5515:
5094:
5510:{\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {pf} (A)}}{\frac {\partial ^{2}\operatorname {pf} (A)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(A^{-1}{\frac {\partial ^{2}A}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right)-{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(A^{-1}{\frac {\partial A}{\partial x_{i}}}A^{-1}{\frac {\partial A}{\partial x_{j}}}\right)+{\frac {1}{4}}\operatorname {tr} \left(A^{-1}{\frac {\partial A}{\partial x_{i}}}\right)\operatorname {tr} \left(A^{-1}{\frac {\partial A}{\partial x_{j}}}\right).}
918:
4133:
4719:
7303:
6837:
3787:
655:
4495:
224:. Cayley obtains this relation by specialising a more general result on matrices that deviate from skew symmetry only in the first row and the first column. The determinant of such a matrix is the product of the Pfaffians of the two matrices obtained by first setting in the original matrix the upper left entry to zero and then copying, respectively, the negative
5079:
7060:
6594:
5901:
1589:
913:{\displaystyle \operatorname {pf} {\begin{bmatrix}0&a_{1}&0&0\\-a_{1}&0&0&0\\0&0&0&a_{2}\\0&0&-a_{2}&0&\ddots \\&&&\ddots &\ddots &\\&&&&&0&a_{n}\\&&&&&-a_{n}&0\end{bmatrix}}=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}.}
632:
2168:
4128:{\displaystyle {\begin{aligned}&BAB^{\mathrm {T} }\rightarrow \sum _{ijkl}B_{ik}B_{jl}A_{kl}e_{i}\wedge e_{j}=\sum _{kl}A_{kl}f_{k}\wedge f_{l}\\&\xrightarrow {\wedge n} {2^{n}n!}Pf(A)f_{1}\wedge \cdots \wedge f_{2n}={2^{n}n!}Pf(BAB^{\mathrm {T} })e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{2n},\end{aligned}}}
1133:
7476:
4714:{\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}0&a_{1}&0&0\\-a_{1}&0&0&0\\0&0&0&a_{2}\\0&0&-a_{2}&0&\ddots \\&&&\ddots &\ddots &\\&&&&&0&a_{n}\\&&&&&-a_{n}&0\end{bmatrix}}}
3747:
7298:{\displaystyle {\begin{pmatrix}M+QN^{-1}Q^{\mathrm {T} }&0\\0&N\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I&-QN^{-1}\\0&I\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}M&Q\\-Q^{\mathrm {T} }&N\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I&0\\N^{-1}Q^{\mathrm {T} }&I\end{pmatrix}}.}
6832:{\displaystyle {\begin{pmatrix}M&0\\0&N+Q^{\mathrm {T} }M^{-1}Q\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I&0\\Q^{\mathrm {T} }M^{-1}&I\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}M&Q\\-Q^{\mathrm {T} }&N\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I&-M^{-1}Q\\0&I\end{pmatrix}}.}
455:
4932:
2440:
7672:
1743:
6293:
7939:
2704:
5674:
2960:
7049:
6583:
6152:
5647:
4902:
1424:
6924:
332:
466:
6047:
4298:
1988:
966:
3506:
6391:
3386:
3232:
3585:
3165:
1334:
2845:
1817:
7327:
7757:
7835:
1920:
8014:
2557:
3593:
5074:{\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {pf} (A)}}{\frac {\partial \operatorname {pf} (A)}{\partial x_{i}}}={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(A^{-1}{\frac {\partial A}{\partial x_{i}}}\right),}
340:
2262:
8225:), where the underlying graph is planar. It is also used to derive efficient algorithms for some otherwise seemingly intractable problems, including the efficient simulation of certain types of
3792:
3290:
196:
4414:
4357:
1416:
2308:
7563:
1600:
95:/2, and is unique up to multiplication by ±1. The convention on skew-symmetric tridiagonal matrices, given below in the examples, then determines one specific polynomial, called the
6175:
4466:
4196:
5896:{\displaystyle \mathrm {pf} (A)\,\mathrm {pf} (B)={\tfrac {1}{n!}}B_{n}(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}),\qquad \mathrm {where} \qquad s_{l}=-{\tfrac {1}{2}}(l-1)!\,\mathrm {tr} ((AB)^{l})}
7843:
2600:
3014:
8226:
6955:
6489:
6055:
5539:
3782:
1584:{\displaystyle \pi _{\alpha }={\begin{bmatrix}1&2&3&4&\cdots &2n-1&2n\\i_{1}&j_{1}&i_{2}&j_{2}&\cdots &i_{n}&j_{n}\end{bmatrix}}}
4751:
2850:
2964:
A non-zero generalisation of the
Pfaffian to odd-dimensional matrices is given in the work of de Bruijn on multiple integrals involving determinants. In particular for any
6849:
2210:
7506:
8086:
247:
1953:
8568:
2752:
7537:
4746:
627:{\displaystyle \operatorname {pf} {\begin{bmatrix}0&a&b&c\\-a&0&d&e\\-b&-d&0&f\\-c&-e&-f&0\end{bmatrix}}=af-be+dc.}
2300:
2163:{\displaystyle \operatorname {pf} (A)=\sum _{{j=1} \atop {j\neq i}}^{2n}(-1)^{i+j+1+\theta (i-j)}a_{ij}\operatorname {pf} (A_{{\hat {\imath }}{\hat {\jmath }}}),}
3044:
elements −1, and the corner element is zero. The usual properties of
Pfaffians, for example the relation to the determinant, then apply to this extended matrix.
1128:{\displaystyle \operatorname {pf} (A)={\frac {1}{2^{n}n!}}\sum _{\sigma \in S_{2n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (2i-1),\sigma (2i)}\,,}
8126:
8106:
6947:
6477:
6454:
6434:
6414:
6316:
4486:
136:
8675:
8049:
5956:
4204:
2757:
3404:
6324:
3313:
3171:
3515:
3091:
1837:
8564:
8359:
1211:
7471:{\displaystyle {\textrm {pf}}(A)=i^{(n^{2})}\exp \left({\tfrac {1}{2}}\mathrm {tr} \log((\sigma _{y}\otimes I_{n})^{\mathrm {T} }\cdot A)\right),}
1758:
7680:
7773:
8314:
8283:
8202:
7958:
2483:
3742:{\displaystyle A\rightarrow \sum _{ij}A_{ij}e_{i}\wedge e_{j}{\xrightarrow{\wedge n}}{2^{n}n!}Pf(A)e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{2n}.}
3062:
A multiple of a row and corresponding column added to another row and corresponding column does not change the value of the
Pfaffian.
8390:
Bunch, James R. "A note on the stable decomposition of skew-symmetric matrices." Mathematics of
Computation 38.158 (1982): 475-479.
8128:
is very large, rounding errors in computing the resulting sign from the complex phase can lead to a non-zero imaginary component.
450:{\displaystyle B={\begin{bmatrix}0&a&b\\-a&0&c\\-b&-c&0\end{bmatrix}},\qquad \operatorname {pf} (B)=0.}
8329:
2728:
Equivalently, we can consider the bivector (which is more convenient when we do not want to impose the summation constraint
8748:
8175:
2219:
1834:
odd is defined to be zero, as the determinant of an odd skew-symmetric matrix is zero, since for a skew-symmetric matrix,
3238:
2435:{\displaystyle \operatorname {pf} (A)=\sum _{j=2}^{2n}(-1)^{j}a_{1j}\operatorname {pf} (A_{{\hat {1}}{\hat {\jmath }}}).}
144:
4365:
4308:
3056:
Multiplication of a row and a column by a constant is equivalent to multiplication of the
Pfaffian by the same constant.
1362:
228:
of the first row to the first column and the negative transpose of the first column to the first row. This is proved by
8144:
There exist programs for the numerical computation of the
Pfaffian on various platforms (Python, Matlab, Mathematica) (
7667:{\displaystyle {\textrm {pf}}(A)\,{\textrm {pf}}(B)=\exp \left({\tfrac {1}{2}}\mathrm {tr} \log(A^{\text{T}}B)\right)}
8578:
1738:{\displaystyle A_{\alpha }=\operatorname {sgn} (\pi _{\alpha })a_{i_{1},j_{1}}a_{i_{2},j_{2}}\cdots a_{i_{n},j_{n}}.}
6288:{\displaystyle \operatorname {pf} {\begin{bmatrix}0&M\\-M^{\text{T}}&0\end{bmatrix}}=(-1)^{n(n-1)/2}\det M.}
8633:
Wimmer, M. (2012). "Efficient numerical computation of the
Pfaffian for dense and banded skew-symmetric matrices".
221:
8381:
Zhang, Fuzhen, ed. The Schur complement and its applications. Vol. 4. Springer
Science & Business Media, 2006.
7934:{\displaystyle \operatorname {tr} {\log {(AB)}}=\operatorname {tr} {\log {(A)}}+\operatorname {tr} {\log {(B)}}}
4430:
4138:
2699:{\displaystyle {\frac {1}{n!}}\omega ^{n}=\operatorname {pf} (A)\;e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{2n},}
1963:
By convention, the
Pfaffian of the 0 × 0 matrix is equal to one. The Pfaffian of a skew-symmetric 2
99:
polynomial. The value of this polynomial, when applied to the entries of a skew-symmetric matrix, is called the
4416:
is an equation of polynomials, it suffices to prove it for real matrices, and it would automatically apply for
8706:
8446:(1961). "The statistics of dimers on a lattice. I. The number of dimer arrangements on a quadratic lattice".
8051:. Under the summation, for a real valued Pfaffian, the argument of the exponential will be given in the form
4424:
924:
7044:{\displaystyle \operatorname {pf} (S)=\operatorname {pf} (N)\operatorname {pf} (M+QN^{-1}Q^{\mathrm {T} }),}
6578:{\displaystyle \operatorname {pf} (S)=\operatorname {pf} (M)\operatorname {pf} (N+Q^{\mathrm {T} }M^{-1}Q).}
6147:{\displaystyle \operatorname {pf} (A_{1}\oplus A_{2})=\operatorname {pf} (A_{1})\operatorname {pf} (A_{2}).}
8769:
5642:{\displaystyle {\textrm {pf}}(A)\,{\textrm {pf}}(B)=\exp({\tfrac {1}{2}}\mathrm {tr} \log(A^{\text{T}}B)).}
2979:
3059:
Simultaneous interchange of two different rows and corresponding columns changes the sign of the
Pfaffian.
8701:
8426:
4897:{\displaystyle pf(A)^{2}=pf(\Sigma )^{2}\det(Q)^{2}=pf(\Sigma )^{2}=\left(\prod a_{i}\right)^{2}=\det(A)}
2955:{\displaystyle \omega '^{n}=2^{n}n!\operatorname {pf} (A)\;e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{2n}.}
7838:
3752:
8016:
will generally be complex, and the logarithm of these complex eigenvalues are generally taken to be in
6843:
8540:
6919:{\displaystyle \operatorname {pf} (BAB^{\mathrm {T} })=\operatorname {det} (B)\operatorname {pf} (A)}
3066:
Using these properties, Pfaffians can be computed quickly, akin to the computation of determinants.
214:
2180:
327:{\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&a\\-a&0\end{bmatrix}},\qquad \operatorname {pf} (A)=a.}
8635:
7484:
2213:
1157:
8054:
233:
229:
112:
89:
8696:
1929:
8764:
8509:
8491:
8353:
8263:
8230:
8193:. This is surprising given that for general graphs, the problem is very difficult (so called
7763:
50:
8290:
2731:
8552:
8455:
8163:
8152:
7515:
4724:
85:
77:
58:
28:
8719:
8372:
A. C. Aitken. Determinants and matrices. Oliver and Boyd, Edinburgh, fourth edition, 1939.
8:
8210:
8171:
7942:
6042:{\displaystyle A_{1}\oplus A_{2}={\begin{bmatrix}A_{1}&0\\0&A_{2}\end{bmatrix}},}
4293:{\displaystyle f_{1}\wedge \cdots \wedge f_{2n}=\det(B)e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{2n},}
2279:
8749:
https://www.researchgate.net/publication/231827602_A_note_on_skew-symmetric_determinants
8596:
8589:
8556:
8459:
8661:
8643:
8621:
8476:
8111:
8091:
6932:
6462:
6439:
6419:
6399:
6301:
4471:
1172:
646:
202:
121:
8019:
8574:
8467:
8341:
8308:
6480:
4489:
3501:{\displaystyle \operatorname {pf} (A^{2m+1})=(-1)^{nm}\operatorname {pf} (A)^{2m+1}.}
3052:
Pfaffians have the following properties, which are similar to those of determinants.
20:
8713:
8665:
8653:
8613:
8463:
8443:
8214:
8194:
8182:
8156:
7955:
However, this algorithm is unstable when the Pfaffian is large. The eigenvalues of
7837:, take the log of all of these and sum them up. This procedure merely exploits the
7548:
5937:
2475:
1194:
6386:{\displaystyle S={\begin{pmatrix}M&Q\\-Q^{\mathrm {T} }&N\end{pmatrix}}\,}
3381:{\displaystyle \operatorname {pf} (BAB^{\text{T}})=\det(B)\operatorname {pf} (A).}
3227:{\displaystyle \operatorname {pf} (\lambda A)=\lambda ^{n}\operatorname {pf} (A).}
8732:
8728:
8159:
7540:
3580:{\displaystyle \operatorname {pf} (BAB^{\text{T}})=\det(B)\operatorname {pf} (A)}
3160:{\displaystyle \operatorname {pf} (A^{\text{T}})=(-1)^{n}\operatorname {pf} (A).}
1149:
218:
24:
7509:
5085:
4417:
2587:
8673:
de Bruijn, N. G. (1955). "On some multiple integrals involving determinants".
8758:
8422:
8345:
8198:
8190:
2714:
1329:{\displaystyle \alpha =\{(i_{1},j_{1}),(i_{2},j_{2}),\cdots ,(i_{n},j_{n})\}}
206:
104:
8657:
8186:
8743:
sequence A004003 (Number of domino tilings (or dimer coverings))
1812:{\displaystyle \operatorname {pf} (A)=\sum _{\alpha \in \Pi }A_{\alpha }.}
8248:
8243:
8206:
8167:
1168:
65:
39:
35:
6298:
It is often required to compute the Pfaffian of a skew-symmetric matrix
8723:(a demonstration of the proof of the Pfaffian/determinant relationship)
8625:
7767:
3020:
odd, one can then show that this is equal to the usual Pfaffian of an (
2840:{\displaystyle \omega '=2\omega =\sum _{i,j}a_{ij}\;e_{i}\wedge e_{j},}
1594:
be the corresponding permutation. Given a partition α as above, define
54:
8526:
Jeliss, G. P.; Chapman, Robin J. (1996). "Dominizing the Chessboard".
923:(Note that any skew-symmetric matrix can be reduced to this form; see
8481:
8258:
7752:{\displaystyle {\textrm {pf}}(\sigma _{y}\otimes I_{n})=(-i)^{n^{2}}}
3657:
225:
8617:
8189:
is given by a Pfaffian, hence is polynomial time computable via the
3961:
3661:
8648:
7830:{\displaystyle ((\sigma _{y}\otimes I_{n})^{\mathrm {T} }\cdot A)}
8739:
8253:
7950:
Pf := Module] / 2}, I^(n^2) Exp, IdentityMatrix]], x] ]]]]]
7766:
is a computationally demanding task, one can instead compute all
1915:{\displaystyle \det A=\det A^{\text{T}}=\det(-A)=(-1)^{n}\det A,}
62:
8009:{\displaystyle (\sigma _{y}\otimes I_{n})^{\mathrm {T} }\cdot A}
2552:{\displaystyle \omega =\sum _{i<j}a_{ij}\;e_{i}\wedge e_{j},}
16:
Square root of the determinant of a skew-symmetric square matrix
8475:
Propp, James (2004). "Lambda-determinants and domino-tilings".
8406:
3028:+1)-dimensional skew symmetric matrix where we have added an (
2276:-th rows and columns removed. Note how for the special choice
6588:
This can be seen from Aitken block-diagonalization formula,
8742:
8541:"Domino Tilings and Products of Fibonacci and Pell numbers"
8570:
The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers
8604:
Parameswaran, S. (1954). "Skew-Symmetric Determinants".
8516:
8498:
8492:"Approximate inference using planar graph decomposition"
5525:
The product of the Pfaffians of skew-symmetric matrices
7308:
7615:
7385:
7239:
7191:
7139:
7069:
6779:
6731:
6673:
6603:
6339:
6190:
5991:
5830:
5717:
5589:
4510:
1446:
670:
481:
355:
262:
8747:
W. Ledermann "A note on skew-symmetric determinants"
8507:
8439:
Reprinted in Collected mathematical papers, volume 2.
8222:
8114:
8094:
8057:
8022:
7961:
7846:
7776:
7683:
7566:
7518:
7487:
7330:
7063:
6958:
6935:
6852:
6597:
6492:
6465:
6442:
6422:
6402:
6327:
6304:
6178:
6058:
5959:
5677:
5542:
5097:
4935:
4754:
4727:
4498:
4474:
4433:
4368:
4311:
4207:
4141:
3790:
3755:
3596:
3518:
3407:
3316:
3241:
3174:
3094:
2982:
2853:
2760:
2734:
2603:
2486:
2311:
2282:
2222:
2183:
1991:
1932:
1840:
1761:
1603:
1427:
1365:
1214:
969:
658:
469:
343:
250:
147:
124:
8518:
Advances in Neural Information Processing Systems 21
8500:
Advances in Neural Information Processing Systems 19
2257:{\displaystyle A_{{\hat {\imath }}{\hat {\jmath }}}}
103:
of that matrix. The term Pfaffian was introduced by
8330:"On some multiple integrals involving determinants"
3285:{\displaystyle \operatorname {pf} (A)^{2}=\det(A).}
191:{\displaystyle \operatorname {pf} (A)^{2}=\det(A),}
8510:"Efficient exact inference in planar Ising models"
8197:). This result is used to calculate the number of
8120:
8100:
8080:
8043:
8008:
7933:
7829:
7751:
7666:
7531:
7500:
7470:
7297:
7043:
6941:
6918:
6831:
6577:
6471:
6448:
6428:
6408:
6385:
6310:
6287:
6146:
6041:
5895:
5641:
5509:
5073:
4896:
4740:
4713:
4480:
4460:
4409:{\displaystyle \operatorname {pf} (A)^{2}=\det(A)}
4408:
4352:{\displaystyle \operatorname {pf} (A)^{2}=\det(A)}
4351:
4292:
4190:
4127:
3776:
3741:
3579:
3500:
3380:
3284:
3226:
3159:
3008:
2954:
2839:
2746:
2698:
2551:
2434:
2294:
2256:
2204:
2162:
1947:
1914:
1811:
1737:
1583:
1411:{\displaystyle i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{n}}
1410:
1328:
1127:
912:
626:
449:
326:
190:
130:
8489:
8218:
5533:can be represented in the form of an exponential
8756:
6276:
4882:
4802:
4394:
4337:
4243:
3550:
3348:
3267:
1933:
1903:
1866:
1850:
1841:
1179:} into pairs without regard to order. There are
173:
8508:Schraudolph, Nicol; Kamenetsky, Dmitry (2009).
8411:Journal für die reine und angewandte Mathematik
7054:as can be seen by employing the decomposition
4425:spectral theory of skew-symmetric real matrices
2594:. The Pfaffian is then defined by the equation
8166:. In particular, it can be used to define the
4926:, then the gradient of a Pfaffian is given by
8525:
8162:. As such, it is important in the theory of
2976:, we use the formal definition above but set
217:for introducing these polynomials in work on
8603:
8358:: CS1 maint: multiple names: authors list (
3047:
3003:
2989:
1323:
1221:
236:and employing the recursion formula below.
8573:(revised ed.). Penguin. p. 182.
8334:Journal of the Indian Mathematical Society
8155:of a skew-symmetric matrix under a proper
8131:For other (more) efficient algorithms see
4748:. Now apply the previous theorem, we have
4461:{\displaystyle A=Q\Sigma Q^{\mathrm {T} }}
4191:{\displaystyle f_{k}=\sum _{i}B_{ik}e_{i}}
2903:
2810:
2647:
2522:
2445:
925:Spectral theory of a skew-symmetric matrix
8672:
8647:
8490:Globerson, Amir; Jaakkola, Tommi (2007).
8480:
8442:
8431:Cambridge and Dublin Mathematical Journal
7583:
6382:
5859:
5695:
5559:
2450:One can associate to any skew-symmetric 2
1163:One can make use of the skew-symmetry of
1121:
53:can always be written as the square of a
8591:A Treatise on the Theory of Determinants
6846:that allow to use the Pfaffian property
4908:
2302:this reduces to the simpler expression:
118:Explicitly, for a skew-symmetric matrix
8538:
1958:
956:skew-symmetric matrix. The Pfaffian of
8757:
8632:
8421:
8404:
8327:
8313:: CS1 maint: archived copy as title (
8145:
8132:
460:(3 is odd, so the Pfaffian of B is 0)
210:
108:
8563:
8474:
7555:
3009:{\displaystyle n=\lfloor m/2\rfloor }
960:is explicitly defined by the formula
8587:
7309:Calculating the Pfaffian numerically
930:
5520:
1167:to avoid summing over all possible
111:), who indirectly named them after
80:, the polynomial is zero, and when
13:
8721:The Pfaffian and the Wedge Product
7994:
7812:
7630:
7627:
7445:
7400:
7397:
7273:
7215:
7100:
7029:
6874:
6755:
6694:
6635:
6547:
6363:
5864:
5861:
5808:
5805:
5802:
5799:
5796:
5700:
5697:
5682:
5679:
5604:
5601:
5483:
5475:
5427:
5419:
5358:
5350:
5318:
5310:
5249:
5236:
5222:
5165:
5152:
5126:
5047:
5039:
4983:
4963:
4833:
4789:
4499:
4452:
4443:
4077:
3808:
3777:{\displaystyle BAB^{\mathrm {T} }}
3768:
2015:
1791:
14:
8781:
8688:
8606:The American Mathematical Monthly
8223:Schraudolph & Kamenetsky 2009
6456:is a general rectangular matrix.
5943:
222:systems of differential equations
8176:generalized Gauss–Bonnet theorem
6436:are skew-symmetric matrices and
3069:
232:by expanding the determinant on
88:, it is a nonzero polynomial of
8138:
5812:
5794:
1982:can be computed recursively as
425:
299:
8407:"Sur les déterminants gauches"
8384:
8375:
8366:
8321:
8276:
8227:restricted quantum computation
8038:
8023:
7989:
7962:
7926:
7920:
7898:
7892:
7870:
7861:
7824:
7807:
7780:
7777:
7733:
7723:
7717:
7691:
7656:
7640:
7597:
7591:
7580:
7574:
7554:This equality is based on the
7457:
7440:
7413:
7410:
7368:
7355:
7344:
7338:
7321:skew-symmetric matrices, then
7035:
6998:
6989:
6983:
6971:
6965:
6913:
6907:
6898:
6892:
6880:
6859:
6842:This decomposition involves a
6569:
6532:
6523:
6517:
6505:
6499:
6263:
6251:
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6234:
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6125:
6116:
6103:
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6065:
5890:
5881:
5871:
5868:
5853:
5841:
5788:
5743:
5710:
5704:
5692:
5686:
5668:skew-symmetric matrices, then
5633:
5630:
5614:
5585:
5573:
5567:
5556:
5550:
5147:
5141:
5116:
5110:
4978:
4972:
4954:
4948:
4891:
4885:
4837:
4830:
4812:
4805:
4793:
4786:
4768:
4761:
4403:
4397:
4382:
4375:
4346:
4340:
4325:
4318:
4252:
4246:
4083:
4062:
4000:
3994:
3814:
3701:
3695:
3600:
3574:
3568:
3559:
3553:
3544:
3525:
3477:
3470:
3452:
3442:
3436:
3414:
3391:Substituting in this equation
3372:
3366:
3357:
3351:
3342:
3323:
3276:
3270:
3255:
3248:
3218:
3212:
3190:
3181:
3151:
3145:
3130:
3120:
3114:
3101:
2900:
2894:
2644:
2638:
2426:
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2406:
2392:
2364:
2354:
2324:
2318:
2246:
2234:
2199:
2187:
2154:
2146:
2134:
2120:
2096:
2084:
2059:
2049:
2004:
1998:
1894:
1884:
1878:
1869:
1774:
1768:
1636:
1623:
1320:
1294:
1282:
1256:
1250:
1224:
1116:
1107:
1098:
1083:
1051:
1045:
982:
976:
438:
432:
312:
306:
182:
176:
161:
154:
1:
8528:The Games and Puzzles Journal
8427:"On the theory of permutants"
8397:
8219:Globerson & Jaakkola 2007
7941:. This can be implemented in
7547:and we took the trace over a
2177:can be selected arbitrarily,
8545:Journal of Integer Sequences
8468:10.1016/0031-8914(61)90063-5
7677:and on the observation that
5948:For a block-diagonal matrix
2205:{\displaystyle \theta (i-j)}
1198:such partitions. An element
7:
8702:Encyclopedia of Mathematics
8237:
7501:{\displaystyle \sigma _{y}}
3395:, one gets for all integer
3032:+1)th column consisting of
239:
61:entries, a polynomial with
10:
8786:
8714:Pfaffian at PlanetMath.org
8539:Sellers, James A. (2002).
6844:congruence transformations
5088:of a Pfaffian is given by
1830:skew-symmetric matrix for
1171:. Let Π be the set of all
18:
8328:Bruijn, de, N.G. (1955).
8081:{\displaystyle x+k\pi /2}
7945:with a single statement:
6318:with the block structure
4917:depends on some variable
3048:Properties and identities
8269:
3040:+1)th row consisting of
1948:{\displaystyle \det A=0}
19:Not to be confused with
8658:10.1145/2331130.2331138
8636:ACM Trans. Math. Softw.
8405:Cayley, Arthur (1849).
6949:is invertible, one has
4300:the proof is finished.
2446:Alternative definitions
2214:Heaviside step function
8164:characteristic classes
8122:
8102:
8082:
8045:
8010:
7935:
7831:
7762:Since calculating the
7753:
7668:
7533:
7502:
7472:
7299:
7045:
6943:
6920:
6833:
6579:
6473:
6450:
6430:
6410:
6387:
6312:
6289:
6148:
6043:
5897:
5643:
5511:
5075:
4898:
4742:
4715:
4482:
4462:
4410:
4353:
4294:
4192:
4129:
3778:
3743:
3669:
3581:
3502:
3382:
3286:
3228:
3161:
3082:skew-symmetric matrix
3010:
2956:
2841:
2748:
2747:{\displaystyle i<j}
2700:
2553:
2436:
2353:
2296:
2258:
2206:
2164:
2048:
1949:
1916:
1813:
1739:
1585:
1412:
1330:
1129:
1074:
914:
628:
451:
328:
192:
132:
113:Johann Friedrich Pfaff
8588:Muir, Thomas (1882).
8264:Statistical mechanics
8233:for more information.
8231:Holographic algorithm
8123:
8103:
8083:
8046:
8011:
7936:
7832:
7764:logarithm of a matrix
7754:
7669:
7534:
7532:{\displaystyle I_{n}}
7503:
7473:
7300:
7046:
6944:
6921:
6834:
6580:
6474:
6451:
6431:
6411:
6388:
6313:
6290:
6149:
6044:
5898:
5644:
5512:
5076:
4909:Derivative identities
4899:
4743:
4741:{\displaystyle a_{k}}
4716:
4483:
4463:
4411:
4354:
4295:
4193:
4130:
3779:
3744:
3653:
3590:As previously said,
3582:
3503:
3383:
3287:
3229:
3162:
3011:
2957:
2842:
2749:
2701:
2554:
2437:
2330:
2297:
2259:
2207:
2165:
2010:
1950:
1917:
1814:
1740:
1586:
1413:
1331:
1130:
1054:
915:
629:
452:
329:
193:
133:
68:that only depends on
51:skew-symmetric matrix
8734:What is ... a dimer?
8676:J. Indian Math. Soc.
8211:Markov random fields
8201:of a rectangle, the
8174:that is used in the
8153:invariant polynomial
8112:
8092:
8055:
8020:
7959:
7844:
7774:
7681:
7564:
7516:
7485:
7328:
7061:
6956:
6933:
6850:
6595:
6490:
6463:
6440:
6420:
6400:
6325:
6302:
6176:
6056:
5957:
5675:
5540:
5095:
4933:
4752:
4725:
4496:
4472:
4431:
4366:
4309:
4205:
4139:
3788:
3753:
3594:
3516:
3405:
3314:
3239:
3172:
3092:
2980:
2851:
2758:
2732:
2601:
2484:
2309:
2280:
2220:
2181:
1989:
1959:Recursive definition
1930:
1838:
1759:
1601:
1425:
1363:
1212:
967:
656:
467:
341:
248:
145:
122:
29:Pfaffian orientation
8770:Multilinear algebra
8594:. Macmillan and Co.
8557:2002JIntS...5...12S
8460:1961Phy....27.1209K
8172:Riemannian manifold
8151:The Pfaffian is an
4420:matrices as well.
3968:
3668:
3660:
3024:+1) × (
2295:{\displaystyle i=1}
2264:denotes the matrix
637:The Pfaffian of a 2
8209:in physics, or of
8203:partition function
8118:
8098:
8078:
8041:
8006:
7931:
7827:
7749:
7664:
7624:
7529:
7498:
7468:
7394:
7295:
7286:
7228:
7180:
7125:
7041:
6939:
6916:
6829:
6820:
6768:
6720:
6659:
6575:
6469:
6446:
6426:
6406:
6383:
6376:
6308:
6285:
6225:
6144:
6039:
6030:
5893:
5839:
5731:
5639:
5598:
5507:
5071:
4894:
4738:
4711:
4705:
4478:
4458:
4406:
4360:
4349:
4290:
4188:
4164:
4125:
4123:
3913:
3835:
3774:
3739:
3615:
3588:
3577:
3498:
3378:
3295:For an arbitrary 2
3282:
3224:
3157:
3006:
2952:
2837:
2796:
2744:
2696:
2549:
2508:
2432:
2292:
2254:
2202:
2160:
1945:
1926:odd, this implies
1912:
1822:The Pfaffian of a
1809:
1795:
1735:
1581:
1575:
1408:
1326:
1205:can be written as
1156:and sgn(σ) is the
1125:
1038:
910:
865:
647:tridiagonal matrix
624:
588:
447:
416:
324:
290:
188:
128:
8454:(12): 1209–1225.
8183:perfect matchings
8121:{\displaystyle x}
8101:{\displaystyle k}
8088:for some integer
7688:
7650:
7623:
7588:
7571:
7393:
7335:
6942:{\displaystyle N}
6472:{\displaystyle M}
6449:{\displaystyle Q}
6429:{\displaystyle N}
6409:{\displaystyle M}
6311:{\displaystyle S}
6215:
6157:For an arbitrary
5838:
5730:
5624:
5597:
5564:
5547:
5497:
5441:
5390:
5372:
5332:
5281:
5263:
5192:
5179:
5120:
5061:
5010:
4997:
4958:
4721:for real numbers
4481:{\displaystyle Q}
4304:
4155:
4135:where we defined
3969:
3901:
3817:
3603:
3541:
3511:
3339:
3111:
2781:
2617:
2493:
2421:
2409:
2249:
2237:
2149:
2137:
2038:
1860:
1780:
1752:is then given by
1013:
1011:
931:Formal definition
131:{\displaystyle A}
21:Pfaffian function
8777:
8741:
8710:
8683:
8669:
8651:
8629:
8595:
8584:
8560:
8535:
8522:
8514:
8504:
8496:
8486:
8484:
8471:
8444:Kasteleyn, P. W.
8438:
8418:
8391:
8388:
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