:
6085:
6061:
6060:
6054:
6053:
6043:
6042:
6037:
6034:
6033:
5989:
5986:
5985:
5968:
5964:
5962:
5959:
5958:
5913:
5910:
5909:
5876:
5872:
5849:
5846:
5845:
5839:
5811:
5774:
5770:
5766:
5765:
5759:
5758:
5752:
5720:
5701:
5696:
5674:
5671:
5670:
5654:
5651:
5650:
5517:
5514:
5513:
5495:
5492:
5491:
5469:
5466:
5465:
5371:
5368:
5367:
5349:
5346:
5345:
5251:
5248:
5247:
5229:
5226:
5225:
5209:
5206:
5205:
5072:
5069:
5068:
4971:
4968:
4967:
4949:
4946:
4945:
4923:
4920:
4919:
4786:
4783:
4782:
4724:
4721:
4720:
4701:
4700:
4695:
4685:
4660:
4659:
4654:
4644:
4616:
4615:
4600:
4592:
4588:
4562:
4559:
4558:
4527:
4523:
4499:
4495:
4477:
4473:
4443:
4439:
4415:
4411:
4393:
4389:
4378:
4375:
4374:
4343:
4340:
4339:
4336:
4311:
4307:
4286:
4282:
4280:
4277:
4276:
4247:
4243:
4241:
4238:
4237:
4218:
4214:
4207:
4203:
4176:
4172:
4157:
4153:
4151:
4148:
4147:
4130:
4126:
4124:
4121:
4120:
4099:
4095:
4071:
4067:
4049:
4045:
4037:
4034:
4033:
4015:
4012:
4011:
3986:
3982:
3958:
3954:
3936:
3932:
3918:
3915:
3914:
3896:
3893:
3892:
3836:
3833:
3832:
3785:
3782:
3781:
3731:
3728:
3727:
3690:
3687:
3686:
3669:
3665:
3657:
3654:
3653:
3616:
3613:
3612:
3595:
3591:
3589:
3586:
3585:
3548:
3545:
3544:
3516:
3513:
3512:
3475:
3472:
3471:
3446:
3443:
3442:
3393:
3390:
3389:
3361:
3358:
3357:
3314:
3311:
3310:
3288:
3285:
3284:
3224:
3221:
3220:
3202:
3198:
3181:
3178:
3177:
3158:
3155:
3154:
3138:
3135:
3134:
3091:
3088:
3087:
3056:
3053:
3052:
3029:
3025:
3023:
3020:
3019:
3002:
2998:
2977:
2973:
2964:
2960:
2958:
2955:
2954:
2938:
2935:
2934:
2894:
2891:
2890:
2874:
2871:
2870:
2841:
2837:
2835:
2832:
2831:
2800:
2797:
2796:
2793:
2788:
2786:Generalizations
2754:
2750:
2732:
2728:
2726:
2723:
2722:
2705:
2701:
2693:
2690:
2689:
2687:
2634:
2630:
2629:
2625:
2595:
2591:
2589:
2586:
2585:
2562:
2558:
2534:
2530:
2528:
2525:
2524:
2522:
2477:
2473:
2472:
2468:
2444:
2440:
2438:
2435:
2434:
2402:
2398:
2396:
2393:
2392:
2390:
2379:
2362:
2354:
2343:
2322:
2319:
2318:
2277:
2273:
2255:
2251:
2218:
2214:
2212:
2209:
2208:
2176:
2172:
2170:
2167:
2166:
2125:
2121:
2094:
2090:
2088:
2085:
2084:
2058:
2054:
2046:
2043:
2042:
1979:
1975:
1966:
1962:
1917:
1913:
1911:
1908:
1907:
1869:
1865:
1826:
1822:
1820:
1817:
1816:
1778:
1774:
1772:
1769:
1768:
1736:
1732:
1723:
1719:
1717:
1714:
1713:
1687:
1683:
1681:
1678:
1677:
1629:
1625:
1616:
1612:
1573:
1569:
1567:
1564:
1563:
1516:
1512:
1510:
1507:
1506:
1470:
1466:
1464:
1461:
1460:
1431:
1427:
1403:
1399:
1366:
1362:
1360:
1357:
1356:
1329:
1325:
1310:
1306:
1282:
1278:
1276:
1273:
1272:
1243:
1239:
1237:
1234:
1233:
1192:
1188:
1161:
1157:
1155:
1152:
1151:
1121:
1117:
1109:
1106:
1105:
1059:
1055:
1044:
1040:
1039:
1035:
1014:
1010:
993:
989:
988:
984:
966:
962:
951:
947:
946:
942:
925:
922:
921:
898:
894:
883:
879:
878:
874:
865:
861:
859:
856:
855:
825:
821:
804:
800:
799:
795:
783:
779:
768:
764:
763:
759:
757:
754:
753:
729:
725:
714:
710:
709:
705:
687:
683:
672:
668:
667:
663:
651:
647:
636:
632:
631:
627:
619:
616:
615:
606:A variation of
589:axiom of choice
569:
558:
552:
549:
534:
518:
507:
470:
466:
464:
461:
460:
438:
435:
434:
408:
404:
396:
393:
392:
370:
367:
366:
344:
341:
340:
318:
315:
314:
288:
284:
266:
262:
260:
257:
256:
254:
224:
220:
199:
195:
186:
182:
180:
177:
176:
150:
147:
146:
144:
134:
123:
108:
100:
85:
72:
59:
17:
12:
11:
5:
6502:
6492:
6491:
6486:
6481:
6465:
6464:
6422:
6409:
6381:Avigad, Jeremy
6372:
6359:
6346:
6330:
6313:
6312:
6310:
6307:
6306:
6305:
6271:
6254:(2): 439–459,
6243:
6224:(3): 280–292,
6213:
6203:(4): 182–189,
6192:
6179:
6167:Takeuti, Gaisi
6163:
6150:
6137:
6124:
6099:
6084:
6081:
6080:
6079:
6065:
6059:
6056:
6055:
6052:
6049:
6048:
6046:
6041:
6026:
6014:
6011:
6008:
6005:
6002:
5999:
5996:
5993:
5971:
5967:
5952:
5932:
5929:
5926:
5923:
5920:
5917:
5907:
5879:
5875:
5871:
5868:
5865:
5862:
5859:
5856:
5853:
5838:
5835:
5810:
5807:
5772:
5768:
5763:
5761:
5756:
5754:
5750:
5718:
5699:
5695:
5692:
5691:
5690:
5678:
5658:
5638:
5635:
5632:
5629:
5626:
5623:
5620:
5617:
5614:
5611:
5608:
5605:
5602:
5599:
5596:
5593:
5590:
5587:
5584:
5581:
5578:
5575:
5572:
5569:
5566:
5563:
5560:
5557:
5554:
5551:
5548:
5545:
5542:
5539:
5536:
5533:
5530:
5527:
5524:
5521:
5511:
5499:
5479:
5476:
5473:
5453:
5450:
5447:
5444:
5441:
5438:
5435:
5432:
5429:
5426:
5423:
5420:
5417:
5414:
5411:
5408:
5405:
5402:
5399:
5396:
5393:
5390:
5387:
5384:
5381:
5378:
5375:
5365:
5353:
5333:
5330:
5327:
5324:
5321:
5318:
5315:
5312:
5309:
5306:
5303:
5300:
5297:
5294:
5291:
5288:
5285:
5282:
5279:
5276:
5273:
5270:
5267:
5264:
5261:
5258:
5255:
5245:
5233:
5213:
5193:
5190:
5187:
5184:
5181:
5178:
5175:
5172:
5169:
5166:
5163:
5160:
5157:
5154:
5151:
5148:
5145:
5142:
5139:
5136:
5133:
5130:
5127:
5124:
5121:
5118:
5115:
5112:
5109:
5106:
5103:
5100:
5097:
5094:
5091:
5088:
5085:
5082:
5079:
5076:
5056:
5053:
5050:
5047:
5044:
5041:
5038:
5035:
5032:
5029:
5026:
5023:
5020:
5017:
5014:
5011:
5008:
5005:
5002:
4999:
4996:
4993:
4990:
4987:
4984:
4981:
4978:
4975:
4965:
4953:
4933:
4930:
4927:
4907:
4904:
4901:
4898:
4895:
4892:
4889:
4886:
4883:
4880:
4877:
4874:
4871:
4868:
4865:
4862:
4859:
4856:
4853:
4850:
4847:
4844:
4841:
4838:
4835:
4832:
4829:
4826:
4823:
4820:
4817:
4814:
4811:
4808:
4805:
4802:
4799:
4796:
4793:
4790:
4770:
4767:
4764:
4761:
4758:
4755:
4752:
4749:
4746:
4743:
4740:
4737:
4734:
4731:
4728:
4718:
4705:
4693:
4683:
4680:
4677:
4674:
4671:
4668:
4665:
4662:
4661:
4652:
4642:
4639:
4636:
4633:
4630:
4627:
4624:
4621:
4618:
4617:
4614:
4611:
4608:
4598:
4595:
4594:
4591:
4587:
4584:
4581:
4578:
4575:
4572:
4569:
4566:
4556:
4544:
4541:
4538:
4535:
4530:
4526:
4522:
4519:
4516:
4513:
4510:
4507:
4502:
4498:
4494:
4491:
4488:
4485:
4480:
4476:
4472:
4469:
4466:
4463:
4460:
4457:
4454:
4451:
4446:
4442:
4438:
4435:
4432:
4429:
4426:
4423:
4418:
4414:
4410:
4407:
4404:
4401:
4396:
4392:
4388:
4385:
4382:
4359:
4356:
4353:
4350:
4347:
4335:
4332:
4331:
4330:
4319:
4314:
4310:
4306:
4303:
4300:
4295:
4292:
4289:
4285:
4264:
4261:
4256:
4253:
4250:
4246:
4221:
4217:
4213:
4210:
4206:
4202:
4199:
4196:
4193:
4190:
4185:
4182:
4179:
4175:
4171:
4166:
4163:
4160:
4156:
4133:
4129:
4118:
4107:
4102:
4098:
4094:
4091:
4088:
4085:
4082:
4079:
4074:
4070:
4066:
4063:
4060:
4057:
4052:
4048:
4044:
4041:
4031:
4019:
3994:
3989:
3985:
3981:
3978:
3975:
3972:
3969:
3966:
3961:
3957:
3953:
3950:
3947:
3944:
3939:
3935:
3931:
3928:
3925:
3922:
3900:
3873:
3870:
3867:
3864:
3861:
3858:
3855:
3852:
3849:
3846:
3843:
3840:
3816:
3813:
3810:
3807:
3804:
3801:
3798:
3795:
3792:
3789:
3762:
3759:
3756:
3753:
3750:
3747:
3744:
3741:
3738:
3735:
3715:
3712:
3709:
3706:
3703:
3700:
3697:
3694:
3685:function; and
3672:
3668:
3664:
3661:
3641:
3638:
3635:
3632:
3629:
3626:
3623:
3620:
3598:
3594:
3573:
3570:
3567:
3564:
3561:
3558:
3555:
3552:
3532:
3529:
3526:
3523:
3520:
3500:
3497:
3494:
3491:
3488:
3485:
3482:
3479:
3468:
3467:
3456:
3453:
3450:
3430:
3427:
3424:
3421:
3418:
3415:
3412:
3409:
3406:
3403:
3400:
3397:
3377:
3374:
3371:
3368:
3365:
3345:
3342:
3339:
3336:
3333:
3330:
3327:
3324:
3321:
3318:
3298:
3295:
3292:
3281:
3270:
3267:
3264:
3261:
3258:
3255:
3252:
3249:
3246:
3243:
3240:
3237:
3234:
3231:
3228:
3218:
3205:
3201:
3197:
3194:
3191:
3188:
3185:
3162:
3142:
3122:
3119:
3116:
3113:
3110:
3107:
3104:
3101:
3098:
3095:
3075:
3072:
3069:
3066:
3063:
3060:
3040:
3037:
3032:
3028:
3005:
3001:
2997:
2994:
2991:
2988:
2985:
2980:
2976:
2972:
2967:
2963:
2942:
2922:
2919:
2916:
2913:
2910:
2907:
2904:
2901:
2898:
2878:
2855:
2852:
2849:
2844:
2840:
2819:
2816:
2813:
2810:
2807:
2804:
2792:
2789:
2787:
2784:
2772:
2766:
2763:
2760:
2757:
2753:
2749:
2746:
2743:
2740:
2735:
2731:
2708:
2704:
2700:
2697:
2683:
2669:
2665:
2662:
2659:
2654:
2651:
2648:
2643:
2640:
2637:
2633:
2628:
2624:
2621:
2618:
2615:
2612:
2609:
2604:
2601:
2598:
2594:
2573:
2570:
2565:
2561:
2557:
2554:
2551:
2548:
2543:
2540:
2537:
2533:
2520:
2506:
2502:
2499:
2496:
2491:
2488:
2485:
2480:
2476:
2471:
2467:
2464:
2461:
2458:
2455:
2452:
2447:
2443:
2422:
2419:
2416:
2413:
2410:
2405:
2401:
2388:
2375:
2360:
2350:
2342:
2339:
2326:
2304:
2300:
2297:
2294:
2291:
2288:
2285:
2280:
2276:
2272:
2267:
2264:
2261:
2258:
2254:
2250:
2247:
2244:
2241:
2238:
2235:
2232:
2229:
2226:
2221:
2217:
2196:
2193:
2190:
2187:
2184:
2179:
2175:
2152:
2148:
2145:
2142:
2137:
2134:
2131:
2128:
2124:
2120:
2117:
2114:
2111:
2108:
2105:
2102:
2097:
2093:
2072:
2069:
2066:
2061:
2057:
2053:
2050:
2021:
2017:
2014:
2011:
2008:
2005:
2002:
1999:
1996:
1993:
1988:
1985:
1982:
1978:
1974:
1969:
1965:
1961:
1958:
1955:
1952:
1949:
1946:
1943:
1940:
1937:
1934:
1931:
1926:
1923:
1920:
1916:
1895:
1892:
1889:
1886:
1883:
1878:
1875:
1872:
1868:
1864:
1861:
1858:
1855:
1852:
1849:
1846:
1843:
1840:
1835:
1832:
1829:
1825:
1804:
1801:
1798:
1795:
1792:
1787:
1784:
1781:
1777:
1753:
1750:
1747:
1744:
1739:
1735:
1731:
1726:
1722:
1701:
1698:
1695:
1690:
1686:
1665:
1661:
1658:
1655:
1652:
1649:
1646:
1643:
1638:
1635:
1632:
1628:
1624:
1619:
1615:
1611:
1608:
1605:
1602:
1599:
1596:
1593:
1590:
1587:
1582:
1579:
1576:
1572:
1551:
1548:
1545:
1542:
1539:
1536:
1533:
1530:
1525:
1522:
1519:
1515:
1494:
1490:
1487:
1484:
1479:
1476:
1473:
1469:
1446:
1442:
1439:
1434:
1430:
1426:
1423:
1420:
1417:
1414:
1411:
1406:
1402:
1398:
1395:
1392:
1389:
1386:
1383:
1380:
1377:
1374:
1369:
1365:
1344:
1340:
1337:
1332:
1328:
1324:
1319:
1316:
1313:
1309:
1305:
1302:
1299:
1296:
1293:
1290:
1285:
1281:
1257:
1254:
1251:
1246:
1242:
1219:
1215:
1212:
1209:
1206:
1203:
1200:
1195:
1191:
1187:
1184:
1181:
1178:
1175:
1172:
1169:
1164:
1160:
1139:
1135:
1132:
1129:
1124:
1120:
1116:
1113:
1083:
1079:
1076:
1073:
1070:
1067:
1062:
1058:
1054:
1047:
1043:
1038:
1034:
1031:
1028:
1023:
1020:
1017:
1013:
1009:
1002:
999:
996:
992:
987:
983:
980:
977:
974:
969:
965:
961:
954:
950:
945:
941:
938:
935:
932:
929:
909:
906:
901:
897:
893:
886:
882:
877:
873:
868:
864:
843:
839:
834:
831:
828:
824:
820:
813:
810:
807:
803:
798:
794:
791:
786:
782:
778:
771:
767:
762:
737:
732:
728:
724:
717:
713:
708:
704:
701:
698:
695:
690:
686:
682:
675:
671:
666:
662:
659:
654:
650:
646:
639:
635:
630:
626:
623:
571:
570:
521:
519:
512:
506:
503:
490:
487:
484:
481:
478:
473:
469:
448:
445:
442:
422:
419:
416:
411:
407:
403:
400:
380:
377:
374:
354:
351:
348:
328:
325:
322:
302:
299:
296:
291:
287:
283:
280:
277:
274:
269:
265:
250:
238:
235:
232:
227:
223:
219:
216:
213:
210:
207:
202:
198:
194:
189:
185:
164:
160:
157:
154:
140:
132:
121:
106:
99:
96:
81:
68:
57:
15:
9:
6:
4:
3:
2:
6501:
6490:
6487:
6485:
6482:
6480:
6477:
6476:
6474:
6460:
6456:
6452:
6448:
6444:
6440:
6433:
6426:
6419:
6413:
6405:
6401:
6397:
6393:
6386:
6382:
6376:
6370:(1988). p.105
6369:
6363:
6356:
6353:M. Rathjen, "
6350:
6343:
6337:
6335:
6328:(2009, p.387)
6327:
6323:
6318:
6314:
6302:
6296:
6288:
6283:
6279:
6278:
6272:
6269:
6265:
6261:
6257:
6253:
6249:
6244:
6241:
6237:
6232:
6227:
6223:
6219:
6214:
6210:
6206:
6202:
6198:
6193:
6190:
6186:
6182:
6176:
6172:
6168:
6164:
6161:
6157:
6153:
6147:
6143:
6138:
6135:
6131:
6127:
6121:
6117:
6113:
6108:
6107:
6100:
6097:
6093:
6092:
6087:
6086:
6063:
6057:
6050:
6044:
6039:
6031:
6027:
6009:
6006:
6003:
6000:
5997:
5991:
5969:
5957:
5953:
5950:
5946:
5927:
5924:
5921:
5915:
5908:
5905:
5901:
5898:
5895:
5877:
5873:
5869:
5863:
5860:
5857:
5851:
5844:
5843:
5842:
5834:
5832:
5828:
5824:
5820:
5816:
5806:
5804:
5800:
5796:
5792:
5788:
5783:
5781:
5776:
5771:, the value α
5748:
5744:
5740:
5736:
5732:
5728:
5724:
5721:=0), and let
5716:
5712:
5707:
5705:
5676:
5656:
5633:
5630:
5627:
5624:
5618:
5615:
5612:
5609:
5606:
5603:
5600:
5597:
5594:
5588:
5585:
5579:
5573:
5570:
5567:
5561:
5558:
5552:
5543:
5540:
5537:
5534:
5531:
5528:
5525:
5519:
5512:
5497:
5477:
5474:
5471:
5448:
5445:
5442:
5439:
5433:
5427:
5424:
5421:
5415:
5412:
5406:
5397:
5394:
5391:
5388:
5385:
5382:
5379:
5373:
5366:
5351:
5325:
5319:
5316:
5313:
5310:
5307:
5304:
5301:
5295:
5292:
5286:
5277:
5274:
5271:
5268:
5265:
5262:
5259:
5253:
5246:
5231:
5211:
5188:
5185:
5179:
5170:
5167:
5164:
5161:
5158:
5155:
5152:
5146:
5143:
5140:
5137:
5134:
5131:
5128:
5122:
5119:
5113:
5110:
5107:
5098:
5095:
5092:
5089:
5086:
5083:
5080:
5074:
5054:
5051:
5045:
5042:
5039:
5036:
5033:
5030:
5027:
5024:
5021:
5015:
5012:
5006:
4997:
4994:
4991:
4988:
4985:
4982:
4979:
4973:
4966:
4951:
4931:
4928:
4925:
4902:
4899:
4893:
4884:
4881:
4878:
4875:
4872:
4869:
4866:
4860:
4857:
4854:
4851:
4848:
4845:
4842:
4836:
4833:
4827:
4824:
4821:
4812:
4809:
4806:
4803:
4800:
4797:
4794:
4788:
4768:
4765:
4759:
4750:
4747:
4744:
4741:
4738:
4735:
4732:
4726:
4719:
4691:
4675:
4669:
4663:
4650:
4640:
4637:
4631:
4628:
4625:
4619:
4612:
4609:
4606:
4596:
4589:
4585:
4579:
4570:
4564:
4557:
4539:
4528:
4524:
4517:
4514:
4511:
4508:
4500:
4496:
4489:
4486:
4478:
4474:
4467:
4464:
4458:
4444:
4440:
4433:
4430:
4427:
4424:
4416:
4412:
4405:
4402:
4394:
4390:
4383:
4373:
4372:
4371:
4357:
4354:
4351:
4348:
4345:
4312:
4308:
4301:
4298:
4293:
4290:
4287:
4283:
4262:
4259:
4254:
4251:
4248:
4244:
4219:
4215:
4211:
4208:
4204:
4200:
4197:
4194:
4191:
4188:
4183:
4180:
4177:
4173:
4169:
4164:
4161:
4158:
4154:
4131:
4127:
4119:
4100:
4096:
4089:
4086:
4083:
4080:
4072:
4068:
4061:
4058:
4050:
4046:
4039:
4032:
4017:
4010:
4009:
4008:
4005:
3987:
3983:
3976:
3973:
3970:
3967:
3959:
3955:
3948:
3945:
3937:
3933:
3926:
3923:
3920:
3912:
3898:
3889:
3887:
3868:
3865:
3862:
3859:
3856:
3853:
3850:
3847:
3844:
3838:
3830:
3811:
3808:
3805:
3802:
3799:
3796:
3793:
3787:
3778:
3776:
3757:
3754:
3751:
3748:
3745:
3739:
3733:
3710:
3707:
3704:
3701:
3698:
3692:
3670:
3659:
3636:
3633:
3630:
3627:
3624:
3618:
3596:
3568:
3565:
3562:
3556:
3550:
3527:
3524:
3521:
3495:
3492:
3489:
3486:
3483:
3477:
3470:For example,
3454:
3451:
3448:
3425:
3422:
3419:
3416:
3413:
3410:
3407:
3401:
3395:
3372:
3369:
3366:
3340:
3337:
3334:
3331:
3328:
3325:
3322:
3316:
3296:
3293:
3290:
3282:
3265:
3262:
3259:
3253:
3250:
3244:
3241:
3238:
3235:
3232:
3226:
3219:
3203:
3199:
3195:
3189:
3183:
3176:
3175:
3174:
3160:
3140:
3117:
3114:
3111:
3108:
3105:
3102:
3099:
3093:
3070:
3067:
3064:
3058:
3038:
3035:
3030:
3026:
3003:
2999:
2995:
2992:
2989:
2986:
2983:
2978:
2974:
2970:
2965:
2961:
2940:
2920:
2917:
2914:
2911:
2908:
2905:
2902:
2899:
2896:
2876:
2867:
2850:
2842:
2838:
2814:
2811:
2808:
2802:
2783:
2770:
2761:
2755:
2747:
2741:
2733:
2706:
2698:
2695:
2686:
2680:
2667:
2660:
2649:
2641:
2638:
2635:
2626:
2622:
2616:
2613:
2610:
2602:
2599:
2596:
2571:
2568:
2563:
2555:
2549:
2541:
2538:
2535:
2517:
2504:
2497:
2486:
2478:
2469:
2465:
2459:
2456:
2453:
2445:
2420:
2417:
2411:
2403:
2385:
2383:
2378:
2374:
2370:
2366:
2358:
2353:
2348:
2338:
2324:
2315:
2302:
2295:
2292:
2286:
2278:
2274:
2262:
2256:
2252:
2248:
2242:
2233:
2230:
2227:
2219:
2215:
2191:
2188:
2185:
2177:
2173:
2163:
2150:
2143:
2132:
2126:
2122:
2118:
2112:
2103:
2095:
2091:
2067:
2059:
2055:
2051:
2048:
2039:
2037:
2032:
2019:
2009:
2000:
1997:
1994:
1986:
1983:
1980:
1976:
1967:
1963:
1959:
1953:
1950:
1947:
1938:
1935:
1932:
1924:
1921:
1918:
1914:
1893:
1890:
1884:
1876:
1873:
1870:
1866:
1862:
1856:
1847:
1844:
1841:
1833:
1830:
1827:
1823:
1799:
1796:
1793:
1785:
1782:
1779:
1775:
1765:
1745:
1737:
1733:
1724:
1720:
1696:
1688:
1684:
1663:
1653:
1644:
1636:
1633:
1630:
1626:
1617:
1613:
1609:
1603:
1600:
1597:
1588:
1580:
1577:
1574:
1570:
1549:
1546:
1540:
1531:
1523:
1520:
1517:
1513:
1492:
1485:
1477:
1474:
1471:
1467:
1457:
1444:
1440:
1437:
1432:
1428:
1424:
1421:
1418:
1412:
1404:
1400:
1396:
1390:
1381:
1378:
1375:
1367:
1363:
1342:
1338:
1335:
1330:
1326:
1322:
1317:
1314:
1311:
1307:
1303:
1297:
1294:
1291:
1283:
1279:
1269:
1252:
1244:
1240:
1230:
1217:
1207:
1201:
1193:
1189:
1185:
1179:
1170:
1162:
1158:
1137:
1130:
1122:
1118:
1114:
1111:
1103:
1099:
1094:
1081:
1071:
1060:
1056:
1045:
1041:
1036:
1029:
1021:
1018:
1015:
1011:
1000:
997:
994:
990:
985:
981:
978:
975:
967:
963:
952:
948:
943:
939:
933:
927:
907:
899:
895:
884:
880:
875:
871:
866:
862:
841:
832:
829:
826:
822:
811:
808:
805:
801:
796:
792:
784:
780:
769:
765:
760:
751:
730:
726:
715:
711:
706:
702:
699:
696:
688:
684:
673:
669:
664:
660:
652:
648:
637:
633:
628:
624:
621:
613:
609:
604:
602:
598:
594:
590:
586:
582:
578:
567:
564:
556:
546:
542:
538:
532:
531:
527:
522:This section
520:
516:
511:
510:
502:
488:
485:
479:
471:
467:
446:
443:
440:
417:
409:
405:
401:
398:
378:
375:
372:
352:
349:
346:
326:
323:
320:
297:
289:
285:
281:
275:
267:
263:
253:
233:
225:
221:
217:
208:
200:
196:
187:
183:
162:
158:
155:
152:
143:
138:
131:
127:
120:
116:
112:
105:
95:
93:
89:
84:
80:
76:
71:
67:
63:
56:
52:
51:Veblen (1908)
48:
47:Oswald Veblen
44:
40:
37:
34:
30:
26:
22:
6484:Proof theory
6442:
6438:
6425:
6416:D. Madore, "
6412:
6395:
6391:
6375:
6362:
6349:
6340:M. Rathjen,
6325:
6317:
6276:
6251:
6247:
6221:
6217:
6200:
6196:
6171:Proof theory
6170:
6142:Proof theory
6141:
6106:Proof theory
6105:
6089:
6032:is equal to
5984:is equal to
5840:
5822:
5818:
5812:
5798:
5794:
5790:
5786:
5784:
5779:
5777:
5746:
5742:
5738:
5734:
5730:
5726:
5722:
5714:
5710:
5708:
5697:
4337:
4006:
3913:
3890:
3780:The ordinal
3779:
3775:last nonzero
3774:
3469:
3356:denotes the
2868:
2794:
2684:
2681:
2518:
2386:
2381:
2376:
2372:
2368:
2356:
2351:
2346:
2344:
2316:
2164:
2040:
2038:is a limit:
2035:
2033:
1766:
1458:
1270:
1231:
1101:
1097:
1095:
749:
611:
605:
600:
596:
592:
584:
580:
574:
559:
550:
535:Please help
523:
251:
141:
136:
129:
118:
114:
110:
103:
101:
91:
87:
82:
78:
75:fixed points
69:
65:
61:
54:
24:
18:
6398:: 91--112.
5753:such that α
3133:where both
2349:such that φ
2083:, then let
21:mathematics
6473:Categories
6287:2310.12832
6096:PostScript
6083:References
5789:such that
2371:such that
1355:we choose
577:cofinality
126:ε function
33:continuous
6459:253675808
6309:Citations
6058:ω
6040:φ
5992:φ
5966:Γ
5922:ω
5916:φ
5874:ε
5852:φ
5677:β
5657:γ
5616:−
5613:γ
5601:β
5589:φ
5574:β
5562:φ
5544:γ
5532:β
5520:φ
5498:β
5472:γ
5449:γ
5428:β
5416:φ
5398:γ
5386:β
5374:φ
5352:γ
5320:γ
5308:β
5296:φ
5278:γ
5266:β
5254:φ
5232:β
5212:γ
5171:γ
5159:β
5147:φ
5138:−
5135:β
5123:φ
5099:γ
5087:β
5075:φ
5043:−
5040:γ
5028:β
5016:φ
4998:γ
4986:β
4974:φ
4952:β
4926:γ
4885:γ
4873:β
4861:φ
4852:−
4849:β
4837:φ
4813:γ
4801:β
4789:φ
4751:γ
4739:β
4727:φ
4692:γ
4670:γ
4664:φ
4651:γ
4638:⋅
4629:−
4626:γ
4620:φ
4607:γ
4571:γ
4565:φ
4518:φ
4512:⋯
4490:φ
4468:φ
4434:φ
4428:⋯
4406:φ
4384:φ
4346:α
4302:φ
4284:α
4275:and each
4245:α
4205:α
4174:α
4155:α
4090:φ
4087:≥
4084:⋯
4081:≥
4062:φ
4059:≥
4040:φ
3977:φ
3971:⋯
3949:φ
3927:φ
3921:α
3899:α
3839:φ
3788:φ
3752:ξ
3740:φ
3737:↦
3734:ξ
3711:γ
3693:φ
3671:ξ
3667:Γ
3663:↦
3660:ξ
3637:γ
3619:φ
3597:γ
3593:Γ
3584:, namely
3563:ξ
3557:φ
3554:↦
3551:ξ
3528:γ
3496:γ
3478:φ
3455:β
3449:δ
3441:for each
3420:ξ
3414:δ
3402:φ
3399:↦
3396:ξ
3373:γ
3341:γ
3329:β
3317:φ
3291:β
3266:γ
3254:φ
3245:γ
3227:φ
3204:γ
3200:ω
3190:γ
3184:φ
3118:γ
3106:β
3094:φ
3071:γ
3065:β
3059:φ
3027:α
3000:α
2975:α
2962:α
2851:γ
2843:α
2839:φ
2815:γ
2809:α
2803:φ
2756:β
2752:Γ
2734:β
2730:Γ
2707:β
2703:Γ
2696:β
2636:β
2632:Γ
2627:φ
2597:β
2593:Γ
2564:β
2560:Γ
2536:β
2532:Γ
2475:Γ
2470:φ
2442:Γ
2400:Γ
2325:φ
2287:γ
2279:β
2275:φ
2257:β
2253:φ
2228:γ
2220:β
2216:φ
2186:γ
2178:β
2174:φ
2127:β
2123:φ
2096:β
2092:φ
2060:β
2056:φ
2049:β
1995:γ
1981:β
1977:φ
1968:β
1964:φ
1933:γ
1919:β
1915:φ
1885:γ
1871:β
1867:φ
1842:γ
1828:β
1824:φ
1815:, we use
1794:γ
1780:β
1776:φ
1738:β
1734:φ
1725:β
1721:φ
1689:β
1685:φ
1631:β
1627:φ
1618:β
1614:φ
1575:β
1571:φ
1518:β
1514:φ
1472:β
1468:φ
1438:⋅
1433:γ
1429:ω
1419:⋅
1413:γ
1401:φ
1376:γ
1364:φ
1339:ω
1336:⋅
1331:γ
1327:ω
1312:γ
1308:ω
1292:γ
1280:φ
1241:φ
1202:γ
1194:β
1190:φ
1171:γ
1163:β
1159:φ
1150:then let
1131:γ
1123:β
1119:φ
1112:γ
1057:γ
1042:β
1037:φ
1019:−
1012:γ
998:−
991:β
986:φ
979:⋯
964:γ
949:β
944:φ
928:α
896:γ
881:β
876:φ
863:γ
854:and each
823:γ
802:β
797:φ
793:≥
781:γ
766:β
761:φ
727:γ
712:β
707:φ
700:⋯
685:γ
670:β
665:φ
649:γ
634:β
629:φ
622:α
524:does not
489:δ
480:β
472:α
468:φ
447:γ
441:α
418:δ
410:γ
406:φ
399:β
379:γ
373:α
353:δ
347:β
327:γ
321:α
298:δ
290:γ
286:φ
276:β
268:α
264:φ
234:γ
226:β
222:φ
209:γ
201:β
197:φ
188:α
184:φ
159:β
153:α
39:functions
6295:citation
6169:(1987),
5733:) where
1764:, etc..
1676:i.e. 0,
1096:For any
748:, where
553:May 2023
43:ordinals
6268:2272243
6240:1988605
6189:0882549
6160:0505313
6134:1026933
5892:is the
3611:; then
3511:is the
3309:, then
2363:is the
1505:we use
545:removed
530:sources
6457:
6266:
6238:
6187:
6177:
6158:
6148:
6132:
6122:
5837:Values
4236:where
4007:where
2688:where
2523:, let
2380:(0) =
2355:(0) =
2207:, use
433:) or (
365:) or (
23:, the
6455:S2CID
6435:(PDF)
6388:(PDF)
6282:arXiv
6264:JSTOR
6236:JSTOR
3018:with
2682:For Γ
2519:For Γ
2387:For Γ
1100:, if
175:then
145:. If
53:. If
41:from
6301:link
6175:ISBN
6146:ISBN
6120:ISBN
6028:The
5954:The
5490:and
5224:and
5067:and
4944:and
4781:and
4349:<
4299:<
4260:>
3452:<
3294:>
3153:and
3036:>
2933:and
2869:Let
2699:<
2584:and
2433:and
2359:. Γ
2165:For
2052:<
1906:and
1767:For
1562:and
1459:For
1271:For
1115:<
872:<
528:any
526:cite
486:<
459:and
444:>
402:<
391:and
376:<
350:<
339:and
282:<
156:<
139:)= ε
90:<
86:for
6447:doi
6400:doi
6256:doi
6226:doi
6205:doi
6112:doi
5813:In
5649:if
5464:if
5344:if
5204:if
4918:if
3283:if
2830:be
2521:β+1
2041:If
539:by
501:).
77:of
49:in
19:In
6475::
6453:.
6443:58
6441:.
6437:.
6394:.
6390:.
6333:^
6324:,
6297:}}
6293:{{
6280:,
6262:,
6252:41
6250:,
6234:,
6220:,
6199:,
6185:MR
6183:,
6156:MR
6154:,
6130:MR
6128:,
6118:,
5897:of
4687:if
4646:if
4602:if
3888:.
2384:.
1712:,
603:.
128::
64:,
6461:.
6449::
6406:.
6402::
6396:2
6303:)
6284::
6258::
6228::
6222:9
6207::
6201:4
6114::
6098:)
6078:.
6064:)
6051:1
6045:(
6025:.
6013:)
6010:0
6007:,
6004:0
6001:,
5998:1
5995:(
5970:0
5931:)
5928:0
5925:,
5919:(
5878:0
5870:=
5867:)
5864:0
5861:,
5858:1
5855:(
5823:φ
5799:α
5795:φ
5791:α
5787:α
5780:α
5773:ι
5769:0
5764:0
5762:ι
5757:0
5755:ι
5751:0
5747:α
5745:=
5743:β
5739:α
5735:β
5731:β
5727:α
5723:α
5719:0
5711:α
5700:β
5637:)
5634:z
5631:,
5628:1
5625:+
5622:)
5619:1
5610:,
5607:z
5604:,
5598:,
5595:s
5592:(
5586:,
5583:]
5580:n
5577:[
5571:,
5568:s
5565:(
5559:=
5556:]
5553:n
5550:[
5547:)
5541:,
5538:z
5535:,
5529:,
5526:s
5523:(
5478:0
5475:=
5452:)
5446:,
5443:z
5440:,
5437:]
5434:n
5431:[
5425:,
5422:s
5419:(
5413:=
5410:]
5407:n
5404:[
5401:)
5395:,
5392:z
5389:,
5383:,
5380:s
5377:(
5332:)
5329:]
5326:n
5323:[
5317:,
5314:z
5311:,
5305:,
5302:s
5299:(
5293:=
5290:]
5287:n
5284:[
5281:)
5275:,
5272:z
5269:,
5263:,
5260:s
5257:(
5192:)
5189:z
5186:,
5183:]
5180:n
5177:[
5174:)
5168:,
5165:z
5162:,
5156:,
5153:s
5150:(
5144:,
5141:1
5132:,
5129:s
5126:(
5120:=
5117:]
5114:1
5111:+
5108:n
5105:[
5102:)
5096:,
5093:z
5090:,
5084:,
5081:s
5078:(
5055:1
5052:+
5049:)
5046:1
5037:,
5034:z
5031:,
5025:,
5022:s
5019:(
5013:=
5010:]
5007:0
5004:[
5001:)
4995:,
4992:z
4989:,
4983:,
4980:s
4977:(
4932:0
4929:=
4906:)
4903:z
4900:,
4897:]
4894:n
4891:[
4888:)
4882:,
4879:z
4876:,
4870:,
4867:s
4864:(
4858:,
4855:1
4846:,
4843:s
4840:(
4834:=
4831:]
4828:1
4825:+
4822:n
4819:[
4816:)
4810:,
4807:z
4804:,
4798:,
4795:s
4792:(
4769:0
4766:=
4763:]
4760:0
4757:[
4754:)
4748:,
4745:z
4742:,
4736:,
4733:s
4730:(
4717:,
4682:)
4679:]
4676:n
4673:[
4667:(
4641:n
4635:)
4632:1
4623:(
4613:1
4610:=
4597:n
4590:{
4586:=
4583:]
4580:n
4577:[
4574:)
4568:(
4555:,
4543:]
4540:n
4537:[
4534:)
4529:k
4525:s
4521:(
4515:+
4509:+
4506:)
4501:2
4497:s
4493:(
4487:+
4484:)
4479:1
4475:s
4471:(
4465:=
4462:]
4459:n
4456:[
4453:)
4450:)
4445:k
4441:s
4437:(
4431:+
4425:+
4422:)
4417:2
4413:s
4409:(
4403:+
4400:)
4395:1
4391:s
4387:(
4381:(
4358:O
4355:V
4352:S
4318:)
4313:m
4309:s
4305:(
4294:i
4291:,
4288:m
4263:0
4255:1
4252:,
4249:m
4220:m
4216:n
4212:,
4209:m
4201:,
4198:.
4195:.
4192:.
4189:,
4184:2
4181:,
4178:m
4170:,
4165:1
4162:,
4159:m
4132:m
4128:s
4106:)
4101:k
4097:s
4093:(
4078:)
4073:2
4069:s
4065:(
4056:)
4051:1
4047:s
4043:(
4018:k
3993:)
3988:k
3984:s
3980:(
3974:+
3968:+
3965:)
3960:2
3956:s
3952:(
3946:+
3943:)
3938:1
3934:s
3930:(
3924:=
3872:)
3869:0
3866:,
3863:.
3860:.
3857:.
3854:,
3851:0
3848:,
3845:1
3842:(
3815:)
3812:0
3809:,
3806:0
3803:,
3800:0
3797:,
3794:1
3791:(
3761:)
3758:0
3755:,
3749:,
3746:1
3743:(
3714:)
3708:,
3705:0
3702:,
3699:2
3696:(
3640:)
3634:,
3631:1
3628:,
3625:1
3622:(
3572:)
3569:0
3566:,
3560:(
3531:)
3525:+
3522:1
3519:(
3499:)
3493:,
3490:0
3487:,
3484:1
3481:(
3429:)
3426:z
3423:,
3417:,
3411:,
3408:s
3405:(
3376:)
3370:+
3367:1
3364:(
3344:)
3338:,
3335:z
3332:,
3326:,
3323:s
3320:(
3297:0
3269:)
3263:,
3260:s
3257:(
3251:=
3248:)
3242:,
3239:s
3236:,
3233:z
3230:(
3196:=
3193:)
3187:(
3161:z
3141:s
3121:)
3115:,
3112:z
3109:,
3103:,
3100:s
3097:(
3074:)
3068:,
3062:(
3039:0
3031:1
3004:n
2996:,
2993:.
2990:.
2987:.
2984:,
2979:2
2971:,
2966:1
2941:s
2921:0
2918:,
2915:.
2912:.
2909:.
2906:,
2903:0
2900:,
2897:0
2877:z
2854:)
2848:(
2818:)
2812:,
2806:(
2771:.
2765:]
2762:n
2759:[
2748:=
2745:]
2742:n
2739:[
2685:β
2668:.
2664:)
2661:0
2658:(
2653:]
2650:n
2647:[
2642:1
2639:+
2623:=
2620:]
2617:1
2614:+
2611:n
2608:[
2603:1
2600:+
2572:1
2569:+
2556:=
2553:]
2550:0
2547:[
2542:1
2539:+
2505:.
2501:)
2498:0
2495:(
2490:]
2487:n
2484:[
2479:0
2466:=
2463:]
2460:1
2457:+
2454:n
2451:[
2446:0
2421:0
2418:=
2415:]
2412:0
2409:[
2404:0
2389:0
2382:α
2377:α
2373:φ
2369:α
2361:0
2357:α
2352:α
2347:α
2303:.
2299:)
2296:1
2293:+
2290:)
2284:(
2271:(
2266:]
2263:n
2260:[
2249:=
2246:]
2243:n
2240:[
2237:)
2234:1
2231:+
2225:(
2195:)
2192:1
2189:+
2183:(
2151:.
2147:)
2144:0
2141:(
2136:]
2133:n
2130:[
2119:=
2116:]
2113:n
2110:[
2107:)
2104:0
2101:(
2071:)
2068:0
2065:(
2036:β
2020:.
2016:)
2013:]
2010:n
2007:[
2004:)
2001:1
1998:+
1992:(
1987:1
1984:+
1973:(
1960:=
1957:]
1954:1
1951:+
1948:n
1945:[
1942:)
1939:1
1936:+
1930:(
1925:1
1922:+
1894:1
1891:+
1888:)
1882:(
1877:1
1874:+
1863:=
1860:]
1857:0
1854:[
1851:)
1848:1
1845:+
1839:(
1834:1
1831:+
1803:)
1800:1
1797:+
1791:(
1786:1
1783:+
1752:)
1749:)
1746:0
1743:(
1730:(
1700:)
1697:0
1694:(
1664:,
1660:)
1657:]
1654:n
1651:[
1648:)
1645:0
1642:(
1637:1
1634:+
1623:(
1610:=
1607:]
1604:1
1601:+
1598:n
1595:[
1592:)
1589:0
1586:(
1581:1
1578:+
1550:0
1547:=
1544:]
1541:0
1538:[
1535:)
1532:0
1529:(
1524:1
1521:+
1493:,
1489:)
1486:0
1483:(
1478:1
1475:+
1445:.
1441:n
1425:=
1422:n
1416:)
1410:(
1405:0
1397:=
1394:]
1391:n
1388:[
1385:)
1382:1
1379:+
1373:(
1368:0
1343:,
1323:=
1318:1
1315:+
1304:=
1301:)
1298:1
1295:+
1289:(
1284:0
1256:)
1253:0
1250:(
1245:0
1218:.
1214:)
1211:]
1208:n
1205:[
1199:(
1186:=
1183:]
1180:n
1177:[
1174:)
1168:(
1138:,
1134:)
1128:(
1102:γ
1098:β
1082:.
1078:)
1075:]
1072:n
1069:[
1066:)
1061:k
1053:(
1046:k
1033:(
1030:+
1027:)
1022:1
1016:k
1008:(
1001:1
995:k
982:+
976:+
973:)
968:1
960:(
953:1
940:=
937:]
934:n
931:[
908:.
905:)
900:m
892:(
885:m
867:m
842:,
838:)
833:1
830:+
827:m
819:(
812:1
809:+
806:m
790:)
785:m
777:(
770:m
750:k
736:)
731:k
723:(
716:k
703:+
697:+
694:)
689:2
681:(
674:2
661:+
658:)
653:1
645:(
638:1
625:=
612:α
601:α
597:α
593:n
585:α
581:α
566:)
560:(
555:)
551:(
547:.
533:.
483:)
477:(
421:)
415:(
324:=
301:)
295:(
279:)
273:(
252:β
237:)
231:(
218:=
215:)
212:)
206:(
193:(
163:,
142:α
137:α
135:(
133:1
130:φ
122:1
119:φ
111:α
109:(
107:0
104:φ
92:α
88:β
83:β
79:φ
70:α
66:φ
62:α
58:0
55:φ
31:(
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
