2424:
198:
981:
715:
1206:
986:
2021:
976:{\displaystyle \mathbf {n_{A}} ={\begin{pmatrix}\cos \delta _{A}\cos \alpha _{A}\\\cos \delta _{A}\sin \alpha _{A}\\\sin \delta _{A}\end{pmatrix}}\mathrm {\qquad and\qquad } \mathbf {n_{B}} ={\begin{pmatrix}\cos \delta _{B}\cos \alpha _{B}\\\cos \delta _{B}\sin \alpha _{B}\\\sin \delta _{B}\end{pmatrix}}.}
2282:
1841:
1370:
The above expression is valid for any position of A and B on the sphere. In astronomy, it often happens that the considered objects are really close in the sky: stars in a telescope field of view, binary stars, the satellites of the giant planets of the solar system, etc. In the case where
1677:
1852:
1201:{\displaystyle \mathbf {n_{A}} \cdot \mathbf {n_{B}} =\cos \delta _{A}\cos \alpha _{A}\cos \delta _{B}\cos \alpha _{B}+\cos \delta _{A}\sin \alpha _{A}\cos \delta _{B}\sin \alpha _{B}+\sin \delta _{A}\sin \delta _{B}\equiv \cos \theta }
2122:
1688:
2413:
1499:
669:
2642:
2568:
607:
2691:
468:
381:
2117:
2071:
1487:
1441:
2854:
1360:
2767:
225:
To derive the equation that describes the angular separation of two points located on the surface of a sphere as seen from the center of the sphere, we use the example of two
546:
521:
1395:
2016:{\displaystyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx 1-{\frac {(\delta _{A}-\delta _{B})^{2}}{2}}-\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}}
2807:
2509:
2469:
710:
219:
2787:
2734:
2714:
2489:
2449:
2277:{\displaystyle \cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}\approx \cos ^{2}\delta _{A}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}}
488:
306:
286:
266:
246:
1836:{\displaystyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx \cos(\delta _{A}-\delta _{B})-\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}}
2290:
1672:{\displaystyle \cos \theta \approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx \sin \delta _{A}\sin \delta _{B}+\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}\left}
618:
2576:
2517:
554:
185:
or optical instruments specially designed to point in well-defined directions and record the corresponding angles (such as
2647:
2905:
390:
319:
2076:
2030:
1446:
1400:
1214:
169:
Since the angular distance (or separation) is conceptually identical to an angle, it is measured in the same
2812:
309:
2739:
1490:
2431:
If we consider a detector imaging a small sky field (dimension much less than one radian) with the
526:
501:
1374:
47:
31:
2966:
2900:
2792:
2494:
2454:
677:
204:
2895:
226:
170:
114:
8:
2961:
106:
2772:
2719:
2699:
2474:
2434:
473:
291:
271:
251:
231:
2932:
2929:
2917:
2885:
122:
43:
2890:
491:
118:
110:
313:
90:
2408:{\displaystyle \theta \approx {\sqrt {\left^{2}+(\delta _{A}-\delta _{B})^{2}}}}
2956:
174:
39:
2423:
2950:
2880:
63:
51:
35:
490:
indicate the observer on Earth, assumed to be located at the center of the
86:
16:
Angle between the two sightlines or two objects as viewed from an observer
2865:
495:
384:
78:
2875:
197:
182:
102:
94:
2937:
186:
98:
664:{\displaystyle \mathbf {n_{A}} \cdot \mathbf {n_{B}} =\cos \theta }
150:
82:
2637:{\displaystyle \delta x=(\alpha _{A}-\alpha _{B})\cos \delta _{A}}
2563:{\displaystyle \theta \approx {\sqrt {\delta x^{2}+\delta y^{2}}}}
602:{\displaystyle \mathbf {OA} \cdot \mathbf {OB} =R^{2}\cos \theta }
2870:
2451:-axis pointing up, parallel to the meridian of right ascension
2418:
178:
126:
59:
55:
1489:, we can develop the above expression and simplify it. In the
158:
27:
66:
from an observer to two points in space, it is known as the
154:
2927:
2906:
Cosine similarity § Angular distance and similarity
1365:
871:
739:
2815:
2795:
2775:
2742:
2722:
2702:
2650:
2579:
2520:
2497:
2477:
2457:
2437:
2293:
2125:
2079:
2033:
1855:
1691:
1502:
1449:
1403:
1377:
1217:
989:
718:
680:
621:
557:
529:
504:
476:
393:
322:
294:
274:
254:
234:
207:
712:
frame, the two unitary vectors are decomposed into:
2848:
2801:
2781:
2761:
2728:
2708:
2685:
2636:
2562:
2503:
2483:
2463:
2443:
2407:
2276:
2111:
2065:
2015:
1835:
1671:
1481:
1435:
1389:
1354:
1200:
975:
704:
663:
601:
540:
515:
482:
462:
375:
300:
280:
260:
240:
213:
1493:, at second order, the above expression becomes:
2948:
2686:{\displaystyle \delta y=\delta _{A}-\delta _{B}}
2922:The Spherical Trigonometry vs. Vector Analysis"
2716:-axis is equal to the declination, whereas the
2427:Planar approximation of angular distance on sky
2119:, at a second-order development it turns that
463:{\displaystyle (\delta _{A},\delta _{B})\in }
376:{\displaystyle (\alpha _{A},\alpha _{B})\in }
2511:, the angular separation can be written as:
2419:Small angular distance: planar approximation
2112:{\displaystyle \alpha _{A}-\alpha _{B}\ll 1}
2066:{\displaystyle \delta _{A}-\delta _{B}\ll 1}
1482:{\displaystyle \delta _{A}-\delta _{B}\ll 1}
1436:{\displaystyle \alpha _{A}-\alpha _{B}\ll 1}
153:between objects (for instance, a couple of
149:itself, but is meant to suggest the linear
2769:because the section of a sphere of radius
2736:-axis is the right ascension modulated by
109:of rotating objects, it appears alongside
2491:-axis along the parallel of declination
2422:
196:
1355:{\displaystyle \theta =\cos ^{-1}\left}
2949:
2928:
268:observed from the Earth. The objects
221:between points A and B as seen from O
2849:{\displaystyle R'=R\cos \delta _{A}}
1366:Small angular distance approximation
13:
846:
843:
840:
14:
2978:
145:) is technically synonymous with
2918:CASTOR, author Michael A. Earl.
2762:{\displaystyle \cos \delta _{A}}
1011:
1007:
996:
992:
857:
853:
725:
721:
643:
639:
628:
624:
573:
570:
562:
559:
534:
531:
509:
506:
849:
839:
2615:
2589:
2394:
2367:
2334:
2308:
2259:
2232:
2188:
2161:
1998:
1971:
1918:
1891:
1818:
1791:
1750:
1724:
1649:
1622:
1344:
1318:
699:
681:
457:
426:
420:
394:
370:
355:
349:
323:
192:
164:
1:
2911:
541:{\displaystyle \mathbf {OB} }
516:{\displaystyle \mathbf {OA} }
1390:{\displaystyle \theta \ll 1}
181:, using instruments such as
77:Angular distance appears in
7:
2859:
10:
2983:
2789:at declination (latitude)
1491:small-angle approximation
612:which is equivalent to:
58:through two points on a
2802:{\displaystyle \delta }
2504:{\displaystyle \delta }
2464:{\displaystyle \alpha }
705:{\displaystyle (x,y,z)}
214:{\displaystyle \theta }
48:three-dimensional space
2850:
2803:
2783:
2763:
2730:
2710:
2687:
2638:
2564:
2505:
2485:
2465:
2445:
2428:
2409:
2278:
2113:
2067:
2017:
1837:
1673:
1483:
1437:
1391:
1356:
1202:
977:
706:
665:
603:
542:
517:
484:
464:
377:
302:
282:
262:
242:
222:
215:
132:
26:is the measure of the
2901:Great-circle distance
2851:
2804:
2784:
2764:
2731:
2711:
2688:
2639:
2565:
2506:
2486:
2466:
2446:
2426:
2410:
2279:
2114:
2068:
2018:
1838:
1674:
1484:
1438:
1392:
1357:
1203:
978:
707:
666:
604:
543:
518:
485:
465:
378:
314:right ascensions (RA)
310:celestial coordinates
308:are defined by their
303:
283:
263:
243:
216:
200:
2896:Angular displacement
2813:
2793:
2773:
2740:
2720:
2700:
2648:
2577:
2518:
2495:
2475:
2455:
2435:
2291:
2123:
2077:
2031:
1853:
1689:
1500:
1447:
1401:
1375:
1215:
987:
716:
678:
619:
555:
527:
502:
474:
391:
320:
292:
272:
252:
232:
227:astronomical objects
205:
115:angular acceleration
62:. When the rays are
201:Angular separation
107:classical mechanics
72:apparent separation
2933:"Angular Distance"
2930:Weisstein, Eric W.
2846:
2799:
2779:
2759:
2726:
2706:
2683:
2634:
2560:
2501:
2481:
2461:
2441:
2429:
2405:
2274:
2109:
2063:
2013:
1833:
1669:
1479:
1433:
1387:
1352:
1198:
973:
964:
832:
702:
661:
599:
538:
513:
480:
460:
385:declinations (dec)
373:
298:
278:
258:
238:
223:
211:
24:angular separation
2886:Angle of rotation
2782:{\displaystyle R}
2729:{\displaystyle x}
2709:{\displaystyle y}
2558:
2484:{\displaystyle x}
2444:{\displaystyle y}
2403:
2272:
2201:
2011:
1931:
1877:
1831:
1713:
1662:
1536:
1397:radian, implying
483:{\displaystyle O}
301:{\displaystyle B}
281:{\displaystyle A}
261:{\displaystyle B}
241:{\displaystyle A}
123:moment of inertia
68:apparent distance
54:subtended by the
2974:
2943:
2942:
2891:Angular diameter
2855:
2853:
2852:
2847:
2845:
2844:
2823:
2808:
2806:
2805:
2800:
2788:
2786:
2785:
2780:
2768:
2766:
2765:
2760:
2758:
2757:
2735:
2733:
2732:
2727:
2715:
2713:
2712:
2707:
2692:
2690:
2689:
2684:
2682:
2681:
2669:
2668:
2643:
2641:
2640:
2635:
2633:
2632:
2614:
2613:
2601:
2600:
2569:
2567:
2566:
2561:
2559:
2557:
2556:
2541:
2540:
2528:
2510:
2508:
2507:
2502:
2490:
2488:
2487:
2482:
2470:
2468:
2467:
2462:
2450:
2448:
2447:
2442:
2414:
2412:
2411:
2406:
2404:
2402:
2401:
2392:
2391:
2379:
2378:
2363:
2362:
2357:
2353:
2352:
2351:
2333:
2332:
2320:
2319:
2301:
2283:
2281:
2280:
2275:
2273:
2268:
2267:
2266:
2257:
2256:
2244:
2243:
2230:
2228:
2227:
2215:
2214:
2202:
2197:
2196:
2195:
2186:
2185:
2173:
2172:
2159:
2157:
2156:
2141:
2140:
2118:
2116:
2115:
2110:
2102:
2101:
2089:
2088:
2072:
2070:
2069:
2064:
2056:
2055:
2043:
2042:
2022:
2020:
2019:
2014:
2012:
2007:
2006:
2005:
1996:
1995:
1983:
1982:
1969:
1967:
1966:
1951:
1950:
1932:
1927:
1926:
1925:
1916:
1915:
1903:
1902:
1889:
1878:
1873:
1872:
1863:
1842:
1840:
1839:
1834:
1832:
1827:
1826:
1825:
1816:
1815:
1803:
1802:
1789:
1787:
1786:
1771:
1770:
1749:
1748:
1736:
1735:
1714:
1709:
1708:
1699:
1678:
1676:
1675:
1670:
1668:
1664:
1663:
1658:
1657:
1656:
1647:
1646:
1634:
1633:
1620:
1607:
1606:
1591:
1590:
1572:
1571:
1556:
1555:
1537:
1532:
1531:
1522:
1488:
1486:
1485:
1480:
1472:
1471:
1459:
1458:
1442:
1440:
1439:
1434:
1426:
1425:
1413:
1412:
1396:
1394:
1393:
1388:
1361:
1359:
1358:
1353:
1351:
1347:
1343:
1342:
1330:
1329:
1311:
1310:
1295:
1294:
1276:
1275:
1260:
1259:
1236:
1235:
1207:
1205:
1204:
1199:
1185:
1184:
1169:
1168:
1150:
1149:
1134:
1133:
1118:
1117:
1102:
1101:
1083:
1082:
1067:
1066:
1051:
1050:
1035:
1034:
1016:
1015:
1014:
1001:
1000:
999:
982:
980:
979:
974:
969:
968:
961:
960:
941:
940:
925:
924:
905:
904:
889:
888:
862:
861:
860:
850:
837:
836:
829:
828:
809:
808:
793:
792:
773:
772:
757:
756:
730:
729:
728:
711:
709:
708:
703:
670:
668:
667:
662:
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