33:
2902:
3572:
2506:
1450:
3122:
2495:
3279:
2133:
3712:
4133:
160:
In the ICAPM investors are solving lifetime consumption decisions when faced with more than one uncertainty. The main difference between ICAPM and standard CAPM is the additional state variables that acknowledge the fact that
4286:
883:
1113:
3394:
1808:
2897:{\displaystyle max\left\{U(C,t)+J_{t}+J_{W}W-J_{W}C+{\frac {W^{2}}{2}}J_{WW}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}w_{i}w_{j}\sigma _{ij}+J_{X}\mu +{\frac {1}{2}}J_{XX}s^{2}+J_{WX}W\sum _{i=1}^{n}w_{i}\sigma _{iX}\right\}}
1254:
3887:
1595:
1243:
357:
2940:
716:
2144:
544:
3133:
1826:
3350:
232:
3386:
3322:
3302:
3587:
2932:
1143:
574:
390:
3893:
4139:
731:
3567:{\displaystyle {\mathbf {w} ^{*}}={\frac {-J_{W}}{J_{WW}W}}\Omega ^{-1}(\alpha -r_{f}{\mathbf {1} })-{\frac {J_{WX}}{J_{WW}W}}\Omega ^{-1}cov_{rX}}
898:
1610:
238:
1445:{\displaystyle E(r_{i})=\alpha _{i}dt\quad ;\quad E(r_{i}^{2})=var(r_{i})=\sigma _{i}^{2}dt\quad ;\quad cov(r_{i},r_{j})=\sigma _{ij}dt}
4297:
Merton, R.C., (1973), An
Intertemporal Capital Asset Pricing Model. Econometrica 41, Vol. 41, No. 5. (Sep., 1973), pp. 867–887
3783:
1461:
1158:
97:
69:
3117:{\displaystyle J_{W}(\alpha _{i}-r_{f})+J_{WW}W\sum _{j=1}^{n}w_{j}^{*}\sigma _{ij}+J_{WX}\sigma _{iX}=0\quad i=1,2,\ldots ,n}
247:
76:
582:
50:
2490:{\displaystyle E_{t}J=J+J_{t}dt+J_{W}E+J_{X}E(dX)+{\frac {1}{2}}J_{XX}var(dX)+{\frac {1}{2}}J_{WW}var+J_{WX}cov(dX,dW)}
116:
3274:{\displaystyle (\alpha -r_{f}{\mathbf {1} })={\frac {-J_{WW}}{J_{W}}}\Omega w^{*}W+{\frac {-J_{WX}}{J_{W}}}cov_{rX}}
83:
398:
149:. It is a linear factor model with wealth as state variable that forecasts changes in the distribution of future
3726:
2128:{\displaystyle dJ=J-J=J_{t}dt+J_{W}dW+J_{X}dX+{\frac {1}{2}}J_{XX}dX^{2}+{\frac {1}{2}}J_{WW}dW^{2}+J_{WX}dXdW}
65:
54:
4317:
4327:
3578:
142:
4332:
4322:
3331:
190:
43:
90:
3707:{\displaystyle \alpha _{i}=r_{f}+\beta _{im}(\alpha _{m}-r_{f})+\beta _{ih}(\alpha _{h}-r_{f})}
3355:
3307:
3287:
17:
2910:
1121:
552:
368:
130:
8:
722:
3763:
725:
to solve the problem. For instance, if we consider a series of discrete time problems:
4128:{\displaystyle var(dW)=^{2}var=W(t)^{2}\sum _{i=1}\sum _{i=1}w_{i}w_{j}\sigma _{ij}dt}
4300:"Multifactor Portfolio Efficiency and Multifactor Asset Pricing" by Eugene F. Fama, (
180:
considers a continuous time market in equilibrium. The state variable (X) follows a
3755:
177:
150:
146:
1601:
4281:{\displaystyle \sum _{i=o}^{n}w_{i}(t)\alpha _{i}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}(t)+r_{f}}
3388:
the covariance between returns and the state variable. The optimal weights are:
878:{\displaystyle \max E_{0}\left\{\sum _{t=0}^{T-dt}\int _{t}^{t+dt}Uds+B\right\}}
3717:
where m is the market portfolio and h a portfolio to hedge the state variable.
1817:
1149:
181:
4311:
889:
1108:{\displaystyle \int _{t}^{t+dt}Uds=Udt+{\frac {1}{2}}U_{t}dt^{2}\approx Udt}
165:
hedge against shortfalls in consumption or against changes in the future
3767:
3746:
Merton, Robert (1973). "An
Intertemporal Capital Asset Pricing Model".
3325:
1803:{\displaystyle J(W,X,t)=max\;E_{t}\left\{\int _{t}^{t+dt}Uds+J\right\}}
166:
3577:
Notice that the intertemporal model provides the same weights of the
162:
3759:
32:
2500:
After some algebra , we have the following objective function:
362:
where T is the time horizon and B the utility from wealth (W).
154:
365:
The investor has the following constraint on wealth (W). Let
3882:{\displaystyle E(dW)=-C(t)dt+W(t)\sum w_{i}(t)\alpha _{i}dt}
1590:{\displaystyle dW\approx dt+W(t)\sum w_{i}\sigma _{i}dz_{i}}
1238:{\displaystyle r_{i}(t+dt)=\alpha _{i}dt+\sigma _{i}dz_{i}}
352:{\displaystyle E_{o}\left\{\int _{o}^{T}Udt+B\right\}}
4142:
3896:
3786:
3590:
3397:
3358:
3334:
3310:
3290:
3136:
2943:
2934:
is the risk-free return. First order conditions are:
2913:
2509:
2147:
1829:
1613:
1464:
1455:
Then canceling out terms of second and higher order:
1257:
1161:
1124:
901:
734:
585:
555:
401:
371:
250:
193:
1813:
subject to the wealth constraint previously stated.
711:{\displaystyle dW=-C(t)dt+\sum w_{i}(t)r_{i}(t+dt)}
576:is the return on asset i. The change in wealth is:
57:. Unsourced material may be challenged and removed.
4302:The Journal of Financial and Quantitative Analysis
4280:
4127:
3881:
3706:
3566:
3380:
3344:
3316:
3296:
3273:
3116:
2926:
2896:
2489:
2127:
1802:
1589:
1444:
1237:
1137:
1107:
877:
710:
568:
538:
384:
351:
226:
4309:
3581:. Expected returns can be expressed as follows:
735:
392:be the weight invested in the asset i. Then:
539:{\displaystyle W(t+dt)=\sum _{i=0}^{n}w_{i}}
1650:
172:
135:intertemporal capital asset pricing model
117:Learn how and when to remove this message
14:
4310:
3745:
55:adding citations to reliable sources
26:
3304:is the vector of expected returns,
24:
3533:
3453:
3311:
3201:
25:
4344:
3486:
3401:
3337:
3158:
31:
3086:
1381:
1377:
1300:
1296:
1148:Assuming that returns follow a
1145:is a value between t and t+dt.
239:Von Neumann–Morgenstern utility
42:needs additional citations for
4262:
4236:
4233:
4227:
4180:
4174:
4045:
4038:
4029:
4026:
4011:
3998:
3992:
3976:
3958:
3948:
3942:
3933:
3927:
3921:
3915:
3906:
3860:
3854:
3838:
3832:
3817:
3811:
3799:
3790:
3774:
3739:
3727:Intertemporal portfolio choice
3701:
3675:
3656:
3630:
3491:
3465:
3345:{\displaystyle {\mathbf {1} }}
3163:
3137:
2980:
2954:
2647:
2631:
2605:
2571:
2539:
2527:
2484:
2466:
2438:
2429:
2391:
2382:
2344:
2335:
2316:
2307:
2269:
2260:
2254:
2245:
2239:
2233:
2224:
2206:
2191:
2182:
2167:
2161:
1959:
1941:
1935:
1926:
1920:
1914:
1905:
1887:
1872:
1863:
1848:
1842:
1792:
1774:
1759:
1750:
1735:
1729:
1714:
1705:
1699:
1693:
1635:
1617:
1604:, we can restate the problem:
1548:
1542:
1527:
1524:
1518:
1486:
1480:
1474:
1417:
1391:
1350:
1337:
1322:
1304:
1274:
1261:
1187:
1172:
1096:
1087:
1081:
1075:
1053:
1037:
1024:
1018:
986:
977:
971:
965:
950:
941:
935:
929:
867:
858:
852:
846:
831:
822:
816:
810:
705:
690:
677:
671:
655:
646:
640:
631:
625:
619:
607:
601:
533:
530:
515:
496:
462:
453:
447:
438:
432:
426:
420:
405:
341:
332:
326:
320:
305:
296:
290:
284:
13:
1:
4304:), Vol. 31, No. 4, Dec., 1996
3732:
227:{\displaystyle dX=\mu dt+sdZ}
7:
3720:
237:The investor maximizes his
141:, is an alternative to the
10:
4349:
3127:In matrix form, we have:
3381:{\displaystyle cov_{rX}}
2138:and the expected value:
3317:{\displaystyle \Omega }
3297:{\displaystyle \alpha }
173:Continuous time version
4282:
4216:
4163:
4129:
3883:
3708:
3568:
3382:
3346:
3318:
3298:
3275:
3118:
3022:
2928:
2898:
2865:
2740:
2719:
2594:
2491:
2129:
1804:
1591:
1446:
1239:
1139:
1109:
879:
782:
712:
570:
540:
485:
386:
353:
228:
4283:
4196:
4143:
4130:
3884:
3709:
3569:
3383:
3347:
3319:
3299:
3276:
3119:
3002:
2929:
2927:{\displaystyle r_{f}}
2899:
2845:
2720:
2699:
2574:
2492:
2130:
1805:
1592:
1447:
1240:
1140:
1138:{\displaystyle t^{*}}
1110:
880:
753:
713:
571:
569:{\displaystyle r_{i}}
541:
465:
387:
385:{\displaystyle w_{i}}
354:
229:
4318:Mathematical finance
4140:
3894:
3784:
3588:
3395:
3356:
3332:
3308:
3288:
3134:
2941:
2911:
2507:
2145:
1827:
1611:
1462:
1255:
1159:
1122:
899:
732:
583:
553:
399:
369:
248:
191:
131:mathematical finance
66:"Intertemporal CAPM"
51:improve this article
4328:Financial economics
3037:
1689:
1370:
1321:
925:
806:
723:dynamic programming
280:
4278:
4125:
4085:
4069:
3879:
3704:
3564:
3378:
3342:
3314:
3294:
3271:
3114:
3023:
2924:
2894:
2487:
2125:
1800:
1666:
1587:
1442:
1356:
1307:
1235:
1135:
1105:
902:
875:
783:
708:
566:
536:
382:
349:
266:
224:
4070:
4054:
3530:
3450:
3326:covariance matrix
3250:
3199:
2801:
2684:
2405:
2358:
2069:
2030:
1006:
169:opportunity set.
127:
126:
119:
101:
16:(Redirected from
4340:
4333:Financial models
4323:Finance theories
4290:
4287:
4285:
4284:
4279:
4277:
4276:
4261:
4260:
4248:
4247:
4226:
4225:
4215:
4210:
4192:
4191:
4173:
4172:
4162:
4157:
4134:
4132:
4131:
4126:
4118:
4117:
4105:
4104:
4095:
4094:
4084:
4068:
4053:
4052:
4010:
4009:
3991:
3990:
3966:
3965:
3888:
3886:
3885:
3880:
3872:
3871:
3853:
3852:
3778:
3772:
3771:
3743:
3713:
3711:
3710:
3705:
3700:
3699:
3687:
3686:
3674:
3673:
3655:
3654:
3642:
3641:
3629:
3628:
3613:
3612:
3600:
3599:
3573:
3571:
3570:
3565:
3563:
3562:
3544:
3543:
3531:
3529:
3525:
3524:
3511:
3510:
3498:
3490:
3489:
3483:
3482:
3464:
3463:
3451:
3449:
3445:
3444:
3431:
3430:
3429:
3416:
3411:
3410:
3409:
3404:
3387:
3385:
3384:
3379:
3377:
3376:
3351:
3349:
3348:
3343:
3341:
3340:
3323:
3321:
3320:
3315:
3303:
3301:
3300:
3295:
3280:
3278:
3277:
3272:
3270:
3269:
3251:
3249:
3248:
3239:
3238:
3237:
3221:
3213:
3212:
3200:
3198:
3197:
3188:
3187:
3186:
3170:
3162:
3161:
3155:
3154:
3123:
3121:
3120:
3115:
3079:
3078:
3066:
3065:
3050:
3049:
3036:
3031:
3021:
3016:
2998:
2997:
2979:
2978:
2966:
2965:
2953:
2952:
2933:
2931:
2930:
2925:
2923:
2922:
2903:
2901:
2900:
2895:
2893:
2889:
2888:
2887:
2875:
2874:
2864:
2859:
2841:
2840:
2825:
2824:
2815:
2814:
2802:
2794:
2786:
2785:
2773:
2772:
2760:
2759:
2750:
2749:
2739:
2734:
2718:
2713:
2698:
2697:
2685:
2680:
2679:
2670:
2662:
2661:
2646:
2645:
2630:
2629:
2617:
2616:
2604:
2603:
2593:
2588:
2567:
2566:
2554:
2553:
2496:
2494:
2493:
2488:
2456:
2455:
2419:
2418:
2406:
2398:
2372:
2371:
2359:
2351:
2331:
2330:
2303:
2302:
2284:
2283:
2157:
2156:
2134:
2132:
2131:
2126:
2112:
2111:
2096:
2095:
2083:
2082:
2070:
2062:
2057:
2056:
2044:
2043:
2031:
2023:
2012:
2011:
1993:
1992:
1974:
1973:
1820:we can rewrite:
1809:
1807:
1806:
1801:
1799:
1795:
1688:
1674:
1660:
1659:
1602:Bellman equation
1596:
1594:
1593:
1588:
1586:
1585:
1573:
1572:
1563:
1562:
1511:
1510:
1501:
1500:
1451:
1449:
1448:
1443:
1435:
1434:
1416:
1415:
1403:
1402:
1369:
1364:
1349:
1348:
1320:
1315:
1289:
1288:
1273:
1272:
1244:
1242:
1241:
1236:
1234:
1233:
1221:
1220:
1202:
1201:
1171:
1170:
1144:
1142:
1141:
1136:
1134:
1133:
1114:
1112:
1111:
1106:
1068:
1067:
1052:
1051:
1036:
1035:
1017:
1016:
1007:
999:
924:
910:
890:Taylor expansion
884:
882:
881:
876:
874:
870:
805:
791:
781:
767:
747:
746:
717:
715:
714:
709:
689:
688:
670:
669:
575:
573:
572:
567:
565:
564:
545:
543:
542:
537:
514:
513:
495:
494:
484:
479:
391:
389:
388:
383:
381:
380:
358:
356:
355:
350:
348:
344:
279:
274:
260:
259:
233:
231:
230:
225:
122:
115:
111:
108:
102:
100:
59:
35:
27:
21:
4348:
4347:
4343:
4342:
4341:
4339:
4338:
4337:
4308:
4307:
4294:
4293:
4272:
4268:
4256:
4252:
4243:
4239:
4221:
4217:
4211:
4200:
4187:
4183:
4168:
4164:
4158:
4147:
4141:
4138:
4137:
4110:
4106:
4100:
4096:
4090:
4086:
4074:
4058:
4048:
4044:
4005:
4001:
3986:
3982:
3961:
3957:
3895:
3892:
3891:
3867:
3863:
3848:
3844:
3785:
3782:
3781:
3779:
3775:
3760:10.2307/1913811
3744:
3740:
3735:
3723:
3695:
3691:
3682:
3678:
3666:
3662:
3650:
3646:
3637:
3633:
3621:
3617:
3608:
3604:
3595:
3591:
3589:
3586:
3585:
3555:
3551:
3536:
3532:
3517:
3513:
3512:
3503:
3499:
3497:
3485:
3484:
3478:
3474:
3456:
3452:
3437:
3433:
3432:
3425:
3421:
3417:
3415:
3405:
3400:
3399:
3398:
3396:
3393:
3392:
3369:
3365:
3357:
3354:
3353:
3352:a unity vector
3336:
3335:
3333:
3330:
3329:
3309:
3306:
3305:
3289:
3286:
3285:
3262:
3258:
3244:
3240:
3230:
3226:
3222:
3220:
3208:
3204:
3193:
3189:
3179:
3175:
3171:
3169:
3157:
3156:
3150:
3146:
3135:
3132:
3131:
3071:
3067:
3058:
3054:
3042:
3038:
3032:
3027:
3017:
3006:
2990:
2986:
2974:
2970:
2961:
2957:
2948:
2944:
2942:
2939:
2938:
2918:
2914:
2912:
2909:
2908:
2880:
2876:
2870:
2866:
2860:
2849:
2833:
2829:
2820:
2816:
2807:
2803:
2793:
2781:
2777:
2765:
2761:
2755:
2751:
2745:
2741:
2735:
2724:
2714:
2703:
2690:
2686:
2675:
2671:
2669:
2657:
2653:
2641:
2637:
2625:
2621:
2612:
2608:
2599:
2595:
2589:
2578:
2562:
2558:
2549:
2545:
2523:
2519:
2508:
2505:
2504:
2448:
2444:
2411:
2407:
2397:
2364:
2360:
2350:
2326:
2322:
2298:
2294:
2279:
2275:
2152:
2148:
2146:
2143:
2142:
2104:
2100:
2091:
2087:
2075:
2071:
2061:
2052:
2048:
2036:
2032:
2022:
2007:
2003:
1988:
1984:
1969:
1965:
1828:
1825:
1824:
1675:
1670:
1665:
1661:
1655:
1651:
1612:
1609:
1608:
1581:
1577:
1568:
1564:
1558:
1554:
1506:
1502:
1496:
1492:
1463:
1460:
1459:
1427:
1423:
1411:
1407:
1398:
1394:
1365:
1360:
1344:
1340:
1316:
1311:
1284:
1280:
1268:
1264:
1256:
1253:
1252:
1229:
1225:
1216:
1212:
1197:
1193:
1166:
1162:
1160:
1157:
1156:
1150:Brownian motion
1129:
1125:
1123:
1120:
1119:
1063:
1059:
1047:
1043:
1031:
1027:
1012:
1008:
998:
911:
906:
900:
897:
896:
792:
787:
768:
757:
752:
748:
742:
738:
733:
730:
729:
684:
680:
665:
661:
584:
581:
580:
560:
556:
554:
551:
550:
509:
505:
490:
486:
480:
469:
400:
397:
396:
376:
372:
370:
367:
366:
275:
270:
265:
261:
255:
251:
249:
246:
245:
192:
189:
188:
182:Brownian motion
175:
123:
112:
106:
103:
60:
58:
48:
36:
23:
22:
15:
12:
11:
5:
4346:
4336:
4335:
4330:
4325:
4320:
4306:
4305:
4298:
4292:
4291:
4289:
4288:
4275:
4271:
4267:
4264:
4259:
4255:
4251:
4246:
4242:
4238:
4235:
4232:
4229:
4224:
4220:
4214:
4209:
4206:
4203:
4199:
4195:
4190:
4186:
4182:
4179:
4176:
4171:
4167:
4161:
4156:
4153:
4150:
4146:
4135:
4124:
4121:
4116:
4113:
4109:
4103:
4099:
4093:
4089:
4083:
4080:
4077:
4073:
4067:
4064:
4061:
4057:
4051:
4047:
4043:
4040:
4037:
4034:
4031:
4028:
4025:
4022:
4019:
4016:
4013:
4008:
4004:
4000:
3997:
3994:
3989:
3985:
3981:
3978:
3975:
3972:
3969:
3964:
3960:
3956:
3953:
3950:
3947:
3944:
3941:
3938:
3935:
3932:
3929:
3926:
3923:
3920:
3917:
3914:
3911:
3908:
3905:
3902:
3899:
3878:
3875:
3870:
3866:
3862:
3859:
3856:
3851:
3847:
3843:
3840:
3837:
3834:
3831:
3828:
3825:
3822:
3819:
3816:
3813:
3810:
3807:
3804:
3801:
3798:
3795:
3792:
3789:
3773:
3754:(5): 867–887.
3737:
3736:
3734:
3731:
3730:
3729:
3722:
3719:
3715:
3714:
3703:
3698:
3694:
3690:
3685:
3681:
3677:
3672:
3669:
3665:
3661:
3658:
3653:
3649:
3645:
3640:
3636:
3632:
3627:
3624:
3620:
3616:
3611:
3607:
3603:
3598:
3594:
3575:
3574:
3561:
3558:
3554:
3550:
3547:
3542:
3539:
3535:
3528:
3523:
3520:
3516:
3509:
3506:
3502:
3496:
3493:
3488:
3481:
3477:
3473:
3470:
3467:
3462:
3459:
3455:
3448:
3443:
3440:
3436:
3428:
3424:
3420:
3414:
3408:
3403:
3375:
3372:
3368:
3364:
3361:
3339:
3313:
3293:
3282:
3281:
3268:
3265:
3261:
3257:
3254:
3247:
3243:
3236:
3233:
3229:
3225:
3219:
3216:
3211:
3207:
3203:
3196:
3192:
3185:
3182:
3178:
3174:
3168:
3165:
3160:
3153:
3149:
3145:
3142:
3139:
3125:
3124:
3113:
3110:
3107:
3104:
3101:
3098:
3095:
3092:
3089:
3085:
3082:
3077:
3074:
3070:
3064:
3061:
3057:
3053:
3048:
3045:
3041:
3035:
3030:
3026:
3020:
3015:
3012:
3009:
3005:
3001:
2996:
2993:
2989:
2985:
2982:
2977:
2973:
2969:
2964:
2960:
2956:
2951:
2947:
2921:
2917:
2905:
2904:
2892:
2886:
2883:
2879:
2873:
2869:
2863:
2858:
2855:
2852:
2848:
2844:
2839:
2836:
2832:
2828:
2823:
2819:
2813:
2810:
2806:
2800:
2797:
2792:
2789:
2784:
2780:
2776:
2771:
2768:
2764:
2758:
2754:
2748:
2744:
2738:
2733:
2730:
2727:
2723:
2717:
2712:
2709:
2706:
2702:
2696:
2693:
2689:
2683:
2678:
2674:
2668:
2665:
2660:
2656:
2652:
2649:
2644:
2640:
2636:
2633:
2628:
2624:
2620:
2615:
2611:
2607:
2602:
2598:
2592:
2587:
2584:
2581:
2577:
2573:
2570:
2565:
2561:
2557:
2552:
2548:
2544:
2541:
2538:
2535:
2532:
2529:
2526:
2522:
2518:
2515:
2512:
2498:
2497:
2486:
2483:
2480:
2477:
2474:
2471:
2468:
2465:
2462:
2459:
2454:
2451:
2447:
2443:
2440:
2437:
2434:
2431:
2428:
2425:
2422:
2417:
2414:
2410:
2404:
2401:
2396:
2393:
2390:
2387:
2384:
2381:
2378:
2375:
2370:
2367:
2363:
2357:
2354:
2349:
2346:
2343:
2340:
2337:
2334:
2329:
2325:
2321:
2318:
2315:
2312:
2309:
2306:
2301:
2297:
2293:
2290:
2287:
2282:
2278:
2274:
2271:
2268:
2265:
2262:
2259:
2256:
2253:
2250:
2247:
2244:
2241:
2238:
2235:
2232:
2229:
2226:
2223:
2220:
2217:
2214:
2211:
2208:
2205:
2202:
2199:
2196:
2193:
2190:
2187:
2184:
2181:
2178:
2175:
2172:
2169:
2166:
2163:
2160:
2155:
2151:
2136:
2135:
2124:
2121:
2118:
2115:
2110:
2107:
2103:
2099:
2094:
2090:
2086:
2081:
2078:
2074:
2068:
2065:
2060:
2055:
2051:
2047:
2042:
2039:
2035:
2029:
2026:
2021:
2018:
2015:
2010:
2006:
2002:
1999:
1996:
1991:
1987:
1983:
1980:
1977:
1972:
1968:
1964:
1961:
1958:
1955:
1952:
1949:
1946:
1943:
1940:
1937:
1934:
1931:
1928:
1925:
1922:
1919:
1916:
1913:
1910:
1907:
1904:
1901:
1898:
1895:
1892:
1889:
1886:
1883:
1880:
1877:
1874:
1871:
1868:
1865:
1862:
1859:
1856:
1853:
1850:
1847:
1844:
1841:
1838:
1835:
1832:
1811:
1810:
1798:
1794:
1791:
1788:
1785:
1782:
1779:
1776:
1773:
1770:
1767:
1764:
1761:
1758:
1755:
1752:
1749:
1746:
1743:
1740:
1737:
1734:
1731:
1728:
1725:
1722:
1719:
1716:
1713:
1710:
1707:
1704:
1701:
1698:
1695:
1692:
1687:
1684:
1681:
1678:
1673:
1669:
1664:
1658:
1654:
1649:
1646:
1643:
1640:
1637:
1634:
1631:
1628:
1625:
1622:
1619:
1616:
1598:
1597:
1584:
1580:
1576:
1571:
1567:
1561:
1557:
1553:
1550:
1547:
1544:
1541:
1538:
1535:
1532:
1529:
1526:
1523:
1520:
1517:
1514:
1509:
1505:
1499:
1495:
1491:
1488:
1485:
1482:
1479:
1476:
1473:
1470:
1467:
1453:
1452:
1441:
1438:
1433:
1430:
1426:
1422:
1419:
1414:
1410:
1406:
1401:
1397:
1393:
1390:
1387:
1384:
1380:
1376:
1373:
1368:
1363:
1359:
1355:
1352:
1347:
1343:
1339:
1336:
1333:
1330:
1327:
1324:
1319:
1314:
1310:
1306:
1303:
1299:
1295:
1292:
1287:
1283:
1279:
1276:
1271:
1267:
1263:
1260:
1246:
1245:
1232:
1228:
1224:
1219:
1215:
1211:
1208:
1205:
1200:
1196:
1192:
1189:
1186:
1183:
1180:
1177:
1174:
1169:
1165:
1132:
1128:
1116:
1115:
1104:
1101:
1098:
1095:
1092:
1089:
1086:
1083:
1080:
1077:
1074:
1071:
1066:
1062:
1058:
1055:
1050:
1046:
1042:
1039:
1034:
1030:
1026:
1023:
1020:
1015:
1011:
1005:
1002:
997:
994:
991:
988:
985:
982:
979:
976:
973:
970:
967:
964:
961:
958:
955:
952:
949:
946:
943:
940:
937:
934:
931:
928:
923:
920:
917:
914:
909:
905:
886:
885:
873:
869:
866:
863:
860:
857:
854:
851:
848:
845:
842:
839:
836:
833:
830:
827:
824:
821:
818:
815:
812:
809:
804:
801:
798:
795:
790:
786:
780:
777:
774:
771:
766:
763:
760:
756:
751:
745:
741:
737:
719:
718:
707:
704:
701:
698:
695:
692:
687:
683:
679:
676:
673:
668:
664:
660:
657:
654:
651:
648:
645:
642:
639:
636:
633:
630:
627:
624:
621:
618:
615:
612:
609:
606:
603:
600:
597:
594:
591:
588:
563:
559:
547:
546:
535:
532:
529:
526:
523:
520:
517:
512:
508:
504:
501:
498:
493:
489:
483:
478:
475:
472:
468:
464:
461:
458:
455:
452:
449:
446:
443:
440:
437:
434:
431:
428:
425:
422:
419:
416:
413:
410:
407:
404:
379:
375:
360:
359:
347:
343:
340:
337:
334:
331:
328:
325:
322:
319:
316:
313:
310:
307:
304:
301:
298:
295:
292:
289:
286:
283:
278:
273:
269:
264:
258:
254:
235:
234:
223:
220:
217:
214:
211:
208:
205:
202:
199:
196:
174:
171:
125:
124:
39:
37:
30:
9:
6:
4:
3:
2:
4345:
4334:
4331:
4329:
4326:
4324:
4321:
4319:
4316:
4315:
4313:
4303:
4299:
4296:
4295:
4273:
4269:
4265:
4257:
4253:
4249:
4244:
4240:
4230:
4222:
4218:
4212:
4207:
4204:
4201:
4197:
4193:
4188:
4184:
4177:
4169:
4165:
4159:
4154:
4151:
4148:
4144:
4136:
4122:
4119:
4114:
4111:
4107:
4101:
4097:
4091:
4087:
4081:
4078:
4075:
4071:
4065:
4062:
4059:
4055:
4049:
4041:
4035:
4032:
4023:
4020:
4017:
4014:
4006:
4002:
3995:
3987:
3983:
3979:
3973:
3970:
3967:
3962:
3954:
3951:
3945:
3939:
3936:
3930:
3924:
3918:
3912:
3909:
3903:
3900:
3897:
3890:
3889:
3876:
3873:
3868:
3864:
3857:
3849:
3845:
3841:
3835:
3829:
3826:
3823:
3820:
3814:
3808:
3805:
3802:
3796:
3793:
3787:
3777:
3769:
3765:
3761:
3757:
3753:
3749:
3742:
3738:
3728:
3725:
3724:
3718:
3696:
3692:
3688:
3683:
3679:
3670:
3667:
3663:
3659:
3651:
3647:
3643:
3638:
3634:
3625:
3622:
3618:
3614:
3609:
3605:
3601:
3596:
3592:
3584:
3583:
3582:
3580:
3559:
3556:
3552:
3548:
3545:
3540:
3537:
3526:
3521:
3518:
3514:
3507:
3504:
3500:
3494:
3479:
3475:
3471:
3468:
3460:
3457:
3446:
3441:
3438:
3434:
3426:
3422:
3418:
3412:
3406:
3391:
3390:
3389:
3373:
3370:
3366:
3362:
3359:
3327:
3291:
3266:
3263:
3259:
3255:
3252:
3245:
3241:
3234:
3231:
3227:
3223:
3217:
3214:
3209:
3205:
3194:
3190:
3183:
3180:
3176:
3172:
3166:
3151:
3147:
3143:
3140:
3130:
3129:
3128:
3111:
3108:
3105:
3102:
3099:
3096:
3093:
3090:
3087:
3083:
3080:
3075:
3072:
3068:
3062:
3059:
3055:
3051:
3046:
3043:
3039:
3033:
3028:
3024:
3018:
3013:
3010:
3007:
3003:
2999:
2994:
2991:
2987:
2983:
2975:
2971:
2967:
2962:
2958:
2949:
2945:
2937:
2936:
2935:
2919:
2915:
2890:
2884:
2881:
2877:
2871:
2867:
2861:
2856:
2853:
2850:
2846:
2842:
2837:
2834:
2830:
2826:
2821:
2817:
2811:
2808:
2804:
2798:
2795:
2790:
2787:
2782:
2778:
2774:
2769:
2766:
2762:
2756:
2752:
2746:
2742:
2736:
2731:
2728:
2725:
2721:
2715:
2710:
2707:
2704:
2700:
2694:
2691:
2687:
2681:
2676:
2672:
2666:
2663:
2658:
2654:
2650:
2642:
2638:
2634:
2626:
2622:
2618:
2613:
2609:
2600:
2596:
2590:
2585:
2582:
2579:
2575:
2568:
2563:
2559:
2555:
2550:
2546:
2542:
2536:
2533:
2530:
2524:
2520:
2516:
2513:
2510:
2503:
2502:
2501:
2481:
2478:
2475:
2472:
2469:
2463:
2460:
2457:
2452:
2449:
2445:
2441:
2435:
2432:
2426:
2423:
2420:
2415:
2412:
2408:
2402:
2399:
2394:
2388:
2385:
2379:
2376:
2373:
2368:
2365:
2361:
2355:
2352:
2347:
2341:
2338:
2332:
2327:
2323:
2319:
2313:
2310:
2304:
2299:
2295:
2291:
2288:
2285:
2280:
2276:
2272:
2266:
2263:
2257:
2251:
2248:
2242:
2236:
2230:
2227:
2221:
2218:
2215:
2212:
2209:
2203:
2200:
2197:
2194:
2188:
2185:
2179:
2176:
2173:
2170:
2164:
2158:
2153:
2149:
2141:
2140:
2139:
2122:
2119:
2116:
2113:
2108:
2105:
2101:
2097:
2092:
2088:
2084:
2079:
2076:
2072:
2066:
2063:
2058:
2053:
2049:
2045:
2040:
2037:
2033:
2027:
2024:
2019:
2016:
2013:
2008:
2004:
2000:
1997:
1994:
1989:
1985:
1981:
1978:
1975:
1970:
1966:
1962:
1956:
1953:
1950:
1947:
1944:
1938:
1932:
1929:
1923:
1917:
1911:
1908:
1902:
1899:
1896:
1893:
1890:
1884:
1881:
1878:
1875:
1869:
1866:
1860:
1857:
1854:
1851:
1845:
1839:
1836:
1833:
1830:
1823:
1822:
1821:
1819:
1814:
1796:
1789:
1786:
1783:
1780:
1777:
1771:
1768:
1765:
1762:
1756:
1753:
1747:
1744:
1741:
1738:
1732:
1726:
1723:
1720:
1717:
1711:
1708:
1702:
1696:
1690:
1685:
1682:
1679:
1676:
1671:
1667:
1662:
1656:
1652:
1647:
1644:
1641:
1638:
1632:
1629:
1626:
1623:
1620:
1614:
1607:
1606:
1605:
1603:
1582:
1578:
1574:
1569:
1565:
1559:
1555:
1551:
1545:
1539:
1536:
1533:
1530:
1521:
1515:
1512:
1507:
1503:
1497:
1493:
1489:
1483:
1477:
1471:
1468:
1465:
1458:
1457:
1456:
1439:
1436:
1431:
1428:
1424:
1420:
1412:
1408:
1404:
1399:
1395:
1388:
1385:
1382:
1378:
1374:
1371:
1366:
1361:
1357:
1353:
1345:
1341:
1334:
1331:
1328:
1325:
1317:
1312:
1308:
1301:
1297:
1293:
1290:
1285:
1281:
1277:
1269:
1265:
1258:
1251:
1250:
1249:
1230:
1226:
1222:
1217:
1213:
1209:
1206:
1203:
1198:
1194:
1190:
1184:
1181:
1178:
1175:
1167:
1163:
1155:
1154:
1153:
1151:
1146:
1130:
1126:
1102:
1099:
1093:
1090:
1084:
1078:
1072:
1069:
1064:
1060:
1056:
1048:
1044:
1040:
1032:
1028:
1021:
1013:
1009:
1003:
1000:
995:
992:
989:
983:
980:
974:
968:
962:
959:
956:
953:
947:
944:
938:
932:
926:
921:
918:
915:
912:
907:
903:
895:
894:
893:
891:
871:
864:
861:
855:
849:
843:
840:
837:
834:
828:
825:
819:
813:
807:
802:
799:
796:
793:
788:
784:
778:
775:
772:
769:
764:
761:
758:
754:
749:
743:
739:
728:
727:
726:
724:
702:
699:
696:
693:
685:
681:
674:
666:
662:
658:
652:
649:
643:
637:
634:
628:
622:
616:
613:
610:
604:
598:
595:
592:
589:
586:
579:
578:
577:
561:
557:
527:
524:
521:
518:
510:
506:
502:
499:
491:
487:
481:
476:
473:
470:
466:
459:
456:
450:
444:
441:
435:
429:
423:
417:
414:
411:
408:
402:
395:
394:
393:
377:
373:
363:
345:
338:
335:
329:
323:
317:
314:
311:
308:
302:
299:
293:
287:
281:
276:
271:
267:
262:
256:
252:
244:
243:
242:
240:
221:
218:
215:
212:
209:
206:
203:
200:
197:
194:
187:
186:
185:
183:
179:
170:
168:
164:
158:
156:
152:
148:
147:Robert Merton
144:
140:
136:
132:
121:
118:
110:
99:
96:
92:
89:
85:
82:
78:
75:
71:
68: –
67:
63:
62:Find sources:
56:
52:
46:
45:
40:This article
38:
34:
29:
28:
19:
4301:
3776:
3751:
3748:Econometrica
3747:
3741:
3716:
3576:
3328:of returns,
3283:
3126:
2906:
2499:
2137:
1815:
1812:
1599:
1454:
1247:
1147:
1117:
887:
720:
548:
364:
361:
236:
176:
159:
145:provided by
138:
134:
128:
113:
104:
94:
87:
80:
73:
61:
49:Please help
44:verification
41:
1818:Ito's lemma
721:We can use
107:August 2014
4312:Categories
3733:References
167:investment
77:newspapers
4250:−
4241:α
4198:∑
4185:α
4145:∑
4108:σ
4072:∑
4056:∑
3980:∑
3937:−
3865:α
3842:∑
3806:−
3689:−
3680:α
3664:β
3644:−
3635:α
3619:β
3593:α
3538:−
3534:Ω
3495:−
3472:−
3469:α
3458:−
3454:Ω
3419:−
3407:∗
3312:Ω
3292:α
3224:−
3210:∗
3202:Ω
3173:−
3144:−
3141:α
3106:…
3069:σ
3040:σ
3034:∗
3004:∑
2968:−
2959:α
2878:σ
2847:∑
2788:μ
2763:σ
2722:∑
2701:∑
2651:−
2619:−
2610:α
2576:∑
1909:−
1668:∫
1566:σ
1552:∑
1513:−
1504:α
1490:∑
1472:≈
1425:σ
1358:σ
1282:α
1214:σ
1195:α
1131:∗
1070:≈
1049:∗
1033:∗
904:∫
785:∫
773:−
755:∑
659:∑
635:−
596:−
467:∑
442:−
268:∫
204:μ
163:investors
3721:See also
888:Then, a
3768:1913811
892:gives:
151:returns
129:Within
91:scholar
3766:
3284:where
2907:where
1816:Using
1600:Using
1248:with:
1118:where
549:where
178:Merton
155:income
133:, the
93:
86:
79:
72:
64:
3764:JSTOR
139:ICAPM
137:, or
98:JSTOR
84:books
18:ICAPM
3579:CAPM
3324:the
143:CAPM
70:news
3756:doi
736:max
153:or
53:by
4314::
3762:.
3752:41
3750:.
1152::
241::
184::
157:.
4274:f
4270:r
4266:+
4263:]
4258:f
4254:r
4245:i
4237:[
4234:)
4231:t
4228:(
4223:i
4219:w
4213:n
4208:1
4205:=
4202:i
4194:=
4189:i
4181:)
4178:t
4175:(
4170:i
4166:w
4160:n
4155:o
4152:=
4149:i
4123:t
4120:d
4115:j
4112:i
4102:j
4098:w
4092:i
4088:w
4082:1
4079:=
4076:i
4066:1
4063:=
4060:i
4050:2
4046:)
4042:t
4039:(
4036:W
4033:=
4030:]
4027:)
4024:t
4021:d
4018:+
4015:t
4012:(
4007:i
4003:r
3999:)
3996:t
3993:(
3988:i
3984:w
3977:[
3974:r
3971:a
3968:v
3963:2
3959:]
3955:t
3952:d
3949:)
3946:t
3943:(
3940:C
3934:)
3931:t
3928:(
3925:W
3922:[
3919:=
3916:)
3913:W
3910:d
3907:(
3904:r
3901:a
3898:v
3877:t
3874:d
3869:i
3861:)
3858:t
3855:(
3850:i
3846:w
3839:)
3836:t
3833:(
3830:W
3827:+
3824:t
3821:d
3818:)
3815:t
3812:(
3809:C
3803:=
3800:)
3797:W
3794:d
3791:(
3788:E
3780::
3770:.
3758::
3702:)
3697:f
3693:r
3684:h
3676:(
3671:h
3668:i
3660:+
3657:)
3652:f
3648:r
3639:m
3631:(
3626:m
3623:i
3615:+
3610:f
3606:r
3602:=
3597:i
3560:X
3557:r
3553:v
3549:o
3546:c
3541:1
3527:W
3522:W
3519:W
3515:J
3508:X
3505:W
3501:J
3492:)
3487:1
3480:f
3476:r
3466:(
3461:1
3447:W
3442:W
3439:W
3435:J
3427:W
3423:J
3413:=
3402:w
3374:X
3371:r
3367:v
3363:o
3360:c
3338:1
3267:X
3264:r
3260:v
3256:o
3253:c
3246:W
3242:J
3235:X
3232:W
3228:J
3218:+
3215:W
3206:w
3195:W
3191:J
3184:W
3181:W
3177:J
3167:=
3164:)
3159:1
3152:f
3148:r
3138:(
3112:n
3109:,
3103:,
3100:2
3097:,
3094:1
3091:=
3088:i
3084:0
3081:=
3076:X
3073:i
3063:X
3060:W
3056:J
3052:+
3047:j
3044:i
3029:j
3025:w
3019:n
3014:1
3011:=
3008:j
3000:W
2995:W
2992:W
2988:J
2984:+
2981:)
2976:f
2972:r
2963:i
2955:(
2950:W
2946:J
2920:f
2916:r
2891:}
2885:X
2882:i
2872:i
2868:w
2862:n
2857:1
2854:=
2851:i
2843:W
2838:X
2835:W
2831:J
2827:+
2822:2
2818:s
2812:X
2809:X
2805:J
2799:2
2796:1
2791:+
2783:X
2779:J
2775:+
2770:j
2767:i
2757:j
2753:w
2747:i
2743:w
2737:n
2732:1
2729:=
2726:j
2716:n
2711:1
2708:=
2705:i
2695:W
2692:W
2688:J
2682:2
2677:2
2673:W
2667:+
2664:C
2659:W
2655:J
2648:]
2643:f
2639:r
2635:+
2632:)
2627:f
2623:r
2614:i
2606:(
2601:i
2597:w
2591:n
2586:1
2583:=
2580:i
2572:[
2569:W
2564:W
2560:J
2556:+
2551:t
2547:J
2543:+
2540:)
2537:t
2534:,
2531:C
2528:(
2525:U
2521:{
2517:x
2514:a
2511:m
2485:)
2482:W
2479:d
2476:,
2473:X
2470:d
2467:(
2464:v
2461:o
2458:c
2453:X
2450:W
2446:J
2442:+
2439:]
2436:W
2433:d
2430:[
2427:r
2424:a
2421:v
2416:W
2413:W
2409:J
2403:2
2400:1
2395:+
2392:)
2389:X
2386:d
2383:(
2380:r
2377:a
2374:v
2369:X
2366:X
2362:J
2356:2
2353:1
2348:+
2345:)
2342:X
2339:d
2336:(
2333:E
2328:X
2324:J
2320:+
2317:]
2314:W
2311:d
2308:[
2305:E
2300:W
2296:J
2292:+
2289:t
2286:d
2281:t
2277:J
2273:+
2270:]
2267:t
2264:,
2261:)
2258:t
2255:(
2252:X
2249:,
2246:)
2243:t
2240:(
2237:W
2234:[
2231:J
2228:=
2225:]
2222:t
2219:d
2216:+
2213:t
2210:,
2207:)
2204:t
2201:d
2198:+
2195:t
2192:(
2189:X
2186:,
2183:)
2180:t
2177:d
2174:+
2171:t
2168:(
2165:W
2162:[
2159:J
2154:t
2150:E
2123:W
2120:d
2117:X
2114:d
2109:X
2106:W
2102:J
2098:+
2093:2
2089:W
2085:d
2080:W
2077:W
2073:J
2067:2
2064:1
2059:+
2054:2
2050:X
2046:d
2041:X
2038:X
2034:J
2028:2
2025:1
2020:+
2017:X
2014:d
2009:X
2005:J
2001:+
1998:W
1995:d
1990:W
1986:J
1982:+
1979:t
1976:d
1971:t
1967:J
1963:=
1960:]
1957:t
1954:d
1951:+
1948:t
1945:,
1942:)
1939:t
1936:(
1933:X
1930:,
1927:)
1924:t
1921:(
1918:W
1915:[
1912:J
1906:]
1903:t
1900:d
1897:+
1894:t
1891:,
1888:)
1885:t
1882:d
1879:+
1876:t
1873:(
1870:X
1867:,
1864:)
1861:t
1858:d
1855:+
1852:t
1849:(
1846:W
1843:[
1840:J
1837:=
1834:J
1831:d
1797:}
1793:]
1790:t
1787:d
1784:+
1781:t
1778:,
1775:)
1772:t
1769:d
1766:+
1763:t
1760:(
1757:X
1754:,
1751:)
1748:t
1745:d
1742:+
1739:t
1736:(
1733:W
1730:[
1727:J
1724:+
1721:s
1718:d
1715:]
1712:s
1709:,
1706:)
1703:s
1700:(
1697:C
1694:[
1691:U
1686:t
1683:d
1680:+
1677:t
1672:t
1663:{
1657:t
1653:E
1648:x
1645:a
1642:m
1639:=
1636:)
1633:t
1630:,
1627:X
1624:,
1621:W
1618:(
1615:J
1583:i
1579:z
1575:d
1570:i
1560:i
1556:w
1549:)
1546:t
1543:(
1540:W
1537:+
1534:t
1531:d
1528:]
1525:)
1522:t
1519:(
1516:C
1508:i
1498:i
1494:w
1487:)
1484:t
1481:(
1478:W
1475:[
1469:W
1466:d
1440:t
1437:d
1432:j
1429:i
1421:=
1418:)
1413:j
1409:r
1405:,
1400:i
1396:r
1392:(
1389:v
1386:o
1383:c
1379:;
1375:t
1372:d
1367:2
1362:i
1354:=
1351:)
1346:i
1342:r
1338:(
1335:r
1332:a
1329:v
1326:=
1323:)
1318:2
1313:i
1309:r
1305:(
1302:E
1298:;
1294:t
1291:d
1286:i
1278:=
1275:)
1270:i
1266:r
1262:(
1259:E
1231:i
1227:z
1223:d
1218:i
1210:+
1207:t
1204:d
1199:i
1191:=
1188:)
1185:t
1182:d
1179:+
1176:t
1173:(
1168:i
1164:r
1127:t
1103:t
1100:d
1097:]
1094:t
1091:,
1088:)
1085:t
1082:(
1079:C
1076:[
1073:U
1065:2
1061:t
1057:d
1054:]
1045:t
1041:,
1038:)
1029:t
1025:(
1022:C
1019:[
1014:t
1010:U
1004:2
1001:1
996:+
993:t
990:d
987:]
984:t
981:,
978:)
975:t
972:(
969:C
966:[
963:U
960:=
957:s
954:d
951:]
948:s
945:,
942:)
939:s
936:(
933:C
930:[
927:U
922:t
919:d
916:+
913:t
908:t
872:}
868:]
865:T
862:,
859:)
856:T
853:(
850:W
847:[
844:B
841:+
838:s
835:d
832:]
829:s
826:,
823:)
820:s
817:(
814:C
811:[
808:U
803:t
800:d
797:+
794:t
789:t
779:t
776:d
770:T
765:0
762:=
759:t
750:{
744:0
740:E
706:)
703:t
700:d
697:+
694:t
691:(
686:i
682:r
678:)
675:t
672:(
667:i
663:w
656:]
653:t
650:d
647:)
644:t
641:(
638:C
632:)
629:t
626:(
623:W
620:[
617:+
614:t
611:d
608:)
605:t
602:(
599:C
593:=
590:W
587:d
562:i
558:r
534:]
531:)
528:t
525:d
522:+
519:t
516:(
511:i
507:r
503:+
500:1
497:[
492:i
488:w
482:n
477:0
474:=
471:i
463:]
460:t
457:d
454:)
451:t
448:(
445:C
439:)
436:t
433:(
430:W
427:[
424:=
421:)
418:t
415:d
412:+
409:t
406:(
403:W
378:i
374:w
346:}
342:]
339:T
336:,
333:)
330:T
327:(
324:W
321:[
318:B
315:+
312:t
309:d
306:]
303:t
300:,
297:)
294:t
291:(
288:C
285:[
282:U
277:T
272:o
263:{
257:o
253:E
222:Z
219:d
216:s
213:+
210:t
207:d
201:=
198:X
195:d
120:)
114:(
109:)
105:(
95:·
88:·
81:·
74:·
47:.
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
